漁業(yè)資源研究中II型錯誤與樣本容量關(guān)系的模擬研究

潘艷玉，王迎賓，徐元凱，邵裕真，錢亞婷

（浙江海洋大學(xué)水產(chǎn)學(xué)院，浙江舟山 316022）

漁業(yè)資源研究中II型錯誤與樣本容量關(guān)系的模擬研究

潘艷玉，王迎賓，徐元凱，邵裕真，錢亞婷

（浙江海洋大學(xué)水產(chǎn)學(xué)院，浙江舟山 316022）

在假設(shè)檢驗(yàn)中經(jīng)常會出現(xiàn)兩類錯誤，即“棄真”（I型錯誤）和“納偽”（II型錯誤）。通常研究者往往更加注重I型錯誤所帶來的危害，卻忽視II型錯誤的可能性，這一情況在漁業(yè)資源研究方面同樣存在。本文結(jié)合國內(nèi)外對II型錯誤的研究現(xiàn)狀及我國漁業(yè)資源現(xiàn)狀，模擬產(chǎn)生10 000個魚類可捕體長數(shù)據(jù)作為總體，并從中隨機(jī)抽取不同的樣本容量，每個樣本容量重復(fù)抽取200次，分別計(jì)算各個樣本容量下的平均值、標(biāo)準(zhǔn)差、拒絕域以及各組犯II型錯誤的概率，并繪制概率密度分布圖，經(jīng)過分析可得在其他條件相同的情況下，II型錯誤概率β隨著樣本容量的增加而呈現(xiàn)一定的下降趨勢。

假設(shè)檢驗(yàn)；I型錯誤；II型錯誤；漁業(yè)資源；樣本容量

隨著漁業(yè)科學(xué)研究的不斷發(fā)展，數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)中的假設(shè)檢驗(yàn)方法已在漁業(yè)領(lǐng)域得到廣泛應(yīng)用，為推動水產(chǎn)業(yè)的發(fā)展起著非常重要的作用。假設(shè)檢驗(yàn)作為數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)在漁業(yè)行業(yè)內(nèi)最為常用的一種方法，是通過結(jié)合樣本信息，利用“小概率不可能性原理”對事先作出的假設(shè)進(jìn)行檢驗(yàn)，以接受或否定原假設(shè)，從而判斷樣品間的實(shí)質(zhì)性差異是由樣品本身引起還是由不可控的因素干擾產(chǎn)生。

在進(jìn)行假設(shè)檢驗(yàn)時，所推斷的結(jié)論并非絕對正確，所以常需要考慮到兩類錯誤，即I型錯誤和II型錯誤，前者是指拒絕了實(shí)際上成立的原假設(shè)，即“棄真”，其概率用α表示；后者為接受實(shí)際上不成立的原假設(shè)，即“納偽”，其概率用β表示。

國外對II型錯誤方面的研究早在上個世紀(jì)30年代就已經(jīng)開始了[1]，涉及水產(chǎn)研究領(lǐng)域中II型錯誤的問題研究到80年代才開始關(guān)注[2]。我國最早對假設(shè)檢驗(yàn)中II型錯誤方面進(jìn)行研究報(bào)道的是郭春彥[3]。1989年，郭春彥[4]發(fā)表了一篇關(guān)于對目前教育與心理統(tǒng)計(jì)書中I型錯誤及II型錯誤的分析，并以A地區(qū)高考語文平均成績?yōu)槔瑢型錯誤與II型錯誤概率的反比關(guān)系進(jìn)行探究，文中強(qiáng)調(diào)了在使I型錯誤的概率α盡可能小的同時，一定要注意II型錯誤的概率β的取值。在查閱文獻(xiàn)的同時，我們發(fā)現(xiàn)在各個領(lǐng)域顯著性檢驗(yàn)的過程中，對II型錯誤的分析研究非常少見，由此可見，我國對II型錯誤還并不重視。

經(jīng)王迎賓等[3]對國內(nèi)6個水產(chǎn)類期刊2011-2015年這5年內(nèi)發(fā)表的學(xué)術(shù)論文的查閱統(tǒng)計(jì)，在所查閱的3829篇學(xué)術(shù)論文中，進(jìn)行顯著性檢驗(yàn)的有2235篇，而分析了II型錯誤的文章為0篇。也就是在我國水產(chǎn)科學(xué)研究越來越深入的今天，大家的目光還是停留在犯I型錯誤概率上，而徹底忽視了犯II型錯誤可能會帶來的后果。然而，越來越多的研究實(shí)例表明，II型錯誤在漁業(yè)研究領(lǐng)域同樣具有著重要地位，對II型錯誤的研究能加強(qiáng)漁業(yè)研究的科學(xué)性，提高漁業(yè)管理的效率。

