生長(zhǎng)數(shù)學(xué)下“二次根式”單元第一課的教學(xué)設(shè)計(jì)

☉江蘇南京市寧海中學(xué)分校卜以樓

生長(zhǎng)數(shù)學(xué)下“二次根式”單元第一課的教學(xué)設(shè)計(jì)

☉江蘇南京市寧海中學(xué)分校卜以樓

文1、2分別與大家交流了生長(zhǎng)數(shù)學(xué)下“初中數(shù)學(xué)第一課”和“接班第一課”教學(xué)設(shè)計(jì)的問(wèn)題.本文以“二次根式”為例，和大家談?wù)勆L(zhǎng)數(shù)學(xué)下單元第一課（或稱(chēng)“章首課”）的教學(xué)問(wèn)題.一方面，為單元第一課教學(xué)提供一個(gè)課例研究的范式；另一方面，讓本文與文1、2形成生長(zhǎng)數(shù)學(xué)下不同內(nèi)容“首課”教學(xué)的基本理念和基本結(jié)構(gòu)，以便積累生長(zhǎng)數(shù)學(xué)下的“首課”教學(xué)活動(dòng)的經(jīng)驗(yàn).

一、基于教學(xué)內(nèi)容的價(jià)值判斷

單元第一課和初中第一課、接班第一課一樣，首要討論的問(wèn)題就是基于什么樣的價(jià)值判斷來(lái)選擇教學(xué)活動(dòng).就“二次根式”這一教學(xué)內(nèi)容，筆者認(rèn)為教學(xué)價(jià)值主要有以下三個(gè)方面.

1.用整體統(tǒng)領(lǐng)的觀點(diǎn)來(lái)搭建結(jié)構(gòu).

整體指事物的全局和發(fā)展的全過(guò)程，是事物發(fā)展的統(tǒng)領(lǐng)部分，起主導(dǎo)作用.在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，它是數(shù)學(xué)中始終貫徹的基本觀點(diǎn)、基本策略、基本套路.在數(shù)量上看它是“一”，這個(gè)“一”就是一脈相承、一以貫之、一如既往的思維方法.如果能靈活地運(yùn)用整體的觀點(diǎn)去理解、去學(xué)習(xí)、去探究數(shù)學(xué)知識(shí)，就會(huì)有一種居高臨下、一覽眾山小的感覺(jué)與效果.

作為“二次根式”的章首課，用整體統(tǒng)領(lǐng)的觀點(diǎn)來(lái)搭建本章的知識(shí)結(jié)構(gòu)，應(yīng)是價(jià)值定位的首要選擇.整體統(tǒng)領(lǐng)的思想就是要求從數(shù)學(xué)內(nèi)部結(jié)構(gòu)上、從學(xué)習(xí)“式”這個(gè)知識(shí)模塊上，對(duì)二次根式進(jìn)行宏觀上的分析、探究、理解與把握.從這個(gè)意義上說(shuō)，二次根式章首課要研究與整式、分式相“同化”的基本知識(shí)，即要用整體的觀點(diǎn)、聯(lián)系的思想、統(tǒng)領(lǐng)的方法來(lái)研究二次根式的概念、性質(zhì)、運(yùn)算和應(yīng)用這幾個(gè)方面的內(nèi)容.當(dāng)然，由于二次根式又不完全等同于已經(jīng)學(xué)習(xí)過(guò)的整式和分式，它應(yīng)有其內(nèi)在的特有的屬性，所以還要用“順應(yīng)”的思想來(lái)研究二次根式的特性，這就是最簡(jiǎn)二次根式的涵義.

2.用類(lèi)比聯(lián)想的策略來(lái)滿(mǎn)足生長(zhǎng).

類(lèi)比聯(lián)想是發(fā)現(xiàn)問(wèn)題的一種思維方式.它起源于看到一種事物想到另一種和它相似的東西.通過(guò)類(lèi)比聯(lián)想活動(dòng)來(lái)啟迪思維，可以幫助學(xué)生進(jìn)行探究、分析、總結(jié)、歸納，有利于提高學(xué)生發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、提出問(wèn)題、分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力.

