巧用章引言 做好領(lǐng)路人*
——“計(jì)數(shù)原理”章引言課實(shí)錄與反思

●周 霞 (效實(shí)中學(xué) 浙江寧波 315012)

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巧用章引言 做好領(lǐng)路人*
——“計(jì)數(shù)原理”章引言課實(shí)錄與反思

●周 霞 (效實(shí)中學(xué) 浙江寧波 315012)

章引言在平時(shí)的教學(xué)中是一個(gè)被“遺忘的角落”.文章以“計(jì)數(shù)原理”章引言課為例，從“為何引”“怎么引”“引什么”3個(gè)方面闡述如何充分挖掘章引言的內(nèi)涵和價(jià)值，自然、恰當(dāng)?shù)卦诮虒W(xué)中進(jìn)行應(yīng)用，從而引發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)思考，在開啟新篇章之際，更好地引領(lǐng)學(xué)生入門.

章引言；引言課；計(jì)數(shù)

1 背景

2016年5月，筆者參加了以“深化課程意識，落實(shí)核心素養(yǎng)”為主題的浙江省寧波市直屬高中教研活動(dòng)，并進(jìn)行了一次課例展示，上課內(nèi)容為人教A版《數(shù)學(xué)(選修2-3)》第1章“計(jì)數(shù)原理”章引言，這也是筆者此前參加寧波市城區(qū)教壇新秀評比時(shí)選用的課例.現(xiàn)將這節(jié)課的教學(xué)過程以及筆者對章引言教學(xué)的點(diǎn)滴思考整理成文，與大家交流.

2 課堂實(shí)錄

2.1 情境創(chuàng)設(shè)，引發(fā)興趣

師：我這里有一個(gè)密碼本，右側(cè)共有8個(gè)按鍵，從上到下分別標(biāo)有數(shù)字1～8.這個(gè)密碼本設(shè)有一個(gè)4位密碼(數(shù)字從小到大排列)，只有按照密碼將相應(yīng)的數(shù)字鍵按下，本子才能打開.可是現(xiàn)在這個(gè)本子的密碼只知道前2位是34，后2位數(shù)字看不清了，大家能不能幫忙猜猜后2位數(shù)字是什么？

(學(xué)生興致很高，紛紛猜測.)

生(眾)：68,58,78,56,57,67.

師：還有嗎？你來猜一個(gè)？

生1：沒有了，已經(jīng)列出了所有情況.

師：你怎么確保沒有遺漏呢？

生1：我是按規(guī)律找的，56,57,58,67,68,78.

師：按規(guī)律找就不會(huì)遺漏，密碼只有6種可能，那我們來試一試，看看密碼究竟是什么？

(當(dāng)按下正確密碼3458時(shí)，密碼本被打開了，猜中的學(xué)生興奮不已.)

師：剛才問題中求所有可能的密碼個(gè)數(shù)可以抽象成一個(gè)怎樣的數(shù)學(xué)問題？

生2：由5,6,7,8這4個(gè)數(shù)可以組成多少個(gè)不重復(fù)的2位數(shù).

設(shè)計(jì)意圖 通過小游戲“猜密碼”引入課題，簡單而有趣的情境吸引了每一位學(xué)生的注意力，激發(fā)了他們的學(xué)習(xí)興趣和參與熱情.

2.2 問題探究，引出主題

師：我去買密碼本的時(shí)候，發(fā)現(xiàn)同樣是8個(gè)按鍵的本子，有些設(shè)置的密碼是3位數(shù)的，有些是4位數(shù)的.從保密性能來考慮，我應(yīng)該選擇哪一種更好呢？

生3：4位數(shù)的.

師：為什么呢？

生3：老師，你在網(wǎng)上設(shè)密碼的時(shí)候是選長一點(diǎn)的密碼還是選短一點(diǎn)的密碼呢？

師：應(yīng)該是選長一點(diǎn)的密碼安全性更高吧.當(dāng)時(shí)我的想法和你一樣，因此我就選了4位密碼.可是后來我回家一想，既然密碼長一點(diǎn)好，那廠家為什么不設(shè)置8位密碼呢？

生(眾)：8位密碼等于沒有設(shè)密碼.

