多視角寬思維妙解函數(shù)零點問題

江蘇省連云港市錦屏高級中學(xué) (222021)

車樹勤

多視角寬思維妙解函數(shù)零點問題

江蘇省連云港市錦屏高級中學(xué) (222021)

車樹勤

函數(shù)的零點充分體現(xiàn)了函數(shù)與方程的聯(lián)系，蘊(yùn)含了豐富的數(shù)形結(jié)合思想.諸如方程根的問題、存在性問題以及交點問題等都可以轉(zhuǎn)化為零點問題來討論，因而函數(shù)的零點成了近年來高考新的熱點而備受青睞.下面以一道蘇錫常鎮(zhèn)的高三調(diào)研試題為例來剖析函數(shù)的零點問題的解題方法.

一、考題回放

調(diào)研試題若函數(shù)f(x)=ax-x2(a>1)有三個不同的零點，則實數(shù)a的取值范圍是________.

思維階段求一個函數(shù)的零點個數(shù)，通常是轉(zhuǎn)化為我們熟悉的兩個函數(shù)看其圖像的交點個數(shù)，就是零點的個數(shù).而本題的兩個函數(shù)是y=ax,y=x2，要使兩個函數(shù)圖像有三個交點則要使這兩個圖像在(0,+∞)有兩個交點.指數(shù)函數(shù)和二次函數(shù)的圖像都是曲線，該如何讓其有兩個交點是解決問題的關(guān)鍵.

點評：本解是結(jié)合函數(shù)圖像，根據(jù)兩個函數(shù)圖像要有三個交點，明顯在第二象限有一個交點，在第一象限要有兩個交點.根據(jù)相切的時候有公共切線，切線斜率相等，以及該切點滿足兩個函數(shù)關(guān)系式列方程，求出相切時候a的值得到其取值范圍.

點評：本解法是先取對數(shù)后得到方程xlna=2lnx，要使其有兩個解，可看作兩個函數(shù)的圖像有兩個不同的交點，臨界狀態(tài)是一次函數(shù)與對數(shù)式函數(shù)相切的時候有一個交點，當(dāng)直線的斜率變小時，兩函數(shù)圖像有兩個不同的交點，從而得到a的取值范圍.

點評：本解法主要是利用互為反函數(shù)的函數(shù)圖像關(guān)于y=x對稱，所以兩個函數(shù)圖像原來有幾個交點，其反函數(shù)的圖像交點個數(shù)不變.方程ax=x2中的x在指數(shù)位置，由反函數(shù)轉(zhuǎn)化為對數(shù)來求.要求方程有兩根，在函數(shù)圖像先減后增的情況下，只要函數(shù)的極小值小于零即可.

本題從多個視角對函數(shù)零點問題進(jìn)行了研究.思維1直接從兩個函數(shù)圖像有一個交點時進(jìn)行探究；思維2先對方程取對數(shù)轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)再進(jìn)行探究；思維3是把思維2中的方程再變形為一個關(guān)于x的函數(shù)與一個常數(shù)函數(shù)進(jìn)行探究；思維4是利用反函數(shù)來看其交點個數(shù).問題的關(guān)鍵在于轉(zhuǎn)化，把未知轉(zhuǎn)化為已知，希望通過此題的解答能在解題時打開思路，多角度進(jìn)行思考，能起到事半功倍的效果.

分析：分兩種情況去掉絕對值，再把f(x),g(x)的解析式代入方程，畫圖像看其交點個數(shù).

解：(法一)由題意得：求函數(shù)y=f(x)與y=1-g(x)交點個數(shù)以及函數(shù)y=f(x)與y=-1-g(x)交點個數(shù)之和，因為y=1-g(x)=

(法二)f(x)+g(x)=

圖1

(3)考察

分析：利用函數(shù)是減函數(shù)，根據(jù)對數(shù)函數(shù)的圖像和性質(zhì)判斷出a的大致范圍，再根據(jù)f(x)為減函數(shù)，得到不等式組，利用函數(shù)的圖像，方程的解的個數(shù)，推出a的范圍.

解：y=loga(x+1)+1在[0,+∞)遞減，則0

二、如何把握函數(shù)零點的教與學(xué)

從以上近兩年的高考函數(shù)的零點出現(xiàn)的題型總結(jié)分析，我認(rèn)為在函數(shù)的零點教學(xué)中應(yīng)當(dāng)讓學(xué)生理解函數(shù)的零點的概念及定理，以及能掌握函數(shù)的零點題型的解題思路及常見方法.

1.函數(shù)的零點的存在性定理

如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a,b]上的圖像是連續(xù)不斷的一條曲線，并且有f(a)f(b)<0，則函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)有零點，即存在c∈(a,b)，使得f(c)=0，這個c也就是方程f(x)=0的根.零點存在性定理是函數(shù)在某區(qū)間上存在零點的充分不必要條件，此定理的逆命題不成立.

2.掌握函數(shù)的零點題型的解題思路及常見方法

從以上近兩年高考函數(shù)的零點題型的分析可以看出，高考對函數(shù)的零點問題主要考查以下三個層面：一是利用函數(shù)的零點的概念及定理求函數(shù)零點的個數(shù)及零點所在的范圍，這是基礎(chǔ)；二是給予一些函數(shù)零點的條件，確定其中未知的參數(shù)，這是基礎(chǔ)內(nèi)容的提高；三是將函數(shù)的零點問題同其他知識結(jié)合在一起出綜合試題.不論高考如何命題，只要在函數(shù)的零點問題的教學(xué)中夯實基礎(chǔ)，立足課本，掌握函數(shù)的零點題型的解題思路及常見方法，注意函數(shù)的零點問題與函數(shù)、方程、圖像等其他知識的交叉融合，就能更好地培養(yǎng)學(xué)生綜合分析問題的能力及邏輯思維能力.