利用同構(gòu)特點(diǎn)巧解數(shù)學(xué)問題

李鎧辰

在求解函數(shù)與方程的問題中，往往會(huì)出現(xiàn)一些除變量外完全相同的結(jié)構(gòu)式，解題時(shí)若能利用其同構(gòu)的特點(diǎn)，尋求與問題的某種內(nèi)在聯(lián)系，深刻分析、正確思維和豐富聯(lián)想，使之簡(jiǎn)單明了，起到化簡(jiǎn)、轉(zhuǎn)化和橋梁作用，從而找到解決問題的思路、方法.這體現(xiàn)了數(shù)學(xué)中發(fā)現(xiàn)、類比、化歸等思想，滲透著猜想、試驗(yàn)、探索、概括等重要方法，是一種富有創(chuàng)造性的解決問題的方法.本文列舉函數(shù)、不等式、數(shù)列中的常見問題解析如下.

題型一：利用同構(gòu)特點(diǎn)解決方程問題

在方程中的應(yīng)用：如果方程f（a）=0和f（b）=0呈現(xiàn)同構(gòu)特征，則a，b可視為方程f（x）=0的兩個(gè)根.

例1.若函數(shù)f（x）=+m在區(qū)間[a，b]上的值域?yàn)閇，]（b>a≥1），則實(shí)數(shù)m的取值范圍是？

【解析】∵f（x）為增函數(shù)∴f（a）=，f（b）=-？圯+m=+m=

∴a，b為方程+m=在[1，+∞）上的兩個(gè)根，即m=-有兩個(gè)不同的根，

令t=（t≥0）？圯x=t+1，

所以方程變形為：m=（t+1）-t=（t-2t+1），結(jié)合圖像可得：m∈（0，].

【點(diǎn)評(píng)】注意到f（x）是增函數(shù)，從而得到f（a）=，f（b）=，即+m=+m=，發(fā)現(xiàn)兩個(gè)式子為a，b的同構(gòu)式，進(jìn)而將同構(gòu)式視為一個(gè)方程，而a，b為該方程的兩個(gè)根，m的取值只需要保證方程有兩根即可.

題型二：利用同構(gòu)特點(diǎn)解決不等式問題

在不等式中的應(yīng)用：如果不等式的兩側(cè)呈現(xiàn)同構(gòu)特征，則可將相同的結(jié)構(gòu)構(gòu)造為一個(gè)函數(shù)，進(jìn)而和函數(shù)的單調(diào)性找到聯(lián)系.可比較大小或解不等式.

例2.已知函數(shù)φ（x）=，a為正常數(shù)，若g（x）=lnx+φ（x），且對(duì)任意x，x∈（0，2]，x≠x，都有>-1，求a的取值范圍.

【解析】g（x）=lnx+，不妨設(shè)x

g（x）-g（x）>x-x？圯g（x）+x>g（x）+x，

設(shè)h（x）=g（x）+x=lnx++x，則由h（x）>h（x）恒成立和x

只需h（x）在（0，2]單調(diào)遞增即可，∴h′（x）≥0恒成立.

∵h(yuǎn)′（x）=-+1∴-+1≥0

即a≤（x+1）+恒成立

所以只需a≤[（x+1）+]

令p（x）=（x+1）+

∴p′（x）=2（x+1）+=

∴p（x）在（0，）單調(diào)遞減，在（，2）單調(diào)遞增，∴p（x）=p（）=

∴0

【點(diǎn)評(píng)】觀察到已知不等式為輪換對(duì)稱式，所以考慮定序以便于化簡(jiǎn)，令x>x，則不等式變形為g（x）-g（x）>x-x，將相同變量放置一側(cè)，可發(fā)現(xiàn)左右具備同構(gòu)特點(diǎn)，所以將相同結(jié)構(gòu)視為函數(shù)h（x）=g（x）+x，從而由x>x且h（x）>h（x）可知只需h（x）為增函數(shù)即可.從而只需不等式h′（x）≥0恒成立即可，求出a的范圍.