熱沖擊下理想黏結(jié)三明治板的分?jǐn)?shù)階廣義熱彈性問題分析

徐業(yè)守 徐趙東 何天虎 陳錦祥 張永勝 胡 健 王康建

(1東南大學(xué)混凝土及預(yù)應(yīng)力混凝土結(jié)構(gòu)教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室, 南京 210096)(2蘭州理工大學(xué)理學(xué)院, 蘭州 730050)(3江蘇省建筑設(shè)計(jì)研究院有限公司, 南京 210019)

熱沖擊下理想黏結(jié)三明治板的分?jǐn)?shù)階廣義熱彈性問題分析

徐業(yè)守1徐趙東1何天虎2陳錦祥1張永勝3胡 健3王康建1

(1東南大學(xué)混凝土及預(yù)應(yīng)力混凝土結(jié)構(gòu)教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室, 南京 210096)(2蘭州理工大學(xué)理學(xué)院, 蘭州 730050)(3江蘇省建筑設(shè)計(jì)研究院有限公司, 南京 210019)

為了研究對(duì)稱熱沖擊作用下三明治板的廣義熱彈動(dòng)態(tài)響應(yīng),假定三明治板連接界面處為零阻抗理想黏結(jié),材料特性參數(shù)隨溫度變化,采用分?jǐn)?shù)階廣義熱彈性理論,給出了層合板廣義熱彈耦合的控制方程.基于拉普拉斯變換及其數(shù)值反變換對(duì)控制方程進(jìn)行求解,得到了無(wú)量綱溫度、位移及應(yīng)力的數(shù)值解.重點(diǎn)討論了熱傳導(dǎo)系數(shù)、密度和比熱容等材料參數(shù)在界面處的變化對(duì)熱傳遞及結(jié)構(gòu)響應(yīng)的影響,同時(shí)考慮了分?jǐn)?shù)階參數(shù)及溫度相關(guān)性參數(shù)的影響效應(yīng).計(jì)算結(jié)果表明,溫度、位移和應(yīng)力隨界面處材料熱傳導(dǎo)系數(shù)、密度和比熱容的減小而增加;分?jǐn)?shù)階參數(shù)對(duì)溫度和應(yīng)力的影響較大,對(duì)位移影響較小;溫度、位移和應(yīng)力的幅值隨溫度相關(guān)性參數(shù)的增大而減小.界面處材料熱傳導(dǎo)系數(shù)、密度和比熱容的減小促進(jìn)熱沿板厚方向的傳導(dǎo),分?jǐn)?shù)階理論和材料的溫度相關(guān)性對(duì)溫度、位移和應(yīng)力的分布影響顯著.

分?jǐn)?shù)階廣義熱彈性理論;對(duì)稱層合板;溫度相關(guān)性;拉普拉斯變換

在經(jīng)典熱彈性理論中,認(rèn)為熱以無(wú)限大速度傳播,這與物理實(shí)際并不相符.為彌補(bǔ)經(jīng)典熱彈性理論的不足,學(xué)者們發(fā)展了廣義熱彈性理論,主要包括Lord-Shulman(L-S)[1]廣義熱彈性理論和Green-Lindsay(G-L)[2]廣義熱彈性理論.這2種理論都能描述熱在介質(zhì)中以有限的速度傳播.Sherief等[3]和Ezzat等[4]用分?jǐn)?shù)階微積分對(duì)其進(jìn)一步修正,建立了分?jǐn)?shù)階廣義熱彈性理論.Aouadi[5]的研究表明,材料的特性參數(shù)與溫度有關(guān),如彈性模量、泊松比、熱膨脹系數(shù)和導(dǎo)熱系數(shù)等隨溫度變化.Youssef等[6]和熊啟林等[7-8]基于廣義熱彈性理論,對(duì)層板結(jié)構(gòu)熱力學(xué)問題進(jìn)行了深入的研究.

本文基于Ezzat等[4]提出的分?jǐn)?shù)階廣義熱彈性理論,對(duì)材料特性參數(shù)與溫度相關(guān)的三明治板,在對(duì)稱熱荷載作用下的廣義熱彈耦合問題的動(dòng)態(tài)響應(yīng)進(jìn)行了研究,定量得到了無(wú)量綱溫度、位移及應(yīng)力的分布規(guī)律.

