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    探究2016年高考中的恒成立問(wèn)題

    2017-01-21 21:02:00朱海燕
    中學(xué)生理科應(yīng)試 2016年11期
    關(guān)鍵詞:等價(jià)理科道題

    朱海燕

    縱覽近年來(lái)的各個(gè)省市的高考數(shù)學(xué)試卷,可以發(fā)現(xiàn)在試題中經(jīng)常會(huì)出現(xiàn)恒成立問(wèn)題.與恒成立相關(guān)的題目一般出現(xiàn)在試卷的最后一題或倒數(shù)第二題,可以說(shuō)是整套試卷的壓軸之作.這類試題一般綜合性強(qiáng),通常會(huì)結(jié)合函數(shù)、數(shù)列、不等式及導(dǎo)數(shù)等多個(gè)知識(shí)進(jìn)行考察,同時(shí)這類題目對(duì)學(xué)生的能力也是一種挑戰(zhàn),這類題目通常會(huì)考查學(xué)生分析能力、推理能力、計(jì)算能力以及綜合運(yùn)用知識(shí)的能力,在高考中這種題往往會(huì)拉開考生的成績(jī)差距.在本文中,筆者結(jié)合自己多年的一線教學(xué)經(jīng)驗(yàn),就2016年高考數(shù)學(xué)中出現(xiàn)的幾道與恒成立相關(guān)的試題展開分析,以供讀者參考.

    一、考查方式

    對(duì)于恒成立問(wèn)題的考查主要有兩種方式:

    1.證明某個(gè)等式或不等式恒成立;

    2.已知某個(gè)等式或不等式恒成立,求解其中的參數(shù)的取值或取值范圍.

    二、實(shí)戰(zhàn)演練

    例1 (2016年山東理科,20)已知f(x)=a(x-lnx)+2x-1x2,a∈R.

    (Ⅰ)討論f(x)的單調(diào)性;

    (Ⅱ)當(dāng)a=1時(shí),證明f(x)>f ′(x)+32對(duì)于任意的x∈[1,2]成立.

    解析 (Ⅰ)(1)由題目中的函數(shù)知f(x)的定義域?yàn)椋?,+∞),f ′(x)=a-ax-2x2+2x3=(ax2-2)(x-1)x3.

    當(dāng)a≤0時(shí),若x∈(0,1),f ′(x)>0,

    ,則函數(shù)f(x)單調(diào)遞增;

    x∈(1,+∞),f ′(x)<0,函數(shù)f(x)單調(diào)遞減.(2)當(dāng)a>0時(shí),f ′(x)=a(x-1)(x+2a)(x-2a)

    x3.

    若01,所以當(dāng)x∈(0,1)或(2a,+∞)時(shí),f ′(x)>0,函數(shù)f(x)單調(diào)遞增;

    當(dāng)x∈(1,2a)時(shí),f ′(x)<0,函數(shù)f(x)單調(diào)遞減;

    若a=2時(shí),2a=1,f ′(x)≥0,函數(shù)f(x)單調(diào)遞增;

    若a>2,則0<2a<1,所以當(dāng)x∈(0,2a)或(1,+∞)時(shí),f ′(x)>0,函數(shù)f(x)單調(diào)遞增;當(dāng)x∈(2a,1)時(shí),f ′(x)<0,函數(shù)f(x)單調(diào)遞減.

    綜上所述:

    當(dāng)a≤0時(shí),函數(shù)f(x)在(0,1)上單調(diào)遞增;函數(shù)f(x)在(1,+∞)上單調(diào)遞減;

    當(dāng)0

    當(dāng)a=2時(shí),函數(shù)f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增;

    當(dāng)a>2時(shí),函數(shù)f(x)在(0,2a)和(1,+∞)上單調(diào)遞增;函數(shù)f(x)在(2a,1)上單調(diào)遞減.

    (Ⅱ)由(Ⅰ)知a=1時(shí),f(x)-f′(x)=x-lnx+2x-1x2-(1-1x-2x2+2x3)=x-lnx+3x+1x2-2x3-1,x∈[1,2],

    令g(x)=x-lnx,h(x)=3x+1x2-2x3-1,則f(x)-f ′(x)=g(x)+h(x),由g′(x)=x-1x≥0可得g(x)≥g(1)=1,當(dāng)且僅當(dāng)x=1時(shí)取等號(hào);

    又h′(x)=-3x2-2x+6x4,設(shè)φ(x)=-3x2-2x+6,則φ(x)在[1,2]上單調(diào)遞減,且φ(1)=1,

    φ(2)=-10,所以在[1,2]上存在x0使得x∈(1,x0)時(shí),φ(x)>0,x∈(x0,2)時(shí),φ(x)<0,所以函數(shù)h(x)在(1,x0)上單調(diào)遞增;在(x0,2)上單調(diào)遞減,由于h(1)=1,h(2)=12,因此h(x)≥h(2)=12,當(dāng)且僅當(dāng)x=2取等號(hào),所以f(x)-f ′(x)>g(1)+h(2)=32,即f(x)>f ′(x)+32對(duì)于任意的x∈[1,2]恒成立.

