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    關(guān)于畫法幾何學(xué)中直線的跡點(diǎn)求解方法分析

    2017-02-05 06:21:37劉劍鋒
    關(guān)鍵詞:水平線投影面垂線

    劉劍鋒

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    關(guān)于畫法幾何學(xué)中直線的跡點(diǎn)求解方法分析

    劉劍鋒

    (湖南科技學(xué)院 電子與信息工程學(xué)院,湖南 永州 425199)

    文章對空間直線任意位置的跡點(diǎn)求解方法進(jìn)行了分析和歸納,重點(diǎn)是從幾何學(xué)的角度對利用定比性求解側(cè)平線的跡點(diǎn)加以證明,為后續(xù)學(xué)習(xí)人員直接引用定比性求解直線跡點(diǎn)提供理論依據(jù)。

    跡點(diǎn);側(cè)平線;定比性;求解

    1 引 言

    跡點(diǎn)是指直線和投影面的交點(diǎn)。直線和水平投影面的交點(diǎn)稱為水平跡點(diǎn),和正面投影的交點(diǎn)稱為正面跡點(diǎn),和側(cè)面投影的交點(diǎn)稱為側(cè)面跡點(diǎn),分別用M、N、S表示。在《畫法幾何及機(jī)械制圖》、《畫法幾何學(xué)》、《機(jī)械制圖》等眾多機(jī)械專業(yè)教材中對于跡點(diǎn)這一內(nèi)容描述的篇幅較少,其中并未對跡點(diǎn)的求解過程加以詳細(xì)講解[1-3]。但是在相關(guān)習(xí)題集中關(guān)于跡點(diǎn)的題型相對較多較全,導(dǎo)致學(xué)生在做題過程中存在諸多疑惑[4-5]。經(jīng)查閱相關(guān)文獻(xiàn),很少有關(guān)于跡點(diǎn)的詳細(xì)求解過程,尤其是利用定比性求解[6-7]。因此,將跡點(diǎn)的求解過程明朗化, 對幫助學(xué)生理解和增加學(xué)習(xí)積極性具有現(xiàn)實(shí)意義。

    2 各類空間直線跡點(diǎn)求解方法探討

    畫法幾何中,按照空間直線對基本投影體系的相對位置關(guān)系,可將直線分為三大類:一般位置直線、投影面平行線和投影面垂直線,后兩類又稱為特殊位置直線,根據(jù)投影面的不同,特殊位置直線又可分為水平線(∥水平面)、正平線(∥正平面)、側(cè)平線(∥側(cè)平面)和鉛垂線(⊥水平面)、正垂線(⊥正平面)、側(cè)垂線(⊥側(cè)平面)。

    2.1一般位置直線的跡點(diǎn)

    一般位置直線的跡點(diǎn)求解常用的方法是根據(jù)點(diǎn)的兩面投影確定跡點(diǎn)位置,求解過程相對簡單。

    圖1為一般位置直線的H/V兩面投影,它的跡點(diǎn)詳細(xì)求解過程如下:

    (1)如圖2所示,分別延長空間線段AB在水平投影面的投影ab與投影軸OX相交于點(diǎn)n,延長空間線段AB在正立投影面的投影a¢b¢與投影軸OX相交于點(diǎn)m¢;

    (2)根據(jù)點(diǎn)的投影特性可知,點(diǎn)的兩面投影的連線垂直于投影軸,如圖3所示,分別過點(diǎn)n、m¢作垂直于OX的垂線;

    圖1.一般位置直線

    圖2.步驟一

    圖3.步驟二

    圖4.步驟三

    (3)在水平投影面延長ab與投影軸連線相交于點(diǎn)M,在正立投影面延長a¢b¢與投影軸連線相交于點(diǎn)N。其中跡點(diǎn)M在水平面的投影m與之重疊,因此m帶括號,跡點(diǎn)N在正立面的投影n¢與之重疊,因此n¢帶括號,如圖4所示。

    2.2投影面平行線的跡點(diǎn)

    投影面平行線分為水平線、正平線、側(cè)平線三種,求解過程如下:

    (1)水平線。根據(jù)水平線的定義可知,水平線平行于水平投影面,與其他兩個(gè)投影面傾斜,它的跡點(diǎn)分別在正立投影面和側(cè)立投影面上,跡點(diǎn)標(biāo)記是N點(diǎn)和S點(diǎn)。圖5是水平線在H/V兩面投影體系中的投影,若采用點(diǎn)的投影規(guī)律求解跡點(diǎn),則需要引入三面投影體系才能求解,如圖7所示。

    圖5.水平線

    圖6.正平線

    圖7.水平線的跡點(diǎn)

    (2)正平線。根據(jù)正平線的定義可知,正平線平行于正立投影面,與其他兩個(gè)投影面傾斜,它的跡點(diǎn)分別在水平投影面和側(cè)立投影面上,跡點(diǎn)標(biāo)記是M點(diǎn)和S點(diǎn)。圖6是正平線在H/V兩面投影體系中的投影,若采用點(diǎn)的投影規(guī)律求解跡點(diǎn),則同樣需要引入三面投影體系才能求解,如圖8所示。

    圖8.正平線的跡點(diǎn)

    (3)側(cè)平線。根據(jù)側(cè)平線的定義可知,側(cè)平線平行于側(cè)立投影面,與其他兩個(gè)投影面傾斜,它的跡點(diǎn)分別在水平投影面和正立投影面,跡點(diǎn)標(biāo)記是M點(diǎn)和N點(diǎn)。若采用點(diǎn)的投影規(guī)律求解跡點(diǎn),則需要引入三面投影體系才能求解。