對于許多初次接觸假設(shè)檢驗(yàn)的學(xué)者來說，往往會陷入一個誤區(qū)，就是認(rèn)為犯I型錯誤的概率越小越好，也就是α的值越小越好。其實(shí)當(dāng)其他條件都相同的時候，犯I型錯誤的概率α越小，拒絕域W的范圍越小，接受域范圍就相應(yīng)的增大，則犯II型錯誤的概率β越大；相反，犯I型錯誤的概率α越大，拒絕域W的范圍越大，接受域范圍就相應(yīng)的減小，則犯II型錯誤的概率β越小[5]。我們無法同時減小犯I型錯誤和II型錯誤的概率，也就是說犯這兩類錯誤的概率不是相互獨(dú)立，而是相互關(guān)聯(lián)的。

當(dāng)α的值很小的時候，原假設(shè)H0一般不會被輕易拒絕。此時如果樣本落在拒絕域，那么作出的否定原假設(shè)的結(jié)論就相對比較可靠；相反的如果因?yàn)闃颖韭湓诮邮苡蚨x擇接受原假設(shè)的結(jié)論不一定可靠，因?yàn)檫@個時候犯II型錯誤的概率可能很大。在實(shí)際的應(yīng)用中，應(yīng)根據(jù)具體的情況，選取合適的α或者β，當(dāng)人們不輕易拒絕H0的時候，α的值可以盡可能取小一點(diǎn)（最常用的是α=0.05和0.01，有時也用到0.001，0.10），β的值往往控制在0.10至0.30之間，因?yàn)樵诖蠖鄶?shù)假設(shè)檢驗(yàn)中，第一類錯誤被認(rèn)為更有害，更需要控制[6]。

可是在漁業(yè)資源研究中，有時II型錯誤可能帶來的危害會更大。2002年美國國家科研委員會一份報(bào)告顯示，漁業(yè)管理委員會在設(shè)定捕撈限額時對科學(xué)信息的忽略是引發(fā)過度捕撈的主要原因[7]。在某種程度上，科學(xué)信息是海洋漁業(yè)資源管理的關(guān)鍵[8]，而科學(xué)信息與假設(shè)檢驗(yàn)又有著密不可分的聯(lián)系。例如，我們要研究在一定捕撈強(qiáng)度下某種漁業(yè)資源是否遭到破壞[3]，可以作出原假設(shè)H0：在該強(qiáng)度下漁業(yè)資源沒有顯著減小和備擇假設(shè)HA：在該強(qiáng)度下漁業(yè)資源會出現(xiàn)顯著減小。如果原假設(shè)為真而被我們拒絕了，根據(jù)這個檢驗(yàn)結(jié)果，我們可能會適當(dāng)?shù)販p小捕撈強(qiáng)度以保證漁業(yè)資源可持續(xù)發(fā)展，從而犯了I型錯誤，這一結(jié)果會影響漁民的收入水平，但是資源得到了保護(hù)，不會受到破壞。相反，如果原假設(shè)不正確，檢驗(yàn)結(jié)果卻顯示在該強(qiáng)度下漁業(yè)資源沒有顯著減小，漁業(yè)工作者根據(jù)這一結(jié)論而繼續(xù)保持原有的捕撈強(qiáng)度，這將很有可能導(dǎo)致過度捕撈，資源受到破壞，由此可見，在漁業(yè)研究領(lǐng)域中II型錯誤可能會帶來更大的傷害，這應(yīng)該引起漁業(yè)研究者的高度重視。本文通過模擬產(chǎn)生總體數(shù)據(jù)，并對隨機(jī)抽取不同樣本容量的樣本對II型錯誤概率β的影響展開研究。