作為“二次根式”的章首課，用類(lèi)比聯(lián)想的策略來(lái)滿(mǎn)足知識(shí)的生長(zhǎng)發(fā)展，是內(nèi)生生長(zhǎng)的必然選擇.這是因?yàn)椋瑢W(xué)生在學(xué)習(xí)這一內(nèi)容時(shí)，已經(jīng)學(xué)習(xí)過(guò)代數(shù)式、整式、分式這些內(nèi)容，明晰了“式”系統(tǒng)的基本結(jié)構(gòu)，知道了“式”系統(tǒng)中部分成員的共性與特性，掌握了研究“式”系統(tǒng)的基本方法，積累了研究“式”系統(tǒng)成員的基本經(jīng)驗(yàn).所以說(shuō)，從知識(shí)生長(zhǎng)、生命成長(zhǎng)的角度來(lái)講，生長(zhǎng)的內(nèi)因與外因皆已俱備.這里的內(nèi)因是指知識(shí)的縱向生長(zhǎng)，即從整式生長(zhǎng)到分式，再?gòu)姆质缴L(zhǎng)至二次根式，以及學(xué)生探究新知識(shí)、分析新問(wèn)題、研究新結(jié)論的渴望.這里的外因是指知識(shí)的橫向發(fā)展，即學(xué)生在初一、初二積累的研究“式”的基本知識(shí)、基本數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，特別是類(lèi)比思維的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，以及教師將要設(shè)計(jì)的教學(xué)活動(dòng)“思維場(chǎng)”.這兩種因素碰撞到一起，立即會(huì)形成勢(shì)不可擋的內(nèi)生生長(zhǎng)強(qiáng)大力量.為此，教學(xué)中要借勢(shì)而發(fā)、順勢(shì)而為、因勢(shì)利導(dǎo)，抓住這種不可多得的生長(zhǎng)資源，發(fā)揮數(shù)學(xué)教學(xué)的最大效能，彰顯類(lèi)比思維的教育價(jià)值，促進(jìn)學(xué)生的思維向高水平、高層次、高質(zhì)量方向發(fā)展.

3.用自主建構(gòu)的方法來(lái)積累經(jīng)驗(yàn).

建構(gòu)主義認(rèn)為，學(xué)習(xí)就是建構(gòu)內(nèi)在心理表征的過(guò)程.學(xué)習(xí)者并不是把知識(shí)從外界搬到記憶中，而是以已有的經(jīng)驗(yàn)為基礎(chǔ)，通過(guò)與外界的相互作用來(lái)建構(gòu)新的理解.在這個(gè)過(guò)程中，由于新認(rèn)知的介入，對(duì)已有知識(shí)的認(rèn)識(shí)會(huì)發(fā)生調(diào)整和改變，所以說(shuō)，學(xué)習(xí)并不是簡(jiǎn)單的信息積累，它包含由于新舊經(jīng)驗(yàn)的沖突而引發(fā)的觀念轉(zhuǎn)變和結(jié)構(gòu)重組，學(xué)習(xí)過(guò)程是新舊經(jīng)驗(yàn)反復(fù)的、雙向的相互作用過(guò)程.因此，教學(xué)時(shí)不能無(wú)視學(xué)生的這些經(jīng)驗(yàn)，而是要把學(xué)生原有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)作為新知識(shí)的生長(zhǎng)源、生長(zhǎng)點(diǎn)、生長(zhǎng)力，引導(dǎo)學(xué)生從原有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)中“生長(zhǎng)”出新的知識(shí)經(jīng)驗(yàn).

作為“二次根式”的章首課，用自主建構(gòu)的方法來(lái)進(jìn)一步積累學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，是學(xué)生學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)的根本選擇.這就是說(shuō)，要讓這節(jié)課的學(xué)習(xí)活動(dòng)成為學(xué)習(xí)二次根式這一內(nèi)容的統(tǒng)帥、固化和程序，為今后再探究“式”這個(gè)大家庭中的其他“式”成員，再提供些必備的思想方法和學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，再豐富一下研究“式”的學(xué)習(xí)范式.