    由上述可知,投影面平行線的兩個(gè)跡點(diǎn)需要在三面投影體系中才能求解。那么能否在不引入三面投影體系的前提下求解?可以利用直線上點(diǎn)的定比性求解。

    定比性指的是直線上點(diǎn)的投影必須在該直線的同面投影上,且點(diǎn)分線段長度之比等于其投影長度之比。定比性常用于解決直線上點(diǎn)的投影問題。

    以側(cè)平線為例,已知側(cè)平線AB的兩面投影分別為ab和a¢b¢,利用定比性求解它的正面跡點(diǎn)M和水平跡點(diǎn)N。

    圖9所示為側(cè)平線AB在三投影面體系中的狀態(tài),它與水平投影和正面投影的跡點(diǎn)分別為M和N點(diǎn),圖10所示為側(cè)平線跡點(diǎn)的H/V兩面投影,圖11所示為利用定比性求解兩跡點(diǎn),圖12所示為沿X方向從右往左看側(cè)平線AB,做輔助線得交點(diǎn)E。

    圖9.側(cè)平線的三面投影體系

    圖10.側(cè)平線的跡點(diǎn)

    圖11.定比性圖解側(cè)平線跡點(diǎn)

    圖12.側(cè)平線的側(cè)視圖

    圖13.鉛垂線的跡點(diǎn)

    ①在圖9中,以點(diǎn)B在直線AM上理解,根據(jù)直線上點(diǎn)的定比性,可得到圖11,并存在以下關(guān)系:

    ac=a¢b¢, cd=b¢m¢

    ab:bm=ac:cd=a¢b¢:b¢m¢

    在圖9中,以點(diǎn)A在直線NB上理解,根據(jù)直線上點(diǎn)的定比性,可得到圖11,并存在以下關(guān)系:

    ab=b¢c¢, na=c¢d¢

    a¢b¢:n¢a¢=c¢b¢:d¢c¢=ab: na

    ②結(jié)合圖9和12從幾何的角度可證明如下關(guān)系:

    ∵△BEA∽△MbB

    ∴EB:bm=AE:Bb

    又∵EB=ab, AE=a¢b¢,Bb=b¢m¢

    ∴ab:bm=a¢b¢:b¢m¢

    同理△BEA∽△Aa¢N

    可得EB:a¢A=AE:Na¢=ab:na=a¢b¢:n¢a¢

    因此,側(cè)平線的跡點(diǎn)存在圖10中的定比關(guān)系,同樣水平線和正平線也能用定比性進(jìn)行求解。

    2.3投影面垂直線的跡點(diǎn)

    投影面垂直線分為鉛垂線、正垂線、側(cè)垂線三種,求解投影面垂直線跡點(diǎn)的方法需要引入到三面投影體系,根據(jù)點(diǎn)的投影特性進(jìn)行求解。如圖13-15所示,分別是鉛垂線的跡點(diǎn)、正垂線的跡點(diǎn)、側(cè)垂線的跡點(diǎn),由圖可知該類型直線的跡點(diǎn)有且僅有一個(gè)。

    圖14.正垂線的跡點(diǎn)

    圖15.側(cè)垂線的跡點(diǎn)

    3 結(jié)束語

    文章對任意位置空間直線的跡點(diǎn)的求解均加以作圖解釋,得出以下結(jié)論:

    (1)一般位置直線和投影面平行線存在2個(gè)跡點(diǎn),投影面垂直線有且僅有1個(gè)跡點(diǎn);(2)一般位置直線的跡點(diǎn)可以在兩面投影直接圖解得到,而投影面平行線和投影面垂直線的跡點(diǎn)需引入三面投影體系,根據(jù)點(diǎn)的投影特性才能求解;(3)從幾何學(xué)的角度對利用定比性求解側(cè)平線跡點(diǎn)的原理加以證明,為后續(xù)人員的直接引用提供理論依據(jù)。

    [1]華中科技大學(xué)等院校編.畫法幾何及機(jī)械制圖(第七版)[M].北京:高等教育出版社,2016.

    [2]大連理工大學(xué)工程圖學(xué)教研室編.畫法幾何學(xué)(第七版)[M].北京:高等教育出版社,2016.

    [3]清華大學(xué)工程圖學(xué)及計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)教研室編,機(jī)械制圖(第五版)[M].北京:高等教育出版社,2006.

    [4]華中科技大學(xué)等院校編.畫法幾何及機(jī)械制圖習(xí)題集(第七版)[M].北京:高等教育出版社,2016.

    [5]大連理工大學(xué)工程圖學(xué)教研室編.畫法幾何習(xí)題集(第五版)[M].北京:高等教育出版社,2016.

    [6]繆憲文.關(guān)于直線幾個(gè)圖學(xué)問題的思考[J].安徽建筑工業(yè)學(xué)院學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版),2005,(6):103-106.

    [7]葉曉芹.關(guān)于側(cè)平線幾個(gè)圖學(xué)問題的探討[J].重慶建筑大學(xué)學(xué)報(bào),1999,(4):102-105.

    (責(zé)任編校:宮彥軍)

    2017-03-01

    湖南科技學(xué)院教學(xué)改革研究項(xiàng)目(項(xiàng)目編號XKYJ2017053)。

    劉劍鋒(1985-),男,湖南永州人,湖南科技學(xué)院機(jī)械專任教師,工程師,研究方向?yàn)闄C(jī)械制圖教學(xué)與機(jī)械結(jié)構(gòu)輕量化設(shè)計(jì)等。

    TH126.2

    A

    1673-2219(2017)10-0075-02

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