矩陣乘積關(guān)于廣義逆的交換律與混合交換律

劉林林 繆迎迎 李 瑩

(聊城大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,山東 聊城 252059)

0 引言

矩陣的各種類型的廣義逆在實(shí)際的生活中都有廣泛的應(yīng)用.它們?cè)诟怕式y(tǒng)計(jì)、數(shù)學(xué)規(guī)劃、控制論、測(cè)量學(xué)、博弈論和網(wǎng)絡(luò)理論等領(lǐng)域有極其重要的作用[1,2],而且在一些統(tǒng)計(jì)問(wèn)題如長(zhǎng)方及病態(tài)線性方程問(wèn)題、最小二乘問(wèn)題及馬爾可夫鏈等中也是一種基本的工具.就是因?yàn)閺V義逆應(yīng)用的廣泛性,所以要求其自身的理論發(fā)展不斷地充實(shí)完善.

我們知道,若A∈Cn×n非奇異,則一定存在AA-1=A-1A.可是對(duì)于A的{i,j,k}-逆,不一定存在A(i,j,k)∈A{i,j,k}使AA(i,j,k)=A(i,j,k)A.因?yàn)樵谟行┣闆r下,交換律成立可使得問(wèn)題得以簡(jiǎn)化,所以我們有必要研究{i,j,k}-逆的交換律成立的條件.本文運(yùn)用矩陣秩方法和SVD(singular value decomposition)[3],研究了矩陣乘積關(guān)于{1,2,3}-逆與{1,3,4}-逆的交換律以及混合交換律成立的充分必要條件.

1 預(yù)備知識(shí)

令Cm×n表示所有m×n階復(fù)矩陣的集合.對(duì)于一個(gè)給定的矩陣A∈Cm×n,A的共軛轉(zhuǎn)置、秩與值域分別用A*、r(A)和R(A)表示,In表示n階單位矩陣.矩陣A∈Cm×n的Moore-Penrose逆A+為滿足下列四個(gè)等式的唯一矩陣G∈Cm×n

(1)AGA=A;(2)GAG=G;(3) (AG)*=AG;(4) (GA)*=GA,

令φ≠η={i,j,k}?{1,2,3,4},用Aη表示滿足以上四個(gè)方程中的(i),(j),(k)的矩陣X的集合,Aη中的任何一個(gè)矩陣G稱為矩陣A的一個(gè){i,j,k}-逆(或η-逆),記為A(i,j,k).A*,A的零空間上的正交投影分別用EA=I-AA+,FA=I-A+A表示.

定義1[4]設(shè)A∈Cn×n,φ≠η,ξ?{1,2,3,4}.對(duì)于X∈Aη,Y∈Aξ,如果AX=YA,則稱矩陣乘積關(guān)于X與Y滿足交換律.

引理1[5]設(shè)A∈Cm×n,B∈Cm×k,C∈Cl×n.則

引理2[5]設(shè)A∈Cm×n,B∈Cm×k,C∈Cl×k,D∈Cl×k.則

(1)

設(shè)A,B1,B2,C1,C2及X1,X2使得矩陣表達(dá)式A-B1X1C1-B2X2C2有意義.則

(2)

其中

設(shè)A,B,C,D,P及Q使得D-CP+AQ+B有意義.則

(3)

引理3[6]設(shè)A∈Cm×n,B∈Cm×k,C∈Cl×k.則

(4)

(5)

引理4[7]設(shè)A∈Cm×n,B∈Cm×k,C∈Cl×n.若R(AQ)=R(A),R((PA)*)=R(A*).則

特別地,

2 矩陣乘積關(guān)于{1,2,3}-逆和{1,3,4}-逆的交換律

定理1 設(shè)A∈Cn×n, 則以下兩個(gè)條件等價(jià):

(1) 存在A(1,2,3)∈A{1,2,3},使得A(1,2,3)A=AA(1,2,3)=AA+成立;

利用(1)和(4)得

利用引理4, 通過(guò)化簡(jiǎn)計(jì)算, 得到

因此,

定理2 設(shè)A∈Cn×n,則以下四個(gè)條件等價(jià)

(1) 存在A(1,3,4)∈A{1,3,4},使得A(1,3,4)A=AA(1,3,4);

(4)R(A*)=R(A).

其中,X4為適當(dāng)階數(shù)的任意矩陣.

利用(1)和(3)

同樣地, 我們有

已知r(A*A)≤r(A),又A=(A+)*A*A,得r(A)≤r(A*A),故r(A*A)=r(A).

因此,

3 矩陣乘積關(guān)于{1,2,3}-逆與{1,3,4}-逆的混合交換律

定理3 設(shè)A∈Cn×n, 以下四個(gè)等價(jià)條件成立:

(1) 存在A(1,2,3)∈A{1,2,3},A(1,3,4)∈A{1,3,4},使A(1,3,4)A=AA(1,2,3);

(4)R(A*)=R(A).

由(1)及(5)得,

利用引理4, 通過(guò)化簡(jiǎn)計(jì)算, 得到

因此,

定理4 設(shè)A∈Cm×n,則以下兩個(gè)條件等價(jià):

(1) 存在A(1,2,3)∈A{1,2,3},A(1,3,4)∈A{1,3,4},使A(1,2,3)A=AA(1,3,4);

(2)r(A,A*)=r(A2).

其中,X3,X4為適當(dāng)階數(shù)的任意矩陣.

利用(2)可得

其中

利用(1)

所以,

故結(jié)論成立.

4 結(jié)束語(yǔ)

本文對(duì)兩個(gè)矩陣乘積關(guān)于{1,2,3}-逆與{1,3,4}-逆的交換律與混合交換律進(jìn)行了討論，得到了矩陣乘積關(guān)于{1,2,3}-逆與{1,3,4}-逆交換律成立的充要條件.我們也可采用同樣的方法討論其他類型的廣義逆的交換律.

[1] 王松桂,楊振海. 廣義逆矩陣及其應(yīng)用[M].北京:北京工業(yè)大學(xué)出版社,1996.

[2] 郭文彬,魏木生. 奇異值分解及其在廣義逆理論中的應(yīng)用[M].北京:科學(xué)出版社,2008.

[3] 郭文彬,周尚啟,張麗梅. 奇異值分解中非奇異矩陣的性質(zhì)結(jié)構(gòu)[J].聊城大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版,2005(1):11-15.

[4] 趙曉宇.矩陣乘積關(guān)于{1,i}-逆與{1,j}-逆的混合交換律[J]. 聊城大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版,2010, 12: 42-48.

[5] MarsagliaG,Styan G P H.Equalities and inequalities for ranks of matrices[J]. Linear and multilinear Algebra, 1974. (2):269-292．

[6] Tian Yongge. More on maximal and minimal ranks of Schur complements with applications[J]. Appl Math Comput,2004, 152:675-692.

[7] Hu D. The general solution to the matrix equation AXB+CYD=E[J]. Math Practice Theory, 1992, 4: 85-87.

[8] 李瑩, 高巖, 郭文斌. 矩陣乘積關(guān)于廣義逆的交換律及廣義交換律[J]. 上海理工大學(xué)學(xué)報(bào),2011,4：379-383.

[9] Ben-Israel A. Generalized inverses theory and applications[M]. New York：John Wiley & Sons, 1974.