師：看來密碼也不是越長越好，至少在這個(gè)問題上不是這樣.如果是7位密碼呢，能設(shè)置多少個(gè)？

生4：8個(gè).

師：為什么是8個(gè)呢？

生4：按下7個(gè)數(shù)字鍵，相當(dāng)于8個(gè)按鍵中選一個(gè)未按下的鍵，因此有8種情況.

師：也就是說設(shè)置7位密碼和設(shè)置1位密碼的種數(shù)是一樣多的，都是8種.那如果是2位密碼呢，有多少種情況？

生5：28種.

師：你是怎么算的？

生5：第1位數(shù)字是1的有7種：12,13,14,15,16,17,18，第1位數(shù)字是2的有6種，……，因此共有7+6+5+4+3+2+1=28種.

師：剛才這位同學(xué)對密碼的首位數(shù)字進(jìn)行分類后用加法來計(jì)算種數(shù)，顯然要比一種一種列出來更加方便快捷.從計(jì)算結(jié)果來看設(shè)置2位密碼比1位密碼種數(shù)要多，那么3位密碼、4位密碼呢？有沒有規(guī)律可以快速地求出密碼種數(shù)呢？大家可以在課后思考一下，這是本章將要學(xué)習(xí)的內(nèi)容之一.

師：除了這種密碼本，還有一種密碼鎖更為常見.如果它的密碼是一個(gè)3位數(shù)，每一位上的數(shù)字都可以是0～9，那么這樣的密碼鎖能夠設(shè)置多少種不同的密碼呢？

生6：1 000種.

師：怎么算？

生6：10×10×10.

師：我們不需要一個(gè)一個(gè)去數(shù)，可以用乘法很快計(jì)算出密碼種數(shù).剛才2個(gè)問題中計(jì)算密碼種數(shù)的問題我們都稱之為計(jì)數(shù)問題，通俗地說就是計(jì)算個(gè)數(shù)問題.計(jì)數(shù)問題對我們來說并不陌生，因?yàn)槲覀儗W(xué)習(xí)數(shù)學(xué)就是從數(shù)數(shù)開始，先是一個(gè)一個(gè)地?cái)?shù)，然后學(xué)習(xí)了加法和乘法運(yùn)算，可以更加方便地計(jì)數(shù).在計(jì)數(shù)原理這一章中將要研究不通過一個(gè)一個(gè)地?cái)?shù)而確定個(gè)數(shù)的方法.

設(shè)計(jì)意圖 以問題串的形式圍繞密碼進(jìn)行探究，讓學(xué)生回顧已有的計(jì)數(shù)方法：如列舉法、樹狀圖等，并且能夠使用加法或乘法來方便計(jì)數(shù)，但是在計(jì)算3位密碼、4位密碼時(shí)，學(xué)生強(qiáng)烈地意識到已有的經(jīng)驗(yàn)在解決更多的計(jì)數(shù)問題時(shí)具有一定的局限性，需要尋求更一般的規(guī)律.

2.3 實(shí)例感悟，引導(dǎo)思考

師(PPT展示)：計(jì)數(shù)問題在我們生活中有很多，例如：

1)汽車牌照.隨著生活水平的提高，家庭汽車擁有量逐年增加，原先5位數(shù)的牌照早已不能滿足需求，因此現(xiàn)在的牌照除了數(shù)字又加入了字母.由0～9這10個(gè)數(shù)字和A～Z這26個(gè)字母一共能組成多少個(gè)不同的牌照呢？這樣的編號規(guī)則能否滿足近年來汽車增長的需求呢？

2)彩票中的雙色球.雙色球每注投注號碼由6個(gè)紅球號碼和1個(gè)藍(lán)球號碼組成，6個(gè)紅球號碼從01～33中選，1個(gè)藍(lán)球號碼從01～16中選.根據(jù)這樣的選號方式，一共能產(chǎn)生多少種不同的號碼呢？