    點(diǎn)撥 這道題第一問(wèn)考察了利用導(dǎo)函數(shù)判斷單調(diào)性,需要用到分類討論的思想,第二問(wèn)是恒成立問(wèn)題,需要考生結(jié)合原函數(shù)和導(dǎo)數(shù)進(jìn)行推理.

    例2 (2016年全國(guó)卷理科,24)已知函數(shù)f(x)=|2x-a|+a

    (Ⅰ)當(dāng)a=2時(shí),求不等式f(x)≤6的解集;

    (Ⅱ)設(shè)函數(shù)g(x)=|2x-1|,當(dāng)x∈R時(shí),f(x)+g(x)≥3,求a的取值范圍.

    解析 (Ⅰ)當(dāng)a=2時(shí),f(x)=|2x-2|+2.

    解不等式|2x-2|+2≤6,得-1≤x≤3.

    因此,f(x)≤6的解集為{x|-1≤x≤3}.

    (Ⅱ)當(dāng)x∈R時(shí),f(x)+g(x)=|2x-a|+a+|1-2x|≥|2x-a+1-2x|+a=|1-a|+a,當(dāng)x=12時(shí)等號(hào)成立,所以當(dāng)x∈R時(shí),f(x)+g(x)≥3等價(jià)于|1-a|+a≥3.

    當(dāng)a≤1時(shí),|1-a|+a≥3等價(jià)于1-a+a≥3,無(wú)解;

    當(dāng)a>1時(shí),|1-a|+a≥3等價(jià)于a-1+a≥3,解得a≥2;

    所以a的取值范圍是[2,+∞).

    點(diǎn)評(píng) (Ⅰ)利用等價(jià)不等式|h(x)|≤a(a>0)-a≤h(x)≤a,進(jìn)而通過(guò)解不等式可求得;(Ⅱ)根據(jù)條件可首先將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求解f(x)+g(x)的最小值,此最值可利用絕對(duì)值三角不等式求得,再根據(jù)恒成立的意義建立簡(jiǎn)單的關(guān)于a的不等式求解即可.

    例3 (2016年江蘇數(shù)學(xué)Ⅰ,19)已知函數(shù)f(x)=ax+bx(a>0,b>0,a≠1,b≠1).

    (1)設(shè)a=2,b=12.

    ①求方程f(x)=2的根;

    ②若對(duì)于任意x∈R,不等式f(2x)≥mf(x)-6恒成立,求實(shí)數(shù)m的最大值;

    (2)若01,函數(shù)g(x)=f(x)-2有且只有1個(gè)零點(diǎn),求ab的值.

    解析 (1)①f(x)=2x+(12)x,由f(x)=2可得2x+12x=2,則(2x)2-2×2x+1=0,即(2x-1)2=0,則2x=1,x=0;

    ②由題意得22x+122x≥m(2x+12x)-6恒成立,

    令t=2x+12x,則由2x>0可得t≥22x×12x=2,

    此時(shí)t2-2≥mt-6恒成立,即m≤

    t2+4t=t+4t恒成立.

    ∵t≥2時(shí),t+

    4t≥2t·4t=4,當(dāng)且僅當(dāng)t=2時(shí)等號(hào)成立,因此實(shí)數(shù)m的最大值為4.

    (2)g(x)=f(x)-2=ax+bx-2,g′(x)=axlna+bxlnb=axlnb[

    lnalnb+(ba)x],

    由01可得ba>1,令h(x)=(ba)x+lnalnb,則h(x)遞增,

    而lna<0,lnb>0,因此x0=logb/a(-lnalnb)時(shí)h(x0)=0,

    因此x∈(-∞,x0)時(shí),h(x)<0,axlnb>0,則g′(x)<0;

    x∈(x0,+∞)時(shí),h(x)>0,axlnb>0,則

    g′(x)>0;

    則g(x)在(-∞,x0)遞減,(x0,+∞)遞增,因此g(x)最小值為g(x0),

    ①若g(x0)<0,xaloga2=2,bx>0,則g(x)>0;

    x>logb2時(shí),ax>0,bx>blogb2=2,則g(x)>0;

    因此x10,因此g(x)在(x1,x0)有零點(diǎn),x2>logb2且x2>x0時(shí),g(x2)>0,因此g(x)在(x0,x2)有零點(diǎn),則g(x)至少有兩個(gè)零點(diǎn),與條件矛盾;

    ②若g(x0)≥0,由函數(shù)g(x)有且只有1個(gè)零點(diǎn),g(x)最小值為g(x0),可得g(x0)=0,

    由g(0)=a0+b0-2=0,因此x0=0,

    因?yàn)?/p>

    logb/a(-lnalnb)=0,

    即-lnalnb=1,

    即lna+lnb=0,

    因此ln(ab)=0,則ab=1.

    試題分析 這道題中,求方程

    fx=2的根

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