高考數(shù)學(xué)大揭密

喬軍

三角函數(shù)是歷年高考數(shù)學(xué)中的必考的知識(shí)，與三角函數(shù)有關(guān)的考點(diǎn)出現(xiàn)的概率基本上是百分之百，每年必考、每省市必考.本文通過綜合分析近年出現(xiàn)在全國各個(gè)省市的高考數(shù)學(xué)試題中的和三角函數(shù)有關(guān)的題目，對(duì)高考中三角函數(shù)考題的考查方式及解析方法進(jìn)行歸納總結(jié)，以供讀者學(xué)習(xí)參考.

一、考綱要求

《2016年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試大綱（數(shù)學(xué)）》對(duì)于三角函數(shù)這一知識(shí)點(diǎn)要求如下：①理解任意角三角函數(shù)（正弦、余弦、正切）的定義；②能利用單位圓中的三角函數(shù)線推導(dǎo)出π2±α，π±α的正弦、余弦、正切的誘導(dǎo)公式，能畫出y =sinx，y=cosx，y=tanx的圖像，了解三角函數(shù)的周期性；③理解正弦函數(shù)、余弦函數(shù)在區(qū)間[0，2π]上的性質(zhì)（如單調(diào)性、最大值和最小值以及與x軸的交點(diǎn)等），理解正切函數(shù)在區(qū)間-π2，π2內(nèi)的單調(diào)性；④理解同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式：sin2x+cos2x = 1，sinxcosx=tanx.；⑤了解函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的物理意義；能畫出y=Asin（ωx+φ）的圖像，了解參數(shù)A，ω，φ對(duì)函數(shù)圖像變化的影響；⑥了解三角函數(shù)是描述周期變化現(xiàn)象的重要函數(shù)模型，會(huì)用三角函數(shù)解決一些簡單實(shí)際問題.

二、考察方式

總覽每年高考數(shù)學(xué)對(duì)于三角函數(shù)的掌握程度的考察，題型靈活多變，在選擇題、填空題、以及大題中都有出現(xiàn).三角函數(shù)的考查包括基礎(chǔ)理論、基本概念、基本公式變換及三角函數(shù)的特性等知識(shí)，該類題目綜合性非常強(qiáng)、思維容量非常大.考查三角函數(shù)題目，不僅可以有效考察學(xué)生對(duì)所學(xué)的知識(shí)的掌握程度，還可以考察學(xué)生的邏輯思維能力.同時(shí)也考查學(xué)生的辯證思維能力.

三、例題分析

例1 （2012年全國理科，7）已知α為第二象限角，

sinα+cosα=33，則cos2α=（）.

A.-53B.-59C.59D.53

例題精講 sinα+cosα=33，

兩邊平方可得1+

sin2α=13sin2α=-23.

∵α是第二象限角，因此sinα>0，cosα<0，所以

cosα-sinα=-（cosα-sinα）2

=-

1+23=-153

.

∴cos2α=cos2α-sin2α=（cosα+sinα）（cosα-sinα）=-53.

標(biāo)準(zhǔn)答案：A

考點(diǎn)解析 本試題主要考查了三角函數(shù)中兩角和差的公式以及二倍角公式的運(yùn)用.首先利用平方法得到二倍角的正弦值，然后利用二倍角的余弦公式，將所求的轉(zhuǎn)化為單角的正弦值和余弦值的問題.

例2 （2012年全國理科，14）

當(dāng)函數(shù)y=sinx-3cosx（0≤x<2π）取得最大值時(shí)，x=.

例題精講 由

y=sinx-3cosx=2sin（x-π3）

由0≤x<2π-π3≤x-π3<5π3

可知-2≤2sin（x-π3）≤2

當(dāng)且僅當(dāng)x-π3=3π2即x=11π6時(shí)取得最小值，x-π3=π2時(shí)即x=5π6取得最大值.

標(biāo)準(zhǔn)答案：5π6.

考點(diǎn)解析 本試題主要考查了三角函數(shù)性質(zhì)的運(yùn)用，求解值域的問題.首先化為單一三角函數(shù)，然后利用定義域求解角的范圍，從而結(jié)合三角函數(shù)圖像得到最值點(diǎn).

例3 （2012年全國理科，17）△ABC的內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別為

a、b、c，已知cos（A-C）+cosB=1，a=2c，求C.