1 材料與方法

本文所做的假設(shè)檢驗(yàn)需要運(yùn)用到的是z檢驗(yàn)和t檢驗(yàn)，這兩種檢驗(yàn)方法的差異主要是由于總體方差的設(shè)定不同。通常當(dāng)總體方差已知的時候，采用z檢驗(yàn)，運(yùn)用公式當(dāng)總體方差未知的時候，采用t檢驗(yàn)，這時需要運(yùn)用到公式計(jì)算。這兩種檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量源出同根，只是在總體方差處理上有所不同，導(dǎo)致了檢驗(yàn)方法的差異，實(shí)際上這兩種檢驗(yàn)的絕對差異并不明顯[9]，均適用于本文的模擬研究。

由前文可知，II型錯誤概率β并非一成不變，而是和α有著密切關(guān)系，其他條件相同的情況下，α越大，β越小，反之，α越小，β越大。除此之外它還受到其他因素變化的影響，例如與真實(shí)值μ有關(guān)，用α來表示樣本檢測值μ0與真實(shí)值μ的差異，根據(jù)其相對距離（μ-μ0）/σ在其他條件相同時，其值越大則表明μ與μ0的差距越顯著，犯II型錯誤概率β越小[10]；此外，β值與樣本容量n也有著密不可分的關(guān)系。

本文以探究某種魚類種群是否面臨過度捕撈的危險為例，假設(shè)該魚類種群平均體長在150 mm及以上則表明屬于合理開發(fā)狀態(tài)即沒有面臨過度捕撈，若平均體長小于150 mm則已過度捕撈，需要重新控制捕撈強(qiáng)度以保護(hù)魚類資源可持續(xù)。

為了探究樣本容量n對β值的影響，我們利用電子表格軟件Excel進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析，模擬某種魚類種群體長數(shù)據(jù)。假設(shè)該魚類資源可捕體長一般在100～200 mm，利用RAND函數(shù)隨機(jī)產(chǎn)生了10 000個體長數(shù)據(jù)，求得這個總體的平均體長為149.616 mm，總體標(biāo)準(zhǔn)差為28.78，在顯著性水平α=0.05條件下，拒絕域也就是說體長平均數(shù)大于149.527 mm，就應(yīng)接受原假設(shè)。但是當(dāng)原假設(shè)不正確的時候，將會導(dǎo)致II型錯誤發(fā)生。其概率求算為即II型錯誤發(fā)生的概率為62.19%，也就是我們此次模擬的真實(shí)值為62.19%。

利用INDEX函數(shù)從已經(jīng)模擬出的10 000個數(shù)據(jù)中隨機(jī)取數(shù)，樣本容量分別為100、200、300、400、500、600、700、800、900、1000這10種情況，每種樣本容量各重復(fù)取樣200次，分別計(jì)算其樣本平均值、樣本標(biāo)準(zhǔn)差、拒絕域（分總體標(biāo)準(zhǔn)差已知和未知兩種）以及犯II型錯誤的概率β，根據(jù)已經(jīng)求得的概率，運(yùn)用NORMDIST函數(shù)求出其正態(tài)分布函數(shù)并結(jié)合概率畫出概率密度正態(tài)分布圖。

2 結(jié)果

當(dāng)總體平均數(shù)和總體方差均已知時，采用z檢驗(yàn)來處理數(shù)據(jù)，探究樣本容量與β的關(guān)系，通過在各樣本容量條件下拒絕域取值的變化對比觀察，不難發(fā)現(xiàn)，隨著樣本容量的增大，拒絕域xα的值也在不斷增大，但并不是像一次函數(shù)那樣無限增長，而是不斷趨近于總體的拒絕域約為149.53 mm（圖1）。

圖1 拒絕域與樣本容量的關(guān)系Fig.1 Relationship between rejection region and sample size

以每個樣本容量下每組的樣本標(biāo)準(zhǔn)差作為數(shù)據(jù)源，計(jì)算其波動離散程度即標(biāo)準(zhǔn)差，觀察表1，我們可以明顯的發(fā)現(xiàn)，當(dāng)樣本容量較小的時候，各個樣本標(biāo)準(zhǔn)差的波動較大，不穩(wěn)定。但是隨著樣本容量的增大，樣本標(biāo)準(zhǔn)差逐漸趨向穩(wěn)定。

表1 樣本標(biāo)準(zhǔn)差與樣本容量的關(guān)系Tab.1 Relationship between sample standard deviation and sample size

根據(jù)II型錯誤概率β的概率密度分布圖（圖2）可知在其他情況都相同的時候，樣本容量不斷增加的同時犯II型錯誤的概率有一定的減小的趨勢，且不斷的靠近真實(shí)值62.19%。

