以三角函數(shù)為載體的綜合題型探究
——以2015年北京高考題為例

☉江蘇省灌云高級中學 施建波

以三角函數(shù)為載體的綜合題型探究
——以2015年北京高考題為例

☉江蘇省灌云高級中學 施建波

以三角函數(shù)為背景的綜合題型是高考考查的新趨勢，高考命題在三角函數(shù)性質(zhì)的基礎上，進行知識的綜合變式.利用三角函數(shù)的特殊性可以簡化問題，在對定義域及值域的分析中可以對復合性問題進行定性分析，對學生的綜合能力要求較強，這也是今后教學的重點.

一、真題再現(xiàn)

試題（2015年高考數(shù)學北京卷）已知函數(shù)f（x）=xcosx-sinx

二、試題點撥及評析

1.思路點撥

（1）證明f（x）＜0，則是證明函數(shù)的最小值小于等于0，利用導數(shù)的性質(zhì)即可判定.

2.參考答案

當c≤0時，g（x）=sinx-cx＞0，恒成立.

當c≥1時，g′（x）=cosx-c＜0，此時有g（x）=sinx-cx＞0在上是單調(diào)遞減的，所以g（x）＜g（0）=0，則有g（x）=sinx-cx＜0恒成立.

3.試題評析

本題目是一道典型的結(jié)合導數(shù)考查三角函數(shù)的綜合題，除需要熟練使用導數(shù)運算之外，還需要充分地利用三角函數(shù)的基本性質(zhì).對三角函數(shù)單調(diào)性和奇偶性的判斷是解題的基礎，分類討論是解此類題的主要方法.三角函數(shù)是中學的基礎知識，對學生的基礎運算能力和綜合推理能力要求較高.合理地在掌握三角函數(shù)的基礎上與其他知識進行綜合是高考對三角函數(shù)內(nèi)容的考查要求.

三、試題變式與拓展

三角函數(shù)在高考題和模擬考題中出現(xiàn)的概率很高，考查的知識點也比較綜合，下面我們對兩道相似的題型進行賞析.

（2）現(xiàn)給出如下3個結(jié)論，請分別判斷其正確性，并說明理由.

成立；

（1）求函數(shù)f（x）的最小周期和它的最小值；

上述兩題都是對三角函數(shù)的考查，求解三角函數(shù)題型都必須準確地把握函數(shù)的定義域和單調(diào)性，在此基礎上對函數(shù)進行值域的分析，結(jié)合導數(shù)的特殊性有助于對函數(shù)的單調(diào)性進行研究，對于證明題，則可以對結(jié)論進行適當?shù)目s放和變形，在三角函數(shù)性質(zhì)的基礎上進行求解.

四、教學反思

1.結(jié)合教材，對接高考

筆者對歷年高考題的研讀發(fā)現(xiàn)，高考的命題來源于教材，注重基礎知識，即使是綜合題也是基礎知識的結(jié)合.教材是教學的根本，也是思想方法培養(yǎng)的載體，高考中題型難度較大的考題也是對基礎知識的組合、拓展，然后賦予了新穎的數(shù)學背景.高考題是最具有代表性、最為嚴謹?shù)目碱}，每道題都經(jīng)過了命題組的反復推敲和檢驗，對于師生教學和學習具有極大的幫助.復習中將高考題和課本教材進行結(jié)合使用，可以引導學生發(fā)展變式思維，在不變的基礎知識上進行知識的重整和拓展，為高中的復習增添新的活力，也可以提升教師的教學水平.

2.能力優(yōu)先，強調(diào)綜合

高考是一次選拔性的考試，在注重基礎的前提下也注意對學生綜合能力的考查，本題目就考查了三角函數(shù)的基本性質(zhì)以及函數(shù)求導的值域判斷，綜合能力較強，可以真正的檢驗學生的真實水平，解題的關鍵是從基礎入手，從簡單的變形到復雜的推理運算，符合學生的思維變式.三角函數(shù)問題有基礎知識的考查，也有綜合知識點分析問題的考查，如果學生沒有扎實的基礎則會很難推進，教學中也是一致的，必須注重學生基礎知識的學習，在扎實的基礎下開展綜合能力的培養(yǎng)，引導學生從簡單問題中探究基本概念和規(guī)律，然后進行重點知識綜合拓展，穩(wěn)步提升學生的能力水平.

3.強化研究，發(fā)展變式

中學知識學習的目的是為了使學生的思維更加活躍，培養(yǎng)自我探究能力，在興趣培養(yǎng)中提升整體素質(zhì)，教師在這個過程中是為了更好的啟發(fā)、引導學生，學習的主體還是學生.教學中要強調(diào)研究性，而不是簡單地向?qū)W生灌輸知識，以三角函數(shù)為例，在對基礎知識講授后，可以進行多設問，定義域發(fā)生了變化導致函數(shù)的圖像又會如何變化.根據(jù)已知的條件，讓學生去探究未知的發(fā)展，沒有思維定式的教學才是好的教學方式，這樣既可以加深學生對知識的理解，也可以在延伸拓展中獲得新知.

五、總結(jié)

三角函數(shù)問題是中學的基礎知識，也是研究復雜問題的工具，與其他知識點的結(jié)合考查是高考考查的趨勢，解決此類問題需要老師在教學過程中聯(lián)系高考真題，回歸教材，注重基礎，然后在此基礎上進行延伸拓展.

1.蔡罡.把握題目特征思路順利生成——以三角函數(shù)問題為例說明［J］.中學數(shù)學（上），2015（9）.

2.劉國祥，張敏.對2016年江蘇高考壓軸題的探究、溯源與啟示［J］.中學數(shù)學（上），2016（9）.

3.葛小萍.三角函數(shù)背景下導數(shù)命題賞析［J］.中學數(shù)學（上），2016（10）.

4.周婷婷.反思一道“三角函數(shù)綜合應用題”的典型錯解［J］.數(shù)學教學通訊，2016（6）.

5.鞏松.高中數(shù)學教學中學生思維廣度與深度思考——以“正弦函數(shù)的性質(zhì)與圖象”的教學為例［J］.數(shù)學教學通訊，2016（18）.F