二、基于價(jià)值判斷的活動(dòng)設(shè)計(jì)

基于上述價(jià)值判斷，可設(shè)計(jì)下列生長(zhǎng)鏈來(lái)建構(gòu)二次根式的生長(zhǎng)路徑和學(xué)習(xí)活動(dòng).

活動(dòng)一：概念的建構(gòu).

問(wèn)題1：學(xué)校決定將文正樓與文行之間的一塊長(zhǎng)為a m、寬為b m的矩形綠地進(jìn)行改造.請(qǐng)你回答下列問(wèn)題：

（1）這塊綠地的周長(zhǎng)是多少？這塊綠地的面積是多少？

（2）如果這次改造總費(fèi)用為c元，那么每平方米改造的費(fèi)用是多少元？

（3）如果在這個(gè)矩形綠地中規(guī)劃面積為2m2、8m2、S m2和9S m2的正方形種植新品種花木，那么這4個(gè)正方形的邊長(zhǎng)各為多少？

（4）如果在這個(gè)矩形綠地中還要規(guī)劃一個(gè)邊長(zhǎng)為2m的正方形，則這個(gè)正方形的對(duì)角線為多少？

設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)學(xué)生熟悉的、簡(jiǎn)明的、能揭示二次根式本質(zhì)的問(wèn)題情境，讓學(xué)生列出代數(shù)式，為下面研究這些“式結(jié)構(gòu)”的數(shù)學(xué)本質(zhì)作好鋪墊.

有不少教科書(shū)上有這樣的情境：面積為S m2的圓的半徑是多少？筆者在這里不建議使用.因?yàn)榇藭r(shí)這個(gè)圓的半徑為，這個(gè)式結(jié)構(gòu)可能會(huì)干擾學(xué)生對(duì)二次根式的認(rèn)識(shí).對(duì)于式子，會(huì)有一部分學(xué)生根據(jù)分母中是否含字母（事實(shí)上π不是字母）和是否含根號(hào)這兩個(gè)標(biāo)準(zhǔn)對(duì)上述“問(wèn)題1”中列出的代數(shù)式進(jìn)行分類(lèi).這樣對(duì)建構(gòu)二次根式的概念造成分類(lèi)標(biāo)準(zhǔn)上的錯(cuò)覺(jué)，效果可能會(huì)適得其反.所以在建立概念的起始階段，要關(guān)注概念的本質(zhì)，不要讓非形式化的東西掩蓋了概念的本質(zhì).

生成預(yù)設(shè)：如果學(xué)生表達(dá)有困難，可復(fù)習(xí)平方根、算術(shù)平方根的概念，讓學(xué)生會(huì)正確地表達(dá)“問(wèn)題1”中的問(wèn)題.

問(wèn)題2：請(qǐng)嘗試對(duì)上述各問(wèn)題得到的數(shù)學(xué)式子進(jìn)行

設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生嘗試分類(lèi)，就是讓學(xué)生在分類(lèi)中碰出思維的火花，能夠看清二次根式概念的數(shù)學(xué)本質(zhì).

生成預(yù)設(shè)：對(duì)于，學(xué)生可能把它放在單項(xiàng)式中，這是有道理的.因?yàn)樗鼈冋f(shuō)到底就是一個(gè)具體的無(wú)理數(shù)，根據(jù)一個(gè)數(shù)、單獨(dú)的字母是單項(xiàng)式的規(guī)定，可認(rèn)定它們是單項(xiàng)式.但是，像這種類(lèi)型的式子，顯然不屬單項(xiàng)式，但它們又與“長(zhǎng)”得相同，為了研究方便，我們可以把這種類(lèi)型的式子單獨(dú)給予一個(gè)名稱(chēng)，暫且稱(chēng)之為二次根式.