例題精講 由A+B+C=πB=π-（A+C），

由正弦定理及a=2c可得sinA=2sinC

所以cos（A-C）+cosB=cos（A-C）+cos（π-（A+C））=cos（A-C）-cos（A+C）=cosAcosC+sinAsinC-cosAcosC+sinAsinC=2sinAsinC

故由cos（A-C）+cosB=1與sinA=2sinC可得2sinAsinC=14sin2C=1.

而C為三角形的內(nèi)角且a=2c>c，故

0

考點(diǎn)解析 本試題主要考查解三角形的運(yùn)用，給出兩個(gè)公式，一個(gè)是邊的關(guān)系，一個(gè)是角的關(guān)系，而求解的為角，因此要找到角的關(guān)系式為好.該試題從整體來看保持了往年的解題風(fēng)格，依然是通過邊角的轉(zhuǎn)換，結(jié)合了三角形的內(nèi)角和定理的知識(shí)，以及正弦定理和余弦定理，求解三角形中的角的問題.試題整體上比較穩(wěn)定，思路也比較容易想，先將三角函數(shù)關(guān)系式化簡后，得到A，C角關(guān)系，然后結(jié)合a=2c，得到兩角的二元一次方程組，自然很容易得到角C的值.

例4 （2016年北京理科，15）

在△ABC中，a2+c2=b2+2ac.

（1）求∠B的大小；

（2）求2cosA+cosC的最大值.

例題精講 （1）由余弦定理及題目得cosB=

a2+c2-b22ac=2ac2ac=22，又因?yàn)?

（2）由（1）知A+C=3π4，

2cosA+cosC=2cosA+cos（3π4-A）

=2cosA-22cosA+22sinA

=22cosA+22sinA=cos（A-π4），

因?yàn)?

考點(diǎn)解析 1.三角恒等變形，根據(jù)余弦定理公式求出cosB的值，進(jìn)而根據(jù)取值范圍求B的大?。?.余弦定理，由輔助角公式對(duì)2cosA+cosC進(jìn)行化簡變形，進(jìn)而根據(jù)A的取值范圍求出其最大值.正、余弦定理是應(yīng)用極為廣泛的兩個(gè)定理，它將三角形的邊和角有機(jī)地聯(lián)系起來，從而使三角與幾何產(chǎn)生聯(lián)系，為求與三角形有關(guān)的量（如面積、外接圓、內(nèi)切圓半徑和面積等）提供了理論依據(jù)，也是判斷三角形形狀、證明三角形中有關(guān)等式的重要依據(jù).其主要方法有：化角法，化邊法，面積法，運(yùn)用初等幾何法.注意體會(huì)其中蘊(yùn)涵的函數(shù)與方程思想、等價(jià)轉(zhuǎn)化思想及分類討論思想.

例5 （2016年北京理科，7）將函數(shù)y=sin（2x-

π3）圖象上的點(diǎn)P（π4，t）向左平移s（s>0）個(gè)單位長度得到點(diǎn)P′，若P′位于函數(shù)y=sin2x的圖象上，則（）.

A.t=12，s的最小值為π6

B.t=32，s的最小值為π6

C.t=12，s的最小值為π3

D.t=32，s的最小值為π3

例題精講 由題意得，t=sin（2×

π4-π3）=12，故此時(shí)P′所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為（π12，

12），此時(shí)向左平移

π4-π12=π6.

答案：A

考點(diǎn)解析

三角函數(shù)的圖象變換，有兩種選擇：一是先伸縮再平移，二是先平移再伸縮.特別注意平移變換時(shí)，當(dāng)自變量x的系數(shù)不為1時(shí)，要將系數(shù)先提出.翻折變換要注意翻折的方向；三角函數(shù)名不同的圖象變換問題，應(yīng)先將三角函數(shù)名統(tǒng)一，再進(jìn)行變換.

例6 （2016年上海理科，7）

方程3sinx=1+cos2x在區(qū)間[0，2π]上的解為.

例題精講

由cos2x=1-2sin2x，3sinx=2-2sin2x，即2sin2x+3sinx-2=0，

所以（2sinx-1）（sinx+2）=0，

所以sinx=12，

所以x=π6或5π6

答案：π6或5π6

考點(diǎn)解析 考查二倍角的計(jì)算公式，將三角函數(shù)與二次函數(shù)結(jié)合.

例7 （2016年山東理科，7）

函數(shù)f（x）=（3sinx+cosx）（3cosx-sinx）的最小正周期是（）.