3)DNA分子結(jié)構(gòu).一說起DNA,我們都會(huì)想到親子鑒定，或是嫌疑人身份鑒定等等，為什么DNA可以看作是每個(gè)人身份的標(biāo)簽?zāi)兀緿NA分子是以4種脫氧核苷酸為單位連接而成的長鏈，這4種脫氧核苷酸分別含有A,T,C,G這4種堿基.DNA分子由于堿基對的數(shù)量不同，堿基對的排列順序千變?nèi)f化，因而構(gòu)成了DNA分子的多樣性.成百上千個(gè)堿基組成的DNA分子的種數(shù)到底有多巨大，你知道如何計(jì)算嗎？

4)備受關(guān)注的法國歐洲杯在6月拉開帷幕，2016年的歐洲杯將是首次采用24支球隊(duì)參賽制，這24支球隊(duì)被分為6個(gè)小組，每個(gè)小組4支球隊(duì)，那么小組賽要打幾場？從小組賽到最后決賽，整個(gè)歐洲杯總共要打幾場比賽？

5)在2016年3月的圍棋人機(jī)大戰(zhàn)中，阿爾法狗以4∶1戰(zhàn)勝了韓國名將李世石，這件事之所以引起很大的轟動(dòng)，是因?yàn)閲逄魬?zhàn)一直以來被稱作人工智能的“阿波羅”計(jì)劃.早在1997年,人工智能就已經(jīng)攻克了象棋，圍棋卻始終攻克不了，因?yàn)閲宓目赡苄蕴嗔?，一?50回合的圍棋可能出現(xiàn)的局面多達(dá)10170種.早在北宋時(shí)期，科學(xué)家沈括就在《夢溪筆談》里就記載了圍棋棋局總數(shù)的計(jì)算問題.

師：計(jì)數(shù)問題在生活中、在各個(gè)領(lǐng)域都廣泛存在，接下來大家能不能從身邊找些例子.

生7：一天的課表安排.

生8：高考選考科目7選3.

生9：食堂套餐的菜品搭配，高考志愿填報(bào)等.

設(shè)計(jì)意圖 通過實(shí)例分析，讓學(xué)生了解什么是計(jì)數(shù)問題，感受計(jì)數(shù)問題廣泛存在于生活中，并在相互交流討論中加強(qiáng)對計(jì)數(shù)問題的認(rèn)識和理解.

2.4 課堂小結(jié)，指引方向

師：請大家結(jié)合剛才的生活實(shí)例回答下面3個(gè)問題.問題1：這一章我們要研究什么？

生10：計(jì)數(shù)問題.

師：問題2：為什么要研究計(jì)數(shù)問題？

生11：生活中廣泛存在.

師：問題3：我們應(yīng)該怎樣研究，是一個(gè)一個(gè)地?cái)?shù)嗎？

生12：不是，找規(guī)律.

師：對，我們要研究如何能不通過一個(gè)一個(gè)地?cái)?shù)而確定個(gè)數(shù)，就是要探究計(jì)數(shù)的技巧.在計(jì)算密碼個(gè)數(shù)時(shí)，我們用到了什么技巧？

生12：加法和乘法.

師：將加法和乘法運(yùn)算進(jìn)行推廣就可得到分類加法計(jì)數(shù)原理和分步乘法計(jì)數(shù)原理，這是計(jì)數(shù)原理中最重要也是最基礎(chǔ)的2個(gè)原理.應(yīng)用這2個(gè)原理，可以進(jìn)一步推導(dǎo)計(jì)數(shù)問題中2類特殊問題的計(jì)數(shù)公式，即排列數(shù)公式和組合數(shù)公式，并在此基礎(chǔ)上得到具有廣泛應(yīng)用的二項(xiàng)式定理，這就是我們即將要學(xué)習(xí)的內(nèi)容.

設(shè)計(jì)意圖 3個(gè)問題的探討讓學(xué)生明確本章學(xué)習(xí)的內(nèi)容、意義和方法，然后在此基礎(chǔ)上介紹本章內(nèi)容框架，為學(xué)生提供一個(gè)清晰的學(xué)習(xí)路線圖.