問(wèn)題3：誰(shuí)能給二次根式下個(gè)定義？

設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生提取用“樣子+條件”的方法，對(duì)二次根式下定義，再次增強(qiáng)這種下定義通法的價(jià)值.

生成預(yù)設(shè)：如果學(xué)生想不到用“樣子+條件”的方法對(duì)二次根式下定義，可啟發(fā)學(xué)生：面對(duì)一個(gè)想說(shuō)又說(shuō)不清的概念，我們應(yīng)該怎么辦？學(xué)生當(dāng)然會(huì)想到用“舉例子”的方法.例子舉不完怎么辦？此時(shí)學(xué)生會(huì)想到用“樣子+條件”的方法來(lái)下定義.如果學(xué)生想不到要說(shuō)明二次根式具備的條件，可舉出反例讓學(xué)生在樣子后面增加必要的條件.

活動(dòng)二：性質(zhì)的探究.

問(wèn)題4：好，今天我們?cè)凇笆健边@個(gè)大家庭中又結(jié)識(shí)了二次根式這個(gè)新朋友，對(duì)于這個(gè)新朋友，我們要從哪些方面對(duì)它進(jìn)行進(jìn)一步的研究呢？

設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生進(jìn)一步明晰研究一個(gè)具體“式子”的基本套路.

生成預(yù)設(shè)：如果學(xué)生想不到研究具體式子的基本套路，可引導(dǎo)學(xué)生回憶在學(xué)習(xí)分式的過(guò)程中是怎樣研究分式的，以此為類(lèi)比源、生長(zhǎng)點(diǎn)，讓學(xué)生的視角定位到本節(jié)課要研究二次根式的“概念—性質(zhì)—運(yùn)算—應(yīng)用”套路上來(lái).

問(wèn)題5：那么二次根式有哪些基本性質(zhì)呢？

設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生進(jìn)一步明晰并運(yùn)用從定義出發(fā)來(lái)研究基本性質(zhì)的方法，探究想要得到的新結(jié)論.

生成預(yù)設(shè)：如果學(xué)生不會(huì)從定義法去研究基本性質(zhì)，一是用舉例歸納的方法得到（）2=a（a≥0）和= |a|；二是啟發(fā)學(xué)生回憶在幾何學(xué)習(xí)過(guò)程中是如何研究基本性質(zhì)的，讓學(xué)生想到從定義出發(fā)來(lái)研究基本性質(zhì).回歸定義，應(yīng)該有：若x2=a，則有a≥0，并且x=±，所以有（）2=a（a≥0）；或者可以從“式結(jié)構(gòu)”上來(lái)做文章，從“式結(jié)構(gòu)”（）2上看，是對(duì)a先開(kāi)平方再平方，因此，可從平方根的源頭即定義上來(lái)探究想要得到的東西；當(dāng)然，也可以由（）2這個(gè)“式結(jié)構(gòu)”想到“形結(jié)構(gòu)”，這個(gè)“形結(jié)構(gòu)”就應(yīng)該是面積為a的正方形的邊長(zhǎng)定為，而邊長(zhǎng)為的正方形的面積也定為a，所以有（）2=a（a≥0）.當(dāng)學(xué)生得到上述結(jié)論時(shí)，可追問(wèn)：既然（）2=a（a≥0），那么=？從而得到二次根式的另一個(gè)性質(zhì)=|a|.如果要追究為什么，那么完全可以依照上述方法進(jìn)行探究.

活動(dòng)三：運(yùn)算的把握.

問(wèn)題6：我們之所以研究性質(zhì)，是為了更好地把握它的運(yùn)算，那么你打算怎樣研究二次根式的運(yùn)算呢？

設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生將研究分式運(yùn)算的經(jīng)驗(yàn)遷移過(guò)來(lái)，就是先研究乘除運(yùn)算，再研究加減運(yùn)算.