A.π2B.πC.3π2D.2π

例題精講 化簡式子得f（x）=2sin（x+π6）×2cos（x+π6）=2sin（2x+π3），故最小正周期T=2π2=π，故選B.

考點(diǎn)解析 這道題目主要考察求值問題，三角函數(shù)的周期性計(jì)算.

例8 （2016年山東理科，16）

在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知2（tanA+tanB）=tanAcosB+tanBcosA.

（Ⅰ）證明：a+b=2c；

（Ⅱ）求cosC的最小值.

例題精講

（Ⅰ）由題意知2（sinAcosA+sinBcosB）=sinAcosAcosB+sinBcosAcosB，

化簡得2（sinAcosB+sinBcosA）=sinA+sinB，

即2sin（A+B）=sinA+sinB

又因?yàn)锳+B+C=π，所以sin（A+B）=sin（π-C）=sinC，

進(jìn)一步得sinA+sinB=2sinC，由正弦定理得a+b=2c.

（Ⅱ）由（Ⅰ）知c=a+b2，所以

cosC=a2+b2-c22ab=a2+b2-（a+b2）22ab=38（ba+ab）-14≥12，

當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)，等號(hào)成立.

故cosC的最小值為12.

考點(diǎn)解析 （Ⅰ）根據(jù)兩角和正弦公式、正切公式、正弦定理即可證明；

（Ⅱ）根據(jù)余弦定理公式表示出cosC，由基本不等式求出cosC的最小值.

例9 （2016年全國理科，12）

已知函數(shù)f（x）=sin（ωx+φ）（ω>0，φ

SymbolcB@ π2），x=-π4為f（x）的零點(diǎn)，x=π4為y=f（x）圖像的對(duì)稱軸，且f（x）在（π18，5π36）單調(diào)，則ω的最大值為（）.

A.11B.9C.7D.5

例題精講

因?yàn)閤=-π4為f（x）的零點(diǎn)，x=π4為y=f（x）圖像的對(duì)稱軸，所以π4-（-π4）=T4+k2T，即

π2=2k+14T=2k+14·2πω

，所以ω=2k+1（k∈N），又因?yàn)閒（x）在

（π18，5π36）單調(diào)，所以

5π36-π18=π12≤T2=2π2ω，即ω≤12，當(dāng)ω=11時(shí)，由-114π+φ=kπ（k∈Z），|φ|≤π2得φ=-π4，此時(shí)f（x）在（π18，5π36）不單調(diào)，不滿足題意，當(dāng)ω=9時(shí)，φ=π4，滿足題意，所以ω

的最大值為9.故選B.

考點(diǎn)解析 三角函數(shù)的性質(zhì)，包括周期性、單調(diào)性以及對(duì)稱性，同時(shí)將三角函數(shù)和最值問題結(jié)合在一起考查，考查方式靈活新穎.

例10 （2016年全國理科，17）

△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知2cosC（acosB+bcosA）=c.

（Ⅰ）求C；

（Ⅱ）若c=7，△ABC的面積為332，求△ABC的周長.

例題精講

（Ⅰ）由已知及正弦定理得，

2cosCsinΑcosΒ+sinΒcosΑ=sinC，

2cosCsinΑ+Β=sinC，

故2sinCcosC=sinC，

可得cosC=12，所以C=π3.

（Ⅱ）由已知12absinC=332，又C=π3，所以ab=6，

由余弦定理可得，

a2+b2-2abcosC=7，

故a2+b2=13，從而（a+b）2=25，

故△ABC周長為5+7.

考點(diǎn)解析 （Ⅰ）考查通過余弦定理進(jìn)行邊和角的關(guān)系互換，進(jìn)一步化簡即可求出C角的大小.

（Ⅱ）根據(jù)題目已知條件12absinC=332

以及（Ⅰ）中C=π3可得ab=6，再通過余弦定理可得（a+b）2=25，從而可得△ABC的周長為5+7.

例11 （2016年全國理科，5）若tanα=34，則cos2α+2sin2α=（）.

A.6425B.4825C.1D.1625

例題精講 由tanα=34，計(jì)算可得

sinα=35，cosα=45或sinα=-35，cosα=-45，故cos2α+2sin2α=1625+4×1225=6425，故選A.

