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      2016年高考四川卷解析幾何壓軸題的五種求解視角

      2017-01-21 21:00:58蔡勇全
      中學(xué)生理科應(yīng)試 2016年11期
      關(guān)鍵詞:聯(lián)立方程韋達(dá)橢圓

      蔡勇全

      一、試題再現(xiàn)與評(píng)價(jià)

      已知橢圓E: x2a2+y2b2=1(a>b>0)的一個(gè)焦點(diǎn)與短軸的兩個(gè)端點(diǎn)是正三角形的三個(gè)頂點(diǎn),點(diǎn)P(3,12)在橢圓上.

      (Ⅰ)求橢圓E的方程;

      (Ⅱ)設(shè)不過(guò)原點(diǎn)O且斜率為12的直線l與橢圓E交于不同的兩點(diǎn)A、B,線段AB的中點(diǎn)為M,直線OM與橢圓E交于C、D,求證:|MA|·|MB|=|MC|·|MD|.

      這道題目是2016年高考四川卷文科第20題,屬于解析幾何壓軸題,筆者有幸參與了本次試卷評(píng)閱工作,從試卷布局、試題難度以及評(píng)閱結(jié)果等情況分析來(lái)看,本題是整套試卷的壓軸題之一,尤其是第(Ⅱ)小問(wèn),放棄不做、胡亂書寫以及找不到解題突破口而導(dǎo)致得分率較低的現(xiàn)象比比皆是,究其原因,在于該小問(wèn)綜合性強(qiáng),解法靈活多樣,涉及的知識(shí)點(diǎn)較多,要求的運(yùn)算能力較強(qiáng),對(duì)學(xué)生的解題技能提出了較高的要求.

      二、多視角求解

      (Ⅰ)由題意可知,a=2b.又橢圓E過(guò)點(diǎn)P(3,12),則有34b2+14b2=1,解得b2=1,所以橢圓E的方程為x24+y2=1.

      下面從五種視角探討本題第(Ⅱ)小問(wèn)的求解策略,供大家參考.

      視角一 借助兩點(diǎn)間距離公式及韋達(dá)定理

      設(shè)直線l的方程為y=12x+m(m≠0),并設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),M(x0,y0),由題意知x1≠x2.

      聯(lián)立方程組x24+y2=1,y=12x+m,

      化簡(jiǎn)并整理得x2+2mx+2m2-2=0,x1與x2為此方程的兩個(gè)實(shí)根,所以x1+x2=-2m,x1x2=2m2-2,且由Δ>0可以得到-2

      因?yàn)辄c(diǎn)M為線段AB的中點(diǎn),所以x0=x1+x22=-m,y0=12x0+m=m2,點(diǎn)M的坐標(biāo)為(-m,m2),所以直線OM的方程為y=-12x,

      聯(lián)立方程組x24+y2=1,y=-12x解得點(diǎn)C(-2,22),D(2,-22),因此可得到|MC|·|MD|=(-m+2)2+(m2-22)2×

      (-m-2)2+(m2+22)2=52(2-m)×52(2+m)=54(2-m2).又因|MA|=|MB|,y1=12x1+m,y2=12x2+m,y1-y2=12(x1-x2),所以可以得到|MA|·|MB|=14|AB|2=

      14[(x1-x2)2+(y1-y2)2]2=14[(x1-x2)2+

      14(x1-x2)2]=516[(x1+x2)2-4x1x2]=

      516[(-2m)2-4(2m2-2)]=54×(2-m2),因此,|MA|·|MB|=|MC|·|MD|.

      評(píng)注 判別式與韋達(dá)定理雖是代數(shù)基礎(chǔ)知識(shí),但卻是求解解析幾何問(wèn)題的利器與法寶,尤其是在解答直線與圓錐曲線相交問(wèn)題時(shí),其作用往往不可小覷.

