隨機(jī)事件獨(dú)立性的三個(gè)認(rèn)識(shí)誤區(qū)

周越

摘 要：事件的獨(dú)立性是概率論中的重點(diǎn)和難點(diǎn)。通過(guò)詳細(xì)分析獨(dú)立性的三大認(rèn)識(shí)誤區(qū)，探索獨(dú)立性與事件發(fā)生、兩兩獨(dú)立和互斥之間的區(qū)別和聯(lián)系，進(jìn)一步加深對(duì)獨(dú)立性的理解。

關(guān)鍵詞：獨(dú)立性；兩兩獨(dú)立；互斥

中圖分類(lèi)號(hào)：G4

文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

doi：10.19311/j.cnki.1672-3198.2016.29.104

事件的獨(dú)立性是概率論中的重點(diǎn)內(nèi)容，它的引入在很大程度上簡(jiǎn)化了乘法公式的形式，使得求解多事件同時(shí)發(fā)生的概率更加簡(jiǎn)便。同時(shí)，事件的獨(dú)立性是概率論中的難點(diǎn)內(nèi)容，多數(shù)學(xué)生，尤其是初學(xué)者，由于沒(méi)有比較全面、深入地理解事件獨(dú)立的定義，常常對(duì)獨(dú)立性產(chǎn)生認(rèn)識(shí)上的誤區(qū)。本文通過(guò)深入分析三大認(rèn)識(shí)誤區(qū)，以期對(duì)學(xué)生學(xué)好這部分內(nèi)容有所幫助。

誤區(qū)一：如果事件A與B相互獨(dú)立，則事件B發(fā)生與否不受事件A發(fā)生與否的影響。

為了更好的分析誤區(qū)一，我們從兩事件獨(dú)立的定義出發(fā)。現(xiàn)有的教材中，對(duì)于兩事件的獨(dú)立性，大多采用以下兩種方式：

定義1：兩個(gè)事件A與B，如果其中任何一個(gè)事件發(fā)生的概率不受另外一個(gè)事件發(fā)生與否的影響，則稱(chēng)事件A與B是相互獨(dú)立的。

定義2：如果事件A與B滿(mǎn)足P（AB）=P（A）P（B），則稱(chēng)事件A與B相互獨(dú)立。

定義1是隨機(jī)事件獨(dú)立性的直觀(guān)定義，但是具有局限性，如果兩個(gè)事件中至少有一個(gè)事件發(fā)生的概率為0時(shí)，很難通過(guò)定義1判定這兩個(gè)事件是否獨(dú)立。定義2彌補(bǔ)定義1的不足，因?yàn)槿绻鸓（A）=0或P（B）=0，P（AB）=P（A）P（B）這個(gè)等式必然成立，進(jìn)一步地，我們還可以證明更為一般的結(jié)論概率為零的事件與其它任何事件都相互獨(dú)立。

通過(guò)定義我們可以發(fā)現(xiàn)，如果事件A與B相互獨(dú)立，則事件B發(fā)生的概率不受事件A發(fā)生與否的影響，并非B發(fā)生與否不受事件A發(fā)生與否的影響。這也告訴我們，獨(dú)立性是建立在概率層面的。我們通過(guò)一個(gè)具體的例子加以說(shuō)明。

例1：擲一次骰子，記錄投擲的點(diǎn)數(shù)。記

A=1，6，B=1，2，3，A∩B=1，

P（AB）=1/6，P（A）=1/3，P（B）=1/2，P（AB）=P（A）P（B）

根據(jù)定義可得事件A與B相互獨(dú)立。我們看一下事件B發(fā)生是否受到事件A發(fā)生與否的影響。就例1而言，事件A發(fā)生是指1、6這兩個(gè)樣本點(diǎn)中有一個(gè)出現(xiàn)，如果是1這個(gè)樣本點(diǎn)出現(xiàn)引起的A發(fā)生，此時(shí)事件B也發(fā)生；如果是6這個(gè)樣本點(diǎn)出現(xiàn)引起的A發(fā)生，此時(shí)事件B不發(fā)生。由此看來(lái)，事件B的發(fā)生確實(shí)受到事件A發(fā)生與否的影響，但事件B發(fā)生的概率卻沒(méi)有受到事件A發(fā)生與否的影響。

誤區(qū)二：兩兩相互獨(dú)立則三個(gè)事件獨(dú)立。

為了更好的分析誤區(qū)二，我們從三事件獨(dú)立的定義出發(fā)。

定義3：對(duì)于任意三個(gè)事件A，B，C，如果

（1）P（AB）=P（A）P（B），P（AC）=P（A）P（C），P（BC）=P（B）P（C）

（2）P（ABC）=P（A）P（B）P（C）

則稱(chēng)事件A，B，C相互獨(dú)立。

定義3中的（1）式成立，表明事件A，B，C中任意兩個(gè)事件都獨(dú)立，稱(chēng)為A，B、C兩兩獨(dú)立。不少同學(xué)認(rèn)為該定義中的（2）式是無(wú)用的，認(rèn)為由定義3中的（1）式可以推出（2）式。其實(shí)，這種看法是不正確的。我們通過(guò)兩個(gè)具體的例子加以說(shuō)明。