1 基本方程

基于Ezzat等[4]建立的分?jǐn)?shù)階廣義熱彈性理論,不考慮體力和內(nèi)熱源,均質(zhì)各向同性熱彈性體的控制方程為:

1) 運(yùn)動(dòng)方程

(1)

2) 本構(gòu)方程

σij=2μεij+(λεkk-γθ)δij

(2)

3) 幾何方程

(3)

4) 能量方程

(4)

(5)

5) 熱傳導(dǎo)方程

(6)

σij=(1-α*T0)[2μ0εij+(λ0εkk-γ0θ)δij] (7)

(8)

(9)

2 問題描述

圖1 三明治板結(jié)構(gòu)橫截面示意圖

對(duì)于上述三明治板結(jié)構(gòu),在對(duì)稱荷載作用下,假設(shè)y與z向尺寸為無(wú)窮大,厚度x方向的尺寸遠(yuǎn)小于板平面上y與z向的尺寸,因而只考慮在垂直于板面的熱沖擊下各變量沿板厚方向的分布規(guī)律.

在板厚方向,以對(duì)稱層中心位置為坐標(biāo)原點(diǎn),將三明治板簡(jiǎn)化為一維問題.初始時(shí)刻,三明治板兩側(cè)外表面自由,熱沖擊作用下,其位移uj(上標(biāo)j=Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ表示層板的第Ⅰ,Ⅱ和Ⅲ層區(qū)域)的分量為

(10)

由此,得到應(yīng)變分量為

(11)

對(duì)于一維問題,式(7)～(9)可以簡(jiǎn)化為

(12)

(13)

(14)

為簡(jiǎn)便起見,引入如下無(wú)量綱量:

對(duì)式(12) ～ (14)進(jìn)行無(wú)量綱化處理,可得(為簡(jiǎn)便起見,略去無(wú)量綱量右上角的星號(hào),以下變量均為無(wú)量綱量):

(15)

(16)

控制方程求解時(shí),需要同時(shí)考慮初始條件和邊界條件.對(duì)稱熱荷載作用下的三明治板,兩側(cè)坐標(biāo)為±2l,層合板交界面處的坐標(biāo)為±l,初始條件被假定為均勻齊次,邊界條件為:

1) 三明治板的兩側(cè)界面上不受任何外力,應(yīng)力自由,由此得到σⅠ(±2l,t)=0.

2) 三明治板的兩側(cè)界面受到對(duì)稱熱荷載的沖擊作用,即θⅠ(±2l,t)=θ0H(t),其中θ0為常數(shù),H(t)為Heaviside函數(shù).

3) 三明治板的交界面處,材料的特性參數(shù)發(fā)生了改變,但仍需要滿足熱流流量相等的連續(xù)性條件,即在x=-l處,qⅠ=qⅡ;在x=l處,qⅡ=qⅢ.

4) 假定三明治板在交界面處是理想黏結(jié),則可以認(rèn)為在交界面處不同層板的位移是連續(xù)的,即在x=-l處,uⅠ=uⅡ;在x=l處,uⅡ=uⅢ.

3 拉氏域內(nèi)的求解

根據(jù)定義,拉普拉斯變換具有如下形式:

式中,s為拉普拉斯變換因子,且s=v+iw.

對(duì)式(15)～(17)運(yùn)用拉普拉斯變換,可得

(18)

(19)

(20)

(21)

其中

式(21)可以改寫為

(22)

p1和p2是如下特征方程的根:

p4-m1p2+m2=0

(23)

求解后,p1和p2具有如下形式:

(24)

(25)

其中

式(25)可以改寫為

(26)

q1和q2是如下特征方程的根:

q4-n1q2+n2=0

(27)

求解后,q1和q2具有如下形式:

(28)

對(duì)于圖1所示的三明治板復(fù)合結(jié)構(gòu),由于第Ⅰ層與第Ⅲ層材料特性參數(shù)相同,因而其解析解具有相同的表達(dá)形式,第Ⅱ?qū)硬牧咸匦詤?shù)與外側(cè)兩層不同,得到的解析解形式也不同.

1) 第Ⅰ層與第Ⅲ層區(qū)域位移和溫度解析解為

(29)

(30)

式中,Ci(s),Cii(s)(i=1,2,3,4)為關(guān)于s函數(shù)的未知待定參數(shù);pi為方程(21)的解.

將式(29)和(30)代入式(19),得到

C11=-A1C1,C22=A1C2,C33=-A2C3,C44=A2C4

(31)

(32)

(33)

2) 與第Ⅰ層和第Ⅲ層區(qū)域求解方法相同,得到第Ⅱ?qū)訁^(qū)域位移、溫度和應(yīng)力解析解為

(34)

(35)

(36)

式中,Ei(s)(i=1,2,3,4)為未知待定參數(shù),是關(guān)于s的函數(shù),qi為方程(25)的解.