      視角二 借助點(diǎn)差法、韋達(dá)定理及兩點(diǎn)間距離公式

      設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),M(x0,y0),x1≠x2,所以x214+y21=1,x224+y22=1,兩式相減得,(x1-x2)(x1+x2)4+(y1-y2)(y1+y2)=0,即(x1-x2)x04+(y1-y2)y0=0,所以y0x0=-x1-x24(y1-y2)=-12,即x0=-2y0,點(diǎn)M的坐標(biāo)為(-2y0,y0),所以直線l的方程為y-y0=12(x+2y0),即y=12x+2y0,直線OM的方程為y=-12x.由方程組x24+y2=1,y=12x+2y0可得x2+4y0x+8y20-2=0,x1與x2為此方程的兩個(gè)實(shí)根,由Δ>0可得-2<2y0<2,x1+x2=-4y0,x1x2=8y20-2.又因?yàn)閨MA|=|MB|,y1=12x1+2y0,y2=12x2+2y0,y1-y2=12(x1-x2),所以|MA|·|MB|=14|AB|2=14[(x1-x2)2+(y1-y2)2]2=14[(x1-x2)2+14(x1-x2)2]=516[(x1+x2)2-4x1x2]=516[(-4y0)2-4(8y20-2)]=52(1-2y20).

      由方程組x24+y2=1,y=-12x可得C(-2,22),D(2,-22),因此可得|MC|·|MD|=(-2y0+2)2+(y0-22)2·

      (-2y0-2)2+(y0+22)2=52(2-2y0)×52(2+2y0)=52(1-2y20),故|MA|·

      |MB|=|MC|·|MD|.

      評(píng)注 利用點(diǎn)差法直接找到了點(diǎn)M的橫、縱坐標(biāo)之間的關(guān)系,避免了出現(xiàn)視角一中先利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式求得點(diǎn)M的橫坐標(biāo)、再代入直線l的方程求得點(diǎn)M的縱坐標(biāo)的運(yùn)算過(guò)程,顯得簡(jiǎn)捷高效.

      視角三 借助向量的兩種運(yùn)算及韋達(dá)定理

      設(shè)直線l的方程為y=12x+m(m≠0),并設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),M(x0,y0),x1≠x2.聯(lián)立方程組x24+y2=1,y=12x+m,化簡(jiǎn)并整理得x2+2mx+2m2-2=0,x1與x2為此方程的兩個(gè)實(shí)根,所以x1+x2=-2m,x1x2=2m2-2,x0=x1+x22=-m,y0=12x0+m=m2,點(diǎn)M的坐標(biāo)為(-m,m2),因?yàn)锳、B兩點(diǎn)在直線l上,所以有y1=12x1+m,y2=12x2+m,y1y2=14x1x2+m2(x1+x2)+m2=12m2-12,y1+y2=12(x1+x2)+2m=m.又因MA=(x1+m,y1-m2),MB=(x2+m,y2-m2), 所以有MA·MB=|MA|·|MB|cos180°=-|MA||MB|=(x1+m)(x2+m)+(y1-m2) (y2-m2)=x1x2+m(x1+x2)+y1y2-m2(y1+y2)+5m24=54m2-52.

      因?yàn)辄c(diǎn)M的坐標(biāo)為(-m,m2),所以直線OM的方程為y=-12x,由方程組

      x24+y2=1,y=-12x解得點(diǎn)C(-2,22),D(2,-22),因?yàn)镸C=(-2+m,22-m2),

      MD=(2+m,-22-m2),

      所以MC·MD=|MC||MD|cos180°=-|MC||MD|=(2+m)(-2+m)+(-22-m2)(22-m2)=5m24-52,因此可得-|MA||MB|=-|MC||MD|,故|MA||MB|=|MC||MD|

      .

      評(píng)注 引入向量并借用其兩種運(yùn)算形式,可以使幾何問(wèn)題代數(shù)化,達(dá)到事半功倍的解題效果.

      視角四 借助直線參數(shù)方程、韋達(dá)定理及兩點(diǎn)間距離公式

      設(shè)點(diǎn)M(x0,y0),直線l的參數(shù)方程為x=x0+255t,y=y0+55t,t為參數(shù).將直線l的參數(shù)方程代入橢圓E的方程并整理得到8t2+45(x0+2y0)t+5x20+20y20-20=0,則Δ=80(x0+2y0)2-4×8(5x20+20y20-20)>0 ,即有(x0-2y0)2-8<0,且t1+t2=-52(x0+2y0),t1t2=5x20+20y20-208

      .由于M是線段AB的中點(diǎn),所以t1+t2=0,故x0=-2y0,代入(x0-2y0)2-8<0可得-2<2y0<2,因此|MA|·|MB|=|t1|·|t2|=|t1t2|=|5x20+20y20-208|=|5(-2y0)2+20y20-208|=52(1-2y20).

