一道求三角函數值增解的探究

筅江蘇省儀征市第二中學沈永明周國梅

一道求三角函數值增解的探究

筅江蘇省儀征市第二中學沈永明周國梅

一、問題提出

西方現代科學和哲學奠基人笛卡爾主張對每一件事情進行懷疑，去審視知識內部的缺陷和不足，這種“回頭審視”的“笛卡爾懷疑”學習模式值得我們重視，在數學問題解決過程中，發(fā)現一道題的運算過程往往容易的，問題在于如何去掌握問題的必需條件，由于大部分的數學試題往往不會全部給出所有條件，經常隱藏著一些間接不明顯條件.在三角函數這一章中，對于不等式取值范圍題中常涉及到隱藏的角度關系，邊之間的關系，或邊角間的關系，忽視這些“隱形”條件，就會出現錯解或漏解現象，下面就一道求三角函數值產生的增根進行探究性教學.

二、題目呈現

本題主要考查三角形中已知三角函數值求三角函數值問題，難度不大，但第（2）問很多同學都出錯，出錯的主要原因是沒有挖掘出題設中的隱含條件，出現了增解.本文對該題從增解到正解進行探究和反思，僅供大家參考.

三、反思探究

通過產生增解過程的展示，讓學生觀察并思考錯誤點，分析并探究錯誤源，以此提高反思糾正的針對性和習題講解的有效性.習題是訓練學生思維的載體，通過解題的反思調動學生的探究熱情，通過解題的反思優(yōu)化學生的思維品質.

所以cosC=-cos（A+B）=-cosAcosB+sinAsinB=，或cosC=

反思1：此題出現了兩個答案.兩個答案都正確嗎？用什么方法檢驗呢？檢驗的切入點又是什么呢？通過設問引導學生思考和反思.在△ABC中，由題設條件容易判斷B為銳角，但很難判斷A是銳角還是鈍角，所以導致了增解.此題應該從所給角的三角函數值入手，求出角的范圍，再利用內角和定理便可消除增解.

所以cosC=-cos（A+B）=-cosAcosB+sinAsinB=.

反思2：很容易判斷B為銳角，若A為銳角，則滿足題意；若A為鈍角，則有可能出現A+B≥π，那么sinC≤0，就會不滿足題意了，于是只要驗證sinC的正負即可.判斷第三個角的正弦值的符號，操作方便，判斷明了，確實是一種好方法，應引導學生體會和應用.

所以cosC=-cos（A+B）=-cosAcosB+sinAsinB=.

反思3：由題設條件易知B為銳角，但A不確定.在三角形中，根據“大邊對大角”的性質并結合溝通邊角關系的正弦定理，很容易判斷a

反思4：人們習慣于沿著事物發(fā)展的正方向去思考問題并尋求解決辦法，但有時從問題的相反面深入地進行探索，讓思維向對立面的方向發(fā)展，即“逆向思維”，也會給解題帶來“柳暗花明”的效果.

由以上分析可知，學生的錯誤在于受思維定式的干擾，沒有挖掘題中的隱含條件，因此導致解題的錯誤.這道題是以相似題組出現的，考查學生解題的理解辨析能力，通過相似題組的求解，加強學生進行“創(chuàng)造性”思維能力解題的培養(yǎng).

四、結束語

要進行糾錯分析須堅持的基本態(tài)度：（1）解題錯誤的產生總有其內在的合理性，解題分析首先要對合理成分給予充分的理解.（2）要通過反例或啟發(fā)等途徑暴露矛盾，引發(fā)當事者自我反省.（3）要正確指出錯誤的地方，具體分析錯誤的性質.（4）作為對錯解的對比、補救或糾正，給出正確解法是絕對必要的.我們教師在平時的教學中，要充分相信學生，教學中要多給一點學生自由思考的時間，教師不能只按照自己事先想好的思路來教學，否則就會限制學生的思維，強扭學生的思維，題目剛出來就先進行提示或分析，那樣做會扼殺學生的自主思維能力，剝奪學生的自由創(chuàng)造空間.在學生還沒來得及思考的時候，老師硬是用自己固定的思路框定他們的頭腦，使他們服從于已有的模式，這對他們思維能力的形成是個不小的打擊.離開了學生的“自主活動”、“智力參與”、“個人體驗”就沒有真正的學習了.把課堂還給學生，引發(fā)學生積極思維，讓每位學生在數學思維的世界里自由地翱翔，向習題課教學要效益，通過問題解決，促進學生對數學知識的理解，讓每位學生主動、積極地參與教學.當然，要做到這點，首先教師對習題的本身要有深入的研究，其次，對學生的課堂參與要給予足夠的激勵和引導.把課堂還給學生，注意傾聽他們的聲音，點燃他們的思維之火.