生成預(yù)設(shè)：如果學(xué)生要先研究加減再研究乘除，一是可以按照其思路進(jìn)行研究；二是讓學(xué)生回憶分式的運(yùn)算是按什么順序研究的，把學(xué)生的思維拉回到先研究乘除再研究加減運(yùn)算上來(lái).

問(wèn)題7：那么如何研究二次根式的乘除運(yùn)算呢？

設(shè)計(jì)意圖：創(chuàng)設(shè)這樣的思維場(chǎng)景，就是讓學(xué)生用舉例歸納的方法，得到二次根式乘除的運(yùn)算性質(zhì).

生成預(yù)設(shè)：如果學(xué)生不知道如何下手解決這個(gè)問(wèn)題，則可追問(wèn)學(xué)生：研究二次根式的乘除運(yùn)算，就是要研究一個(gè)什么樣的東西？逼學(xué)生得到就是要研究“·=？”和“=？”.明確了要研究什么，學(xué)生當(dāng)然會(huì)想到用猜想、賦值、嘗試、歸納這種從特殊到一般認(rèn)識(shí)事物的規(guī)律探究本問(wèn)題了.

當(dāng)學(xué)生會(huì)進(jìn)行二次根式的乘除運(yùn)算時(shí)，可追問(wèn)學(xué)生：什么形式的結(jié)果可作為二次根式的運(yùn)算結(jié)果呢？在此教師要作為探究的主體，領(lǐng)著學(xué)生得到最簡(jiǎn)二次根式的條件.在這個(gè)問(wèn)題上，章首課可不必過(guò)多的探究，只要根據(jù)二次根式乘除的結(jié)果進(jìn)行指導(dǎo)什么是最簡(jiǎn)結(jié)果，從而得到最簡(jiǎn)的二次根式條件即可.在以后具體的新授課中，可適當(dāng)進(jìn)行探究分析.

問(wèn)題8：研究了二次根式的乘除運(yùn)算，接下來(lái)我們就來(lái)研究其加減，那么如何來(lái)研究二次根式的加減運(yùn)算呢？

設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生將合并同類(lèi)項(xiàng)的法則遷移到二次根式的加減運(yùn)算上來(lái)，讓學(xué)生嘗到運(yùn)用舊知識(shí)解決新問(wèn)題的甜頭.

生成預(yù)設(shè)：如果學(xué)生得到，可追問(wèn)學(xué)生：這個(gè)結(jié)果正確嗎？逼學(xué)生用估算的方法進(jìn)行檢驗(yàn).如果不正確，那么什么樣的二次根式可以相加減呢？讓學(xué)生進(jìn)行猜想、賦值、嘗試、歸納，得到二次根式加減的運(yùn)算性質(zhì).

活動(dòng)四：應(yīng)用的感受.

問(wèn)題9：兩個(gè)正方形的面積分別為S m2、9S m2，求這兩個(gè)正方形的邊長(zhǎng)的和.

設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)實(shí)際問(wèn)題，讓學(xué)生進(jìn)一步感受學(xué)習(xí)二次根式的必要性，以及學(xué)習(xí)二次根式的價(jià)值.

生成預(yù)設(shè)：如果學(xué)生解答有困難，則首先啟發(fā)學(xué)生將問(wèn)題數(shù)學(xué)化成二次根式，再運(yùn)用二次根式的知識(shí)解決.

三、基于活動(dòng)設(shè)計(jì)的教學(xué)反思

教學(xué)的目的不是為了傳播知識(shí)，而是把知識(shí)作為訓(xùn)練思維的載體，在放飛思維的過(guò)程中讓學(xué)生得到又一次的生長(zhǎng).上述活動(dòng)設(shè)計(jì)對(duì)章首課的教學(xué)至少有三點(diǎn)啟示.

1.重傳承，更重生長(zhǎng).