      又直線OM的方程為y=-12x,由方程組x24+y2=1,y=-12x可得C(-2,22),D(2,-22),又因M(-2y0,y0),故

      |MC|·|MD|=(-2y0+2)2+(y0-22)2×(-2y0-2)2+(y0+22)2=

      52(2-2y0)×52(2+2y0)=52(1-2y20),所以|MA|·|MB|=

      |MC|·|MD|.

      評(píng)注 利用直線或曲線的參數(shù)方程解決解析幾何問(wèn)題,可以極大地簡(jiǎn)化運(yùn)算、減少運(yùn)算量,達(dá)到快速解題的效果.

      我們知道,在平面直角坐標(biāo)系內(nèi),若A(x1,y1),B(x2,y2)為l:y=kx+b上不同兩點(diǎn),則|AB|=(x1-x2)2+(y1-y2)2=(x1-x2)2[1+(y1-y2x1-x2)2]=1+k2|x1-x2|.借用這一知識(shí),也能實(shí)現(xiàn)本題的如下快速解答:

      視角五 借助弦長(zhǎng)公式及韋達(dá)定理

      設(shè)直線l的方程為y=12x+m(m≠0),并設(shè)A(x1,y1),

      B(x2,y2),M(x0,y0),由題意知x1≠x2.

      聯(lián)立方程組x24+y2=1,y=12x+m.

      化簡(jiǎn)并整理得x2+2mx+2m2-2=0,x1與x2為此方程的兩個(gè)實(shí)根,所以x1+x2=-2m,x1x2=2m2-2,且由Δ>0可以得到-2

      因?yàn)辄c(diǎn)M為線段AB的中點(diǎn),所以x0=x1+x22=-m,y0=12x0+m=m2,點(diǎn)M的坐標(biāo)為(-m,m2),所以直線OM的方程為y=-12x,

      由方程組x24+y2=1,y=-12x

      可得C(-2,22),D(2,-22).

      首先,|MA|·|MB|=1+(12)2|x1-(-m)|·1+(12)2|x2-(-m)|=54|x1+m|·|x2+m|=54|x1x2+m(x1+x2)+m2|=54|2m2-2+m(-2m)+m2|=54|m2-2|=54(2-m2).

      其次,|MC|·|MD|=1+

      (-12)2|

      -2-m|·1+

      (-12)2|2-(-m)|=54|m-2|·|m+2|=54|m2-2|=54(2-m2),所以

      |MA|·|MB|=|MC|·|MD|.

      評(píng)注 公式|AB|=1+k2·|x1-x2|原本是用于計(jì)算直線與曲線相交時(shí)所得弦的長(zhǎng)度,但本題

      |MA|、|MB|、|MC|、|MD|都不是弦,卻巧妙地應(yīng)用了該公式,其實(shí)是抓住了該公式可用于計(jì)算平面直角坐標(biāo)系內(nèi)任意橫坐標(biāo)不相等的兩點(diǎn)間的距離這一本質(zhì)內(nèi)涵.

      三、解題啟示

      眾所周知,運(yùn)算量大是解析幾何問(wèn)題的突出特點(diǎn),而運(yùn)算量大的根源在于此類題目必然出現(xiàn)直線與曲線或曲線與曲線具有某種位置關(guān)系這一條件,但從如上案例的多種求解思路不難看出,抓住代數(shù)知識(shí)中的韋達(dá)定理應(yīng)是求解此類問(wèn)題的必經(jīng)之路,同時(shí)抓住幾何內(nèi)容中的參數(shù)方程、弦長(zhǎng)公式以及實(shí)現(xiàn)代數(shù)與幾何相互轉(zhuǎn)化的向量工具等知識(shí),是共同構(gòu)成簡(jiǎn)化運(yùn)算、高效解題的不二法門,因此,在平時(shí)的教學(xué)中,我們應(yīng)把這些知識(shí)、方法的掌握真正落到實(shí)處,為提高解題的有效性提供必要的保障.

      (收稿日期:2016-07-12)

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