3 教學(xué)反思

在平時(shí)的教學(xué)中，章引言總是容易被遺忘.沒有足夠的課時(shí)，內(nèi)容相對簡單，空泛的介紹毫無意義……種種理由讓我們對此視而不見、棄之不用.筆者在反復(fù)研讀教材并實(shí)踐教學(xué)計(jì)數(shù)原理章引言后驚喜地發(fā)現(xiàn)這個(gè)“被遺忘的角落”有著豐富的內(nèi)涵和教學(xué)價(jià)值，是有利于教師“教”和學(xué)生“學(xué)”的寶貴資源.下面結(jié)合課例從3個(gè)方面談?wù)劚救藢φ乱越虒W(xué)的思考.

3.1 為何引

章引言位于每個(gè)章節(jié)起始位置，言簡意賅地介紹了本章節(jié)所涉及的內(nèi)容和思想方法，是章節(jié)內(nèi)容的高度概括，起著提綱挈領(lǐng)的作用，它可以使學(xué)生初步了解該章節(jié)的學(xué)習(xí)目標(biāo)、學(xué)習(xí)線索和學(xué)習(xí)方法.除此之外，章引言還結(jié)合學(xué)習(xí)內(nèi)容圖文并茂地展示相關(guān)的知識背景、數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)文化、現(xiàn)實(shí)生活中的應(yīng)用等，豐富的材料開拓了學(xué)生的數(shù)學(xué)視野，激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，讓學(xué)生對即將開始的學(xué)習(xí)內(nèi)容充滿期待.

教材中計(jì)數(shù)原理的章引言首先列舉了大量生活實(shí)例，然后指出計(jì)數(shù)問題的研究方法，再介紹本章的知識體系.這些材料可以讓學(xué)生感受到計(jì)數(shù)問題源于生活，計(jì)數(shù)原理不是什么晦澀難懂的數(shù)學(xué)概念，而是由小學(xué)的加法和乘法運(yùn)算推廣而來，計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用很廣泛.因此，通過章引言學(xué)生不僅看到了知識的“來龍”，而且知道了它的“去脈”，了解了知識的發(fā)生、發(fā)展過程，這將有助于學(xué)生克服畏難情緒，充滿自信地開始新的學(xué)習(xí).

3.2 怎么引

如何對教材內(nèi)容進(jìn)行再加工，才能使章引言教學(xué)引得巧、引得妙、引得恰到好處呢？陶維林教授曾提出章引言教學(xué)的幾種處理方法，他指出應(yīng)根據(jù)內(nèi)容的不同采用不同的引入方法，并特別強(qiáng)調(diào)教學(xué)過程的“自然”和“恰當(dāng)”[1].

要做到“自然”，我們需要結(jié)合具體內(nèi)容，去追尋歷史的足跡，去思考知識發(fā)生發(fā)展的邏輯，去洞悉學(xué)生思維的“最近發(fā)展區(qū)”，這樣才能設(shè)計(jì)出切實(shí)可行、自然平順的章引言課.本節(jié)課密碼問題的設(shè)計(jì)就是在充分理解教材和理解學(xué)生的基礎(chǔ)上創(chuàng)設(shè)的情境，讓學(xué)生根據(jù)已有經(jīng)驗(yàn)先機(jī)械地?cái)?shù)，然后不斷深化問題，讓學(xué)生意識到對于復(fù)雜問題只會(huì)機(jī)械地?cái)?shù)是不夠的，必須從簡單的、已經(jīng)解決的計(jì)數(shù)問題中抽象出能夠解決“一類”問題的方法.

要做到“恰當(dāng)”，我們需要把握好度，適可而止，不要增加學(xué)生的負(fù)擔(dān)，讓學(xué)生產(chǎn)生畏懼心理.由于學(xué)生在初中階段學(xué)習(xí)過用列舉法或樹狀圖來解決一些簡單的計(jì)數(shù)問題，已經(jīng)具備了一定的歸納、類比能力，因此引例中會(huì)使用“加法”和“乘法”來解決問題，但這只是不自覺的、感性的計(jì)數(shù)實(shí)踐[2]，此時(shí)教師沒有必要將其提升為自覺的、理性的計(jì)數(shù)原理，因?yàn)檫@是后續(xù)課程的內(nèi)容，若生硬地將概念拋給學(xué)生，則效果必將適得其反.