求解過程中

對(duì)Ci(s),Cii(s)(i=1,2,3,4)等未知待定參數(shù)進(jìn)行求解時(shí),需要考慮三明治板對(duì)稱結(jié)構(gòu)外側(cè)面的邊界條件,在拉普拉斯域內(nèi),在±2l處的邊界條件可以轉(zhuǎn)化為

(37)

根據(jù)式(32)、(33),利用式(37)的邊界條件,得到如下方程組:

(38)

(39)

-B1C1e2p1l+B1C2e-2p1l-B2C3e2p2l+B2C4e-2p2l=0

(40)

-B1C1e-2p1l+B1C2e2p1l-B2C3e-2p2l+B2C4e2p2l=0

(41)

在Matlab中對(duì)方程組(38)～(41)進(jìn)行求解,可得到Ci(s)(i=1,2,3,4)的表達(dá)式.而Ei(s)(i=1,2,3,4)解析形式的確定,則必須考慮層合板交界面處(x=±l處)的邊界條件.如前所述,在交界面處,熱流流量相等,即

(42)

根據(jù)分?jǐn)?shù)階廣義熱彈性理論,熱傳導(dǎo)方程為

(43)

在第Ⅰ、Ⅲ層和第Ⅱ?qū)訁^(qū)域分別對(duì)式(43)進(jìn)行無(wú)量綱化,可以得到

(44)

(45)

對(duì)式(44)、(45)進(jìn)行拉普拉斯變換,可得

(46)

(47)

由于各變量在外側(cè)兩層區(qū)域的表達(dá)形式相同,式(42)的邊界條件可以表示為

(48)

(49)

由于在界面處位移連續(xù),從而有

(50)

由式(32)和(35),可得

p2A2C3e-p2x+p2A2C4ep2x

(51)

q2D2E3e-q2x+q2D2E4eq2x

(52)

由式(29)、(32)、(34)、(35)及式(48)～(52),得到方程組

q1D1E1eq1l+q1D1E2e-q1l+q2D2E3eq2l+q2D2E4e-q2l=

p2A2C3ep2l+p2A2C4e-p2l)

(53)

q1D1E1e-q1l+q1D1E2eq1l+q2D2E3e-q2l+q2D2E4eq2l=

p2A2C3e-p2l+p2A2C4ep2l)

(54)

E1eq1l+E2e-q1l+E3eq2l+E4e-q2l=

C1ep1l+C2e-p1l+C3ep2l+C4e-p2l

(55)

E1e-q1l+E2eq1l+E3e-q2l+E4eq2l=

C1e-p1l+C2ep1l+C3e-p2l+C4ep2l

(56)

通過對(duì)式(53)～(56)運(yùn)用Matlab進(jìn)行求解,便可得到Ei(s)(i=1,2,3,4)的解析表達(dá)式.至此,位移、溫度和應(yīng)力在拉普拉斯域內(nèi)三明治板不同區(qū)域的解析解已全部求得.

4 拉普拉斯數(shù)值反變換

為求得各個(gè)變量的數(shù)值解,需采用拉氏反變換將拉氏域內(nèi)求得的結(jié)果轉(zhuǎn)化到時(shí)間域內(nèi).拉氏反變換公式如下:

在進(jìn)行拉氏數(shù)值反變換時(shí),應(yīng)用了黎曼-劉維爾[10]近似求和,即

式中,Re為實(shí)部,i為單位虛數(shù),由文獻(xiàn)[11]可知,βt≈4.7.

5 數(shù)值計(jì)算分析

圖2顯示了t=0.75,υ=2.0,α=0.25時(shí),無(wú)量綱化的溫度、位移和應(yīng)力在三明治板第Ⅱ?qū)訜醾鲗?dǎo)系數(shù)、密度和比熱容變化時(shí)的分布規(guī)律.由圖2(a)和(b)可見,熱傳導(dǎo)系數(shù)、密度以及比熱容的減小,均會(huì)導(dǎo)致溫度的增加,反之則溫度減小.熱傳導(dǎo)系數(shù)變化對(duì)溫度分布的影響較比熱容和密度變化對(duì)溫度分布的影響要小.由圖2(c)～(d)可以看出,第Ⅱ?qū)訜醾鲗?dǎo)系數(shù)、密度和比熱容發(fā)生變化時(shí),由于中間層的位移變化量很小,所以可以不考慮對(duì)位移的影響.圖2(e)～(f)顯示了無(wú)量綱化應(yīng)力的分布,中間層熱傳導(dǎo)系數(shù)、密度和比熱容增加時(shí),應(yīng)力幅值減小,當(dāng)熱傳導(dǎo)系數(shù)、密度和比熱容減小時(shí),則應(yīng)力幅值增加.所得結(jié)果與文獻(xiàn)[7-8]結(jié)論一致.