例2：一個(gè)正四面體，第一面涂紅色，第二面涂白色，第三面涂黑色，第四面涂紅、白、黑三色，拋擲此物體，記事件A=朝下的面有紅色，B=朝下的面有白色，C=朝下的面有黑色。

P（A）=P（B）=P（C）=1/2，P（AB）=P（BC）=P（AC）=1/4，

P（AB）=P（A）P（B），P（BC）=P（B）P（C），P（AC）=P（A）P（C）

定義3中（1）式成立，A、B、C兩兩獨(dú)立，但是

P（ABC）=14≠P（A）P（B）P（C）

定義3中（2）式不成立。通過(guò)此例，我們可以發(fā)現(xiàn)，兩兩獨(dú)立不能保證三個(gè)事件一定獨(dú)立。

例3：一個(gè)正八面體，第1，2，3，4面有紅色，1，2，3，5面有白色，1，6，7，8面有黑色，拋擲此物體，記事件A=朝下的面有紅色，B=朝下的面有白色，C=朝下的面有黑色。

P（A）=P（B）=P（C）=1/2，P（ABC）=1/8=P（A）P（B）P（C），

P（AB）=38≠P（A）P（B）

通過(guò)此例，我們可以發(fā)現(xiàn)，定義3中（2）式成立不能保證（1）式成立，即僅僅通過(guò)定義3中的（2）式，甚至還不能保證三個(gè)事件中任意兩個(gè)是相互獨(dú)立的。

誤區(qū)三：若A與B獨(dú)立，則A與B互斥；若A與B互斥，則A與B獨(dú)立。

通過(guò)例1可發(fā)現(xiàn)，A與B獨(dú)立（此時(shí)P（AB）=P（A）P（B））），但A與B并不互斥（A∩B=1≠φ），所以獨(dú)立不一定能推出互斥；反之，在例1中定義事件C=4，5，A與C互斥（A∩C=φ），但A與C不獨(dú)立（P（AC）≠P（A）P（C）），所以互斥也不一定能推出獨(dú)立。

其實(shí)，獨(dú)立與互斥之間還是存在內(nèi)在的聯(lián)系，下面給出的定理1揭示了兩者之間的關(guān)聯(lián)。

定理1：如果事件A和B滿(mǎn)足P（A）>0，P（B）>0，則A、B獨(dú)立與A、B互斥不能同時(shí)成立。證明：（1）首先證明若A與B互斥，則A與B一定不獨(dú)立。若A與B互斥，即（AB=φ），則P（AB）=O，又P（A）P（B）>0，故（P（AB）≠P（A）P（B）），即A與B不獨(dú)立。

（2）下面證明若A與B獨(dú)立，則A與B一定不互斥。若A與B獨(dú)立，則P（AB）=P（A）P（B）>0，故（AB≠φ），即A與B不互斥。值得一提的是，此定理的前提P（A）>O且P（B）>0是必不可少的。例如，不可能事件與其它任一事件A是既獨(dú)立又互斥。

上述三個(gè)誤區(qū)，都是在多年的教學(xué)中，通過(guò)和學(xué)生的深入溝通總結(jié)的。深度分析這三個(gè)誤區(qū)，有助于學(xué)生更加深入地理解獨(dú)立的定義，掌握獨(dú)立與互斥之間的聯(lián)系與區(qū)別，以及運(yùn)用獨(dú)立性解決實(shí)際問(wèn)題。下面我們以獨(dú)立性在比賽機(jī)制方面的應(yīng)用為例說(shuō)明獨(dú)立性在解決實(shí)際問(wèn)題中的重要作用。

例4：甲乙兩名選手進(jìn)行乒乓球單打比賽，已知在每局中甲勝的概率為0.6，試分析對(duì)于甲而言比賽采用三局兩勝制還是五局三勝制更有利？

解：記A=甲勝，通過(guò)題目我們可以發(fā)現(xiàn)比賽中甲勝或者乙勝相互獨(dú)立。

（1）三局兩勝時(shí)，P（A）=C23（0.6）20.4+C33（0.6）3=0.648；

（2）五局三勝時(shí)，P（A）=C35（0.6）3（0.4）2+C45（0.6）4（0.4）1+C55（0.6）5=0.674。

由此，我們可以判別五局三勝對(duì)甲更有利。

如今，概率在經(jīng)濟(jì)、計(jì)算機(jī)、交通和機(jī)械工業(yè)等諸多方面都有著重要的應(yīng)用。概率論研究對(duì)象的隨機(jī)性，決定了概率問(wèn)題解決的方法與其它數(shù)學(xué)問(wèn)題有很大不同，易混淆和難以理解的概念也更多，這就要求教師在授課的過(guò)程，要選用接近生活的實(shí)例為引導(dǎo)，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，提升學(xué)生學(xué)習(xí)的主動(dòng)性，這對(duì)于學(xué)生學(xué)好概率論具有非常重要的作用。

參考文獻(xiàn)

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