神奇的楊輝三角

劉彥永

(東北師大附中 130021)

南宋的楊輝在他1261年所著的《詳解九章算法》一書中記錄了圖1所示的三角形數(shù)表，稱之為“開方作法本源”圖，即現(xiàn)在的楊輝三角，其本質(zhì)是二項式系數(shù)在三角形中的一種幾何排列(如圖2).楊輝三角中蘊含著許多奇妙的性質(zhì)，也與許多數(shù)學(xué)問題有著密切的聯(lián)系.古今中外，有許多數(shù)學(xué)家如賈憲、朱世杰、帕斯卡、華羅庚等都層深入研究過楊輝三角，下面我們一起走近楊輝三角吧.

一、楊輝三角與組合數(shù)

(5)每一行奇數(shù)位上的數(shù)的和與偶數(shù)位上的數(shù)的和相等，即

二、楊輝三角與概率問題

如圖3的高爾頓板，若小球碰到阻擋物后等可能地向兩側(cè)跌落，再次遇到障礙物后繼續(xù)等可能的向兩側(cè)跌落，以此類推，一直下跌，直到最終落入底層.

1.在圖3的高爾頓板中，求：

(1)小球落入第4層第3個通道的概率P(4,3)；

(2)小球落入第n+1層第k(k≤n)個通道和第n+1層第k+1個通道的概率之和.

分析高爾頓板的原型為楊輝三角，利用楊輝三角的基本性質(zhì)和數(shù)量關(guān)系即可解決問題.

(2)根據(jù)楊輝三角的特點有

事實上，我們可以用數(shù)學(xué)歸納法證明如下定理：

三、楊輝三角與縱橫路線圖

例4 縱橫路線圖是一類有趣的數(shù)學(xué)問題.圖4是某城市的部分街道圖，縱橫各有5條路，從A處走到B處且路徑最短，共有多少種不同的走法？

解我們把圖5順時針旋轉(zhuǎn)45度，然后在交叉點標(biāo)上楊輝三角對應(yīng)的數(shù)，如圖6.一般地，每個交點上的數(shù)就是從A處到達該點的方法數(shù)，故答案是70.

四、楊輝三角與萊布尼茨三角形

西方著名的萊布尼茨三角形要比中國的楊輝三角晚400多年.萊布尼茨三角形(如圖6)和楊輝三角也有著極其密切的聯(lián)系，下面通過兩個試題說明.

例5 如圖7所示的萊布尼茨三角形中，第n+1行第k列的數(shù)為 .

事實上，第二問的本質(zhì)是求萊布尼茨三角形中從第3行第3列到第n+1行的第3列的所有數(shù)之和，結(jié)合第一問知每個數(shù)都等于其腳下兩數(shù)的和，添減項就有

五、楊輝三角與變異的楊輝三角

例7 (2007年湖南理科)將楊輝三角中的奇數(shù)換成1，偶數(shù)換成0，得到如圖8所示的0-1三角數(shù)表．從上往下數(shù)，第1次全行的數(shù)都為1的是第1行，第2次全行的數(shù)都為1的是第3行，…，第n次全行的數(shù)都為1的是第_____行；第61行中1的個數(shù)是_____．

第1行 1 1

第2行 1 0 1

第3行 1 1 1 1

第4行 1 0 0 0 1

第5行 1 1 0 0 1 1

…… ………………………………………

圖8

解我們稱以上三角數(shù)表為變異的楊輝三角，續(xù)寫上表有

第6行 1 0 1 0 1 0 1

第7行 1 1 1 1 1 1 1 1

可見，第1,3,7行的數(shù)都是1，即第21-1，22-1，23-1行的數(shù)都是1.猜想第2n-1行的數(shù)都是1(可以用數(shù)學(xué)歸納法證明).因此，第26-1=63行都是1，共有64個1.

寫出第62-64行，逆推知第62行共有32個1，結(jié)合圖中對應(yīng)關(guān)系知第61行共有32個1.

例8 (2003年全國)設(shè){an}是集合{2s+2t|0≤s

3

5 6

9 10 12

— — — —

— — — — —

圖9

(Ⅰ)寫出這個三角形數(shù)表的第四行、第五行各數(shù)；

(Ⅱ)求a100.

解(Ⅰ)用(s,t)表示2s+2t，記作2s+2t=(s,t).觀察發(fā)現(xiàn)圖11的規(guī)律為：

3=20+21=(0,1)；

5=20+22=(0,2)，6=21+22=(1,2)；

9=20+23=(0,3)，10=21+23=(1,3)，12=22+23=(2,3).

按照這個規(guī)律，第四行的數(shù)是17,18,20,24，第五行的數(shù)是33,34,36,40,48.

(Ⅱ)因為100=(1+2+3+…+13)+9，所以a100=(8,14)=28+214=16640.

楊輝三角不僅與上述問題有聯(lián)系，而且和斐波那契數(shù)列、謝爾賓斯基三角形、堆垛術(shù)和行列式等都有著密切的關(guān)系.這些看似獨立的數(shù)學(xué)概念，通過楊輝三角，竟然建立了如此美妙的數(shù)學(xué)知識網(wǎng)絡(luò)，這真是一件震撼人心的快事.楊輝三角中究竟還蘊含著怎樣優(yōu)美而神奇的規(guī)律？這值得我們進一步深入的探索.

[1]人民教育出版社，課程教材研究所數(shù)學(xué)課程教材研究開發(fā)中心.普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(實驗)[M].北京：人民教育出版社，2003.

[2]張奠宙.中學(xué)教學(xué)全書數(shù)學(xué)卷[M].上海：上海教育出版社，1983.