考點(diǎn)解析 同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系計(jì)算，即sin2x+cos2x=1，同時(shí)考查二倍角公式計(jì)算

例12 （2016年全國理科，14）

函數(shù)y=sinx-3cosx

的圖像可由函數(shù)

y=sinx+3cosx的圖像至少向右平移個(gè)單位長度得到.

例題精講

因?yàn)閥=sinx+3cosx

=2sin（x+π3），

y=sinx-3cosx=2sin（x-π3）=2sin[（x+π3）-2π3]，故函數(shù)y=sinx-3cosx

的圖像可由函數(shù)

y=sinx+3cosx的圖像至少向右平移2π3

個(gè)單位長度得到.

答案：2π3

考點(diǎn)解析 考查三角函數(shù)圖象沿水平方向的平移變換，以及兩角和與差的正弦公式.

例13 （2016年江蘇（Ⅰ），14）在銳角三角形ABC中，sinA=2sinBsinC，則tanAtanBtanC的最小值是 .

例題精講 由三角函數(shù)基本公式

sinA=sinπ-A=sinB+C=sinBcosC+cosBsinC和sinA=2sinBsinC，

可得sinBcosC+cosBsinC=2sinBsinC（*），

又因?yàn)椤鰽BC為銳角三角形，則cosB>0，cosC>0，

在（*）式兩側(cè)同時(shí)除以cosBcosC可以得到tanB+tanC=2tanBtanC，

又因?yàn)閠anA=-tanπ-A=-tanB+C=-tanB+tanC1-tanBtanC（#），

則tanAtanBtanC=-tanB+tanC1-tanBtanC×tanBtanC，

由tanB+tanC=2tanBtanC可得tanAtanBtanC=-2tanBtanC21-tanBtanC，

再令tanBtanC=t，由A，B，C為銳角可得tanA>0，tanB>0，tanC>0，

由（#）得1-tanBtanC<0，解得t>1

tanAtanBtanC=-2t21-t=-21t2-1t，1t2-1t=1t-122-14，

由t>1則0>1t2-1t≥-14，因此tanAtanBtanC最小值為8，

當(dāng)且僅當(dāng)t=2時(shí)取到等號(hào)，此時(shí)tanB+tanC=4，tanBtanC=2，

解得tanB=2+2，tanC=2-2，tanA=4（或tanB，tanC互換），此時(shí)A，B，C均為銳角.

答案：8

考點(diǎn)解析 該題目可以稱為高考中填空題的壓軸題，主要考察三角函數(shù)的基本公式計(jì)算，考查正弦、余弦、正切函數(shù)之間的公式變換，解答該題目需要考生熟練掌握三角函數(shù)的基本公式，要求考生有高超的計(jì)算能力.

例14 （2016年江蘇（Ⅰ），15）

在△ABC中，AC=6，cosB=45，C=π4.（1）求AB的長；

（2）求cosA-π6的值.

例題精講

（1）因?yàn)閏osB=45，又因?yàn)锽為三角形的內(nèi)角，故sinB=35，因?yàn)?/p>

ABsinC=ACsinB，所以

AB22=635，算出AB=52.

（2）因?yàn)閏osA=-cosC+B=sinBsinC-cosBcosC，

所以cosA=-210，又因?yàn)锳為三角形的內(nèi)角

，所以sinA=7210.

所以cos（A-π6）=32cosA+12sinA=72-620.

考點(diǎn)解析 考察三角形的內(nèi)角關(guān)系，三個(gè)角之間的相互轉(zhuǎn)換計(jì)算.但是計(jì)算的數(shù)據(jù)比較復(fù)雜，要求考生要有較強(qiáng)的計(jì)算能力.

例15 （2016年北京文科，13）在△ABC中，∠A=2π3，a=3c，則

bc=.

例題精講

由正弦定理可知

sinAsinC=ac=3，所以sinC=sin2π33=12，所以C=π6，所以B=π-2π3-π6=π6，所以b=c，即bc=1.

考點(diǎn)解析 考查三角形角和邊的基本關(guān)系，以及不同角之間的關(guān)系.

例16 （2016年北京文科，16）

已知函數(shù)f（x）=2sinωxcosωx+cos2ωx（ω>0）的最小正周期為π.

（Ⅰ）求ω的值；

（Ⅱ）求f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間.

例題精講

（Ⅰ）因?yàn)閒（x）=2sinωxcosωx+cos2ωx=sin2ωx+cos2ωx=2sin（2ωx+π4）

所以f（x）的最小正周期T=2π2ω=πω.由題意可知πω=π，故ω=1.