(a) κⅡ/κⅠ,ρⅡ/ρⅠ,CⅡE/CⅠE=0.5時(shí)溫度分布

(b) κⅡ/κⅠ,ρⅡ/ρⅠ,CⅡE/CⅠE=2.0時(shí)溫度分布

(c) κⅡ/κⅠ,ρⅡ/ρⅠ,CⅡE/CⅠE=0.5時(shí)位移分布

(d) κⅡ/κⅠ,ρⅡ/ρⅠ,CⅡE/CⅠE=2.0時(shí)位移分布

(e) κⅡ/κⅠ,ρⅡ/ρⅠ,CⅡE/CⅠE=0.5時(shí)應(yīng)力分布

(f) κⅡ/κⅠ,ρⅡ/ρⅠ,CⅡE/CⅠE=2.0時(shí)應(yīng)力分布

(a) 溫度分布

(b) 位移分布

(c) 應(yīng)力分布

(a) 溫度分布

(b) 位移分布

(c) 應(yīng)力分布

6 結(jié)語(yǔ)

基于分?jǐn)?shù)階廣義熱彈性理論,探討了在對(duì)稱熱沖擊作用下,三明治板的分?jǐn)?shù)階廣義熱彈性問題.計(jì)算結(jié)果表明,中間層的溫度、應(yīng)力隨熱傳導(dǎo)系數(shù)、密度以及比熱容減小而增大,位移受到的影響較小;分?jǐn)?shù)階參數(shù)增大時(shí),各變量的幅值呈現(xiàn)增大趨勢(shì);溫度相關(guān)性參數(shù)的增大,會(huì)導(dǎo)致各變量絕對(duì)值幅度的減小,其中溫度和應(yīng)力的減小幅度較大.以上結(jié)果對(duì)在復(fù)雜熱耦合條件下工作的三明治板設(shè)計(jì)具有指導(dǎo)意義.

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Analysis on fractional-order generalized thermoelastic problem for ideal adhesion sandwich plate under thermal shock

Xu Yeshou1Xu Zhaodong1He Tianhu2Chen Jinxiang1Zhang Yongsheng3Hu Jian3Wang Kangjian1

(1Key Laboratory of Concrete and Prestressed Concrete Structures of Ministry of Education, Southeast University, Nanjing 210096, China) (2School of Science, Lanzhou University of Technology, Lanzhou 730050, China) (3Jiangsu Provincial Architectural Design and Research Institute Ltd., Nanjing 210019, China)

To investigate the generalized thermoelastic dynamic response of a sandwich plate subjected to symmetrical thermal shock, assuming that the value of thermal impedance at the interface is zero with ideal adhesion and the material properties change with the temperature, the governing equations of the layered plate with generalized thermoelasticity coupling are formulated based on the fractional order generalized thermoelasticity theory. The governing equations are solved based on Laplace transform and its numerical inversion, and the numerical values of the non-dimensional temperature, displacement, and stress are obtained. The effects of material parameters alteration including the thermal conductivity, density and heat capacity at the interface on the heat transfer and structure response are studied, and the effects of the fractional order parameter and temperature-dependent parameter are considered at the same time. The numerical results show that the values of temperature, displacement and stress increase with decreasing thermal conductivity, density and heat capacity at the interface. The fractional order parameter has a significant effect on temperature and stress, and a slight effect on displacement; the amplitudes of temperature, displacement, and stress decline with increasing temperature-dependent parameter. The decreases of thermal conductivity, density and heat capacity at the interface promote the heat transfer through the thickness direction of the plate, and the fractional-order theory and material temperature dependence have significant effects on the distributions of temperature, displacement, and stress are significant.

fractional-order theory of generalized thermoelasticity; symmetrical layered plate; temperature-dependence; Laplace transform

第47卷第1期2017年1月 東南大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)JOURNALOFSOUTHEASTUNIVERSITY(NaturalScienceEdition) Vol．47No．1Jan．2017DOI：10．3969/j．issn．1001-0505．2017．01．023

2016-07-06. 作者簡(jiǎn)介: 徐業(yè)守(1990—), 男，博士生; 徐趙東(聯(lián)系人)，男，博士，教授，博士生導(dǎo)師，xzdsubmission@163.com.

國(guó)家杰出青年科學(xué)基金資助項(xiàng)目(51625803)、國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(11572088)、中青年科技創(chuàng)新領(lǐng)軍人才資助項(xiàng)目、江蘇省“333人才培養(yǎng)工程”資助項(xiàng)目.

徐業(yè)守,徐趙東,何天虎,等.熱沖擊下理想黏結(jié)三明治板的分?jǐn)?shù)階廣義熱彈性問題分析[J].東南大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版),2017,47(1):130-136.

10.3969/j.issn.1001-0505.2017.01.023.

O343.6

A

1001-0505(2017)01-0130-07