章首課，對(duì)于學(xué)生來(lái)說(shuō)一定是一個(gè)新的學(xué)習(xí)內(nèi)容，面臨的也是一個(gè)新的挑戰(zhàn).但是，這個(gè)挑戰(zhàn)一定是建立在學(xué)生已有知識(shí)基礎(chǔ)和學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)之上的.從這個(gè)意義上說(shuō)，這是個(gè)傳承思維的過(guò)程.但是，教學(xué)中不僅要注意運(yùn)用最近發(fā)展區(qū)理論，讓學(xué)生自主傳承、自主探究、自主發(fā)現(xiàn)，而且更要讓學(xué)生在傳承過(guò)程中，得到知識(shí)生長(zhǎng)、經(jīng)驗(yàn)生長(zhǎng)、生命的成長(zhǎng).因此，從這個(gè)意義上說(shuō)，教學(xué)活動(dòng)又必須要讓學(xué)生“在知識(shí)的活的身體里要有情感的血液在暢流”，以促進(jìn)學(xué)生感悟生命的力量.只有讓學(xué)生在思維活動(dòng)中生命得到拔節(jié)提升，學(xué)生的生命才能得到自然生長(zhǎng)，教學(xué)的最終目的才能落地生根.

2.重技能，更重策略.

如果說(shuō)，新授課既要注意探究程序性知識(shí)，又要注意探究策略性知識(shí)，那么，章首課就更要重視策略性知識(shí)的探究.例如，本課例設(shè)計(jì)中一開(kāi)始通過(guò)問(wèn)題情境，讓學(xué)生體悟到研究二次根式的必要性，然后根據(jù)學(xué)生的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)直入主題，研究二次根式的概念、性質(zhì)、計(jì)算及應(yīng)用，這是探究一個(gè)新知的大策略，在這個(gè)大策略下，又產(chǎn)生了如何研究二次根式的概念、性質(zhì)、計(jì)算、應(yīng)用這樣一些小的策略.這些策略的研究一是基本經(jīng)驗(yàn)，二是基于創(chuàng)新，又重在創(chuàng)新，而不是將學(xué)習(xí)的重點(diǎn)放在碎片化的技能訓(xùn)練上面，這是由章首課的地位與作用所決定的.

3.重內(nèi)容，更重結(jié)構(gòu).

從某種意義上說(shuō)，重內(nèi)容就是學(xué)什么，重結(jié)構(gòu)就是怎么學(xué).教學(xué)活動(dòng)的根本就是讓學(xué)生學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)，也就是讓學(xué)生知道怎么學(xué)，所以說(shuō)章首課更要在知識(shí)結(jié)構(gòu)性上做好文章.這種結(jié)構(gòu)上的東西，是由學(xué)生的悟性決定的.為此，要讓學(xué)生找到知識(shí)的源頭，也就是通常所說(shuō)的知識(shí)的生長(zhǎng)點(diǎn)，進(jìn)而形成生長(zhǎng)節(jié)，最終長(zhǎng)成知識(shí)樹(shù).本課例中讓學(xué)生借鑒分式的學(xué)習(xí)過(guò)程與經(jīng)驗(yàn)，這就讓學(xué)生找到了二次根式的生長(zhǎng)源；研究二次根式的概念、性質(zhì)、計(jì)算及應(yīng)用等知識(shí)環(huán)節(jié)，就是讓學(xué)生在生長(zhǎng)點(diǎn)中逐步形成生長(zhǎng)節(jié)；通過(guò)對(duì)上述知識(shí)的逐一探究，回頭來(lái)看，便自然形成了知識(shí)樹(shù).顯然，這是個(gè)由內(nèi)往外的自然迸發(fā)的過(guò)程，具備了生長(zhǎng)的本質(zhì)特征，它定會(huì)為學(xué)生生命進(jìn)階注入新的能量，這也是生長(zhǎng)數(shù)學(xué)所追求的教學(xué)意蘊(yùn).

1.卜以樓.“初中第一課”的教學(xué)設(shè)計(jì)［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（下），2016（11）.

2.卜以樓.“接班第一課”的教學(xué)設(shè)計(jì)［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（下），2015（12）.

3.蘇霍姆林斯基.給教師的建議［M］.北京：科學(xué)教育出版社，2000.