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知f（x）=2sin（2x+π4）

函數(shù)y=sinx的單調(diào)遞增區(qū)間為[2kπ-π2，2kπ+π2]（k∈Z）.

由2kπ-π2≤2x+π4≤2kπ+π2，

得kπ-3π8≤x≤kπ+π8.

所以f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為[kπ-3π8，kπ+π8]（k∈Z）.

考點(diǎn)解析 考查三角函數(shù)的周期性、單調(diào)性、二倍角公式以及兩角之間正弦余弦的轉(zhuǎn)換.這道題可以說綜合考查了三角函數(shù)的所有知識(shí)點(diǎn)，題目難度不大但是需要考生熟練掌握相關(guān)知識(shí)點(diǎn).

例17 （2016年全國文科，12）

若函數(shù)f（x）=x-13sin2x+asinx在（-∞，+∞）單調(diào)遞增，則a的取值范圍是（）.

A.[-1，1] B.[-1，13]

C.[-13，13]D.[-1，-13]

例題精講

由f ′（x）=1-23cos2x+acosx≥0對(duì)x∈R恒成立，

可知1-23（2cos2x-1）+acosx≥0；即

-43t2+at+53≥0，對(duì)t∈[-1，1]恒成立，設(shè)函數(shù)f（t）=-43t2+at+53，則開口向下的二次函數(shù)的最小值可能為端點(diǎn)值，故只需要保證f（-1）=13-a≥0f（1）=13+a≥0，解方程組得到

-13≤a≤13，故答案為C.

考點(diǎn)解析 這道題目不僅考查了三角函數(shù)知識(shí)，還考查了二次函數(shù)以及導(dǎo)數(shù)問題.將三角函數(shù)與二次函數(shù)、導(dǎo)數(shù)結(jié)合起來，難度增加，但是只要考生熟練掌握考點(diǎn)，這道題目計(jì)算起來還是可以非?？?

例18 （2016年全國文科，14）

已知θ是第四象限角，且sin（θ+π4）=35，則tan（θ-π4）= .

例題精講

由sin（θ+π4）=35，且角θ在第四象限可得cos（θ+π4）=45，所以

sinθcosπ4+cosθsinπ4=35，

cosθcosπ4-sinθsinπ4=45，解方程組得

sinθ=1-52，

cosθ=752，

所以tanθ=-17，

tan（θ-π4）=tanθ-tanπ41+tanθtanπ4=-17-11-17×1=-43.

考點(diǎn)解析 考查坐標(biāo)系中不同象限的角度的三角函數(shù)值，不同角度的計(jì)算.圖1

例19 （2016年新課標(biāo)文科，3）函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的部分圖像如圖1所示，則（）.

A.y=2sin（2x-π6）B.y=2sin（2x-π3）

C.y=2sin（2x+π6）D.y=2sin（2x+π3）

例題精講

由圖1知，A=2，周期T=π，所以ω=2ππ=2，故y=2sin（2x+φ），又因?yàn)閳D像過（π3，2），所以sin（2π3+φ）=1，所以2π3+φ=2kπ+π2（k∈Z），當(dāng)k=0時(shí)，φ=-π6，所以y=2sin（2x-π6）.

故選A.

四、復(fù)習(xí)策略

在平時(shí)學(xué)習(xí)三角函數(shù)與考前復(fù)習(xí)的過程中，對(duì)于和三角函數(shù)有關(guān)的知識(shí)點(diǎn)的學(xué)習(xí)都要接觸到，要加強(qiáng)練習(xí)，勤思考，勤整理.

（1）熟練掌握三角函數(shù)的基本性質(zhì)，達(dá)到舉一反三、融會(huì)貫通的效果，關(guān)鍵是要能夠理解三角函數(shù)的基本性質(zhì)，切忌死記硬背；

（2）加強(qiáng)題目練習(xí)，在做題的過程中尋找規(guī)律，同時(shí)習(xí)題練習(xí)要求精，同時(shí)要提高計(jì)算能力；

（3）嘗試將三角函數(shù)與二次函數(shù)、幾何、導(dǎo)數(shù)等知識(shí)點(diǎn)相聯(lián)系，結(jié)合分析，鍛煉自己的靈活度.

（收稿日期：2016-08-22）