圖2為在總體標(biāo)準(zhǔn)差已知，即總體標(biāo)準(zhǔn)差為28.78時所得到的II型錯誤概率密度分布圖，圖中直線為真實(shí)值62.19%，曲線部分由上至下分別是樣本容量為100、300、400、200、500、600、800、700、900、1000時的概率密度曲線，考慮到隨機(jī)取樣可能造成一定的誤差，所以我們得出，在控制其他條件相同的情況下，隨著樣本容量的增加，II型錯誤的概率有所減小。并且，對各個樣本容量下概率的峰值統(tǒng)計(jì)（表2），結(jié)合圖2，我們可以發(fā)現(xiàn)，隨著樣本容量的不斷增加，概率峰值有所下降，II型錯誤的概率不斷接近已知真實(shí)值。

圖2 概率密度正態(tài)分布圖（已知總體標(biāo)準(zhǔn)差）Fig.2 Probability density distribution plot (totally standard deviation is known)

表2 概率峰值與樣本容量的關(guān)系Tab.2 Relationship between the probability of the peak and sample size

以上是模擬假設(shè)總體標(biāo)準(zhǔn)差已知的情況，但是在解決實(shí)際問題的時候，我們往往不知道總體標(biāo)準(zhǔn)差，這時就需要運(yùn)用單樣本t檢驗(yàn)進(jìn)行檢驗(yàn)，利用樣本標(biāo)準(zhǔn)差進(jìn)行求算。通過對未知總體標(biāo)準(zhǔn)差時的拒絕域與已知情況時拒絕域的對比（表3），不難發(fā)現(xiàn)不管是已知還是未知總體標(biāo)準(zhǔn)差，拒絕域隨著樣本總量的增大而不斷接近總體拒絕域149.53 mm。當(dāng)樣本容量較少時，拒絕域的波動范圍較大，隨著樣本容量的增大，拒絕域逐漸穩(wěn)定趨近于總體拒絕域。

表3 兩種情況下拒絕域與樣本容量的關(guān)系Tab.3 Relationship between rejection region and sample size in two cases

圖3是在總體標(biāo)準(zhǔn)差未知時，利用樣本標(biāo)準(zhǔn)差求得的II型錯誤概率β的概率密度分布圖。根據(jù)其變化趨勢，不難發(fā)現(xiàn)利用樣本標(biāo)準(zhǔn)差進(jìn)行計(jì)算出的概率β總體也是隨著樣本容量的增大呈現(xiàn)一個下降的趨勢且不斷接近真實(shí)值。

圖3 概率密度正態(tài)分布圖（未知總體標(biāo)準(zhǔn)差）Fig.3 Probability density distribution plot(when totally standard deviations unknown)

圖3中直線為真實(shí)值62.19%，曲線部分由上至下分別是樣本容量為 100、300、400、200、500、600、800、700、900、1000時的概率密度分布曲線。由于是用樣本標(biāo)準(zhǔn)差進(jìn)行求算的，所以個別較用總體標(biāo)準(zhǔn)差的結(jié)果略有偏差，但是仔細(xì)觀察可以發(fā)現(xiàn)，它們之間的差距其實(shí)很小。其實(shí)相比總體標(biāo)準(zhǔn)差而言，利用樣本標(biāo)準(zhǔn)差更符合實(shí)際。

3 討論

如今，在多種研究領(lǐng)域中，大多都有涉及到顯著性檢測這一統(tǒng)計(jì)檢測方法。而據(jù)大量文獻(xiàn)資料查閱可知，在國外漁業(yè)資源領(lǐng)域中II型錯誤方面的研究最早是從上個世紀(jì)80年代開始的，而我國在這方面卻少有研究。特別在漁業(yè)資源評估中，假設(shè)檢驗(yàn)占據(jù)重要地位，II型錯誤也應(yīng)該引起廣大學(xué)者的關(guān)注。在實(shí)際應(yīng)用中，根據(jù)實(shí)際情況需要，選取合適的樣本容量來控制II型錯誤發(fā)生的潛在危害將會有利于漁業(yè)生產(chǎn)和漁獲結(jié)構(gòu)的改進(jìn)，對提高我國漁業(yè)管理的科學(xué)性、盡快實(shí)現(xiàn)漁業(yè)資源的恢復(fù)具有積極意義。