3.3 引什么

3.3.1 引發(fā)興趣，引導(dǎo)思考

德國教育家第斯多惠指出：“教學(xué)的藝術(shù)不在于傳授本領(lǐng)，而在于激勵(lì)、喚醒、鼓舞.”章引言課便是激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣、激活學(xué)生思維、鼓舞學(xué)生不斷追求新知、充分調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)主動(dòng)性的重要教學(xué)環(huán)節(jié).本節(jié)課由小游戲“猜密碼”引入，圍繞密碼問題層層設(shè)問，讓學(xué)生由最簡單的計(jì)數(shù)問題開始，經(jīng)歷從“一個(gè)一個(gè)地?cái)?shù)”，到“按規(guī)律用加法、乘法來計(jì)算”，再到“需要尋求快速簡便的方法來解決此類問題”這樣的思維過程，使他們對新知產(chǎn)生了強(qiáng)烈的好奇心和求知欲，并充分感受了數(shù)學(xué)學(xué)科“追求最大限度的一般性模式，特別是一般性算法的傾向”的思維特點(diǎn).

3.3.2 引出主題，指引方向

章引言課無論以怎樣的形式導(dǎo)入，最終的目的只有一個(gè)，那就是引出本章的主題，介紹即將學(xué)習(xí)的內(nèi)容，而這個(gè)過程必然會(huì)涉及一些尚未學(xué)習(xí)的概念，此時(shí)沒有必要對這些新概念一一解釋，只需帶領(lǐng)學(xué)生粗略地展望新的學(xué)習(xí)內(nèi)容，了解概貌即可.當(dāng)然，除了教學(xué)內(nèi)容之外，教師更應(yīng)該盡力滲透學(xué)習(xí)方法、學(xué)習(xí)策略的指導(dǎo)，關(guān)注對學(xué)生思維、思想的引領(lǐng)，在開啟新篇章之際，引領(lǐng)學(xué)生入門.

本節(jié)課密碼種數(shù)的探究就是讓學(xué)生在解決簡單的計(jì)數(shù)問題中體會(huì)“加法”和“乘法”是將若干個(gè)“小的數(shù)”結(jié)成“較大的數(shù)”的最基本技巧，從而為后續(xù)學(xué)習(xí)中進(jìn)一步由這種技巧推廣到分類加法計(jì)數(shù)原理和分步乘法計(jì)數(shù)原理奠定基礎(chǔ).同時(shí)課堂中典型而豐富的生活實(shí)例，引導(dǎo)著學(xué)生們用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界、用數(shù)學(xué)的思維分析世界、用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)世界.

常言道：“師傅領(lǐng)進(jìn)門，修行在個(gè)人.”學(xué)習(xí)的關(guān)鍵在于學(xué)生的“悟”，但也離不開教師的“引”，特別是在學(xué)習(xí)新的篇章之際，教師的引領(lǐng)更為重要.教師要做好學(xué)生的“領(lǐng)路人”，充分挖掘章引言的內(nèi)涵和價(jià)值，自然、恰當(dāng)?shù)卦诮虒W(xué)中進(jìn)行應(yīng)用，從而引發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)思考，引領(lǐng)學(xué)生在數(shù)學(xué)的世界中探索遨游.

[1] 陶維林.研究章引言 上好起始課[J].中國數(shù)學(xué)教育,2010(3)：11-13.

[2] 羅增儒.“兩個(gè)基本計(jì)數(shù)原理”的教學(xué)分析——“2016年高中數(shù)學(xué)特色課堂案例分析研修會(huì)”發(fā)言稿(節(jié)選整理之二)[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考,2016(6)：25-29.

2017-03-08；

2017-04-10

周 霞(1981-)，女，浙江寧波人，中學(xué)一級教師.研究方向：數(shù)學(xué)教育.

O122.4

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1003-6407(2017)06-30-04