本文通過模擬研究II型錯誤概率與樣本容量的關(guān)系，發(fā)現(xiàn)樣本容量的選擇在統(tǒng)計(jì)推斷中至關(guān)重要。當(dāng)我們選取了合適的α來控制好I型錯誤的概率，其他條件一定時，樣本容量的選擇將會直接影響到II型錯誤的概率。由于實(shí)際中樣本容量通常自由選擇，因此往往無法做到控制概率β，也無法保證統(tǒng)計(jì)假設(shè)檢驗(yàn)效果[11]。本文模擬工作得出犯II型錯誤的概率β隨著樣本容量的增大而有一定的減小趨勢這一結(jié)果，增加樣本容量n，是同時減小兩類錯誤的必要條件[12]，也就是說，在之后的假設(shè)檢驗(yàn)的時候，我們可以適當(dāng)?shù)脑龃髽颖救萘渴笽I型錯誤的概率控制在一定的范圍內(nèi)。

然而樣本容量并非越大越好，在實(shí)際的漁業(yè)資源研究中，樣本容量的增大，勢必會造成實(shí)際操作成本的增加。例如我們想要了解一種魚類種群是否面臨過度捕撈危險，若想要控制一個很低的β而選擇一個很大樣本容量，則將需要捕撈大量該魚類種群，這必將增大漁業(yè)工作者的工作量，延長工作時間，且其操作成本也會有所提高。其最終的檢驗(yàn)效果可能只是略高于一個較小的樣本容量，考慮到實(shí)際操作成本費(fèi)用和實(shí)際情況，有時我們會選擇一個相對較合適的樣本容量進(jìn)行檢驗(yàn)，而不是越大越好。

4 結(jié)語

本文存在的不足是沒有繼續(xù)探究如何去選取一個具有實(shí)際操作性和適應(yīng)性的樣本容量。在假設(shè)檢驗(yàn)應(yīng)用越來越廣泛的今天，II型錯誤也應(yīng)逐漸被重視起來，本文通過模擬研究淺談了II型錯誤與樣本容量的關(guān)系，我們大致得出在其他條件都相同的情況下，犯II型錯誤的概率β隨著樣本容量的增大而有一定的減小趨勢，同時隨著樣本容量的增大概率β不斷接近真實(shí)值。在漁業(yè)資源研究領(lǐng)域中，若這一結(jié)論被更多的工作者，管理者關(guān)注的話，相信將更加有助于準(zhǔn)確揭示捕撈作用對群落結(jié)構(gòu)和生態(tài)系統(tǒng)的影響機(jī)制。

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Simulation Studies of the Relationship between Type II Error and Sample Size in the Researches of Fishery Resources

PAN Yan-yu,WANG Ying-bin,XU Yuan-kai,etal
(Fishery School of Zhejiang Ocean University,Zhoushan 316022,China)

Two types of mistakes often appear in hypothesis testing,namely the"reject a true null hypothesis"(type I error),and"accept a false null hypothesis"(type II error).In a general inspection,researchers usually pay more attention to the damage which caused by type I error,and ignore the possibility of type II errors. This situation also exists in the fishery resources research.Based on the domestic and foreign researches of type II errors and the present situation of fishery resources in China,we simulated 10 000 data,and then from which we randomly drew different samples with different sample sizes.For each sample size,we repeated the simulation process 200 times.Sample means,standard deviations,rejection region and the probability of type II errors of different sample sizes were calculated,and the figures of probability density distributions were drawn. The results showed that when other conditions were the same,the probability of type II error β showed de－creasing trend with the increase of sample size.

Hypothesis test;type I error;type II error;fishery resources;sample size

S91

A

1008－830X(2016)05－0425－05

2016-07-10

國家自然科學(xué)基金（31270527）；浙江省公益性技術(shù)應(yīng)用研究計(jì)劃項(xiàng)目（2015C33094）；浙江省自然科學(xué)基金（LY13D010005）；浙江省本科院校中青年學(xué)科帶頭人學(xué)術(shù)攀登項(xiàng)目（Pd2013222）；2015年浙江海洋學(xué)院大學(xué)生科技創(chuàng)新項(xiàng)目（xj201508）

潘艷玉（1994-），女，浙江青田人，研究方向：海洋資源與環(huán)境.E-mail:18368095282@163.com

王迎賓（1979-），博士，教授，研究方向：漁業(yè)資源與種群動力學(xué).E-mail:yingbinwang@126.com