晶粒正常生長(zhǎng)的Monte Carlo模擬

王 崗，劉 艷，徐宗暢，肖 崗，張耀予，譚 凱，林一歆,

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晶粒正常生長(zhǎng)的Monte Carlo模擬

王 崗1，劉 艷1，徐宗暢1，肖 崗2，張耀予1，譚 凱2，林一歆1,2

1華中科技大學(xué)中歐清潔與可再生能源學(xué)院，武漢 4300742華中科技大學(xué)能源與動(dòng)力工程學(xué)院，武漢 430074

本文建立了晶界能各向同性情況下晶粒生長(zhǎng)的二維Monte Carlo模型，并對(duì)等溫情況下的晶粒生長(zhǎng)過(guò)程進(jìn)行了模擬。在模擬過(guò)程中，對(duì)傳統(tǒng)Monte Carlo方法中能量與概率統(tǒng)計(jì)方法進(jìn)行了改進(jìn)。為了更加直觀地顯示出晶粒生長(zhǎng)過(guò)程中系統(tǒng)能量的變化，統(tǒng)計(jì)了在整個(gè)晶粒生長(zhǎng)過(guò)程中能量的變化趨勢(shì)，結(jié)果與晶粒尺寸變化相符合。模擬得到的晶粒生長(zhǎng)指數(shù)在0.35 ~ 0.45之間，與理論值相符，證明了改進(jìn)方法的可靠性。

計(jì)算機(jī)模擬；晶粒生長(zhǎng)；Monte Carlo方法

Monte Carlo (MC) 方法是研究晶粒生長(zhǎng)以及其相關(guān)過(guò)程的一種有效方法。使用MC方法研究晶粒生長(zhǎng)的模型實(shí)際上是從Ising模型和Potts模型演化出來(lái)的，這兩種方法最初被用于研究鐵磁體系統(tǒng)。使用MC方法研究晶粒生長(zhǎng)實(shí)際上就是將不同取向的晶體賦予不同的取向數(shù)，根據(jù)概率性原則來(lái)決定晶粒生長(zhǎng)這一傳播過(guò)程。

最早將MC方法運(yùn)用到微觀結(jié)構(gòu)演化過(guò)程的人是Anderson等人[1]。后來(lái)，Anderson等人又將這種方法應(yīng)用到晶粒生長(zhǎng)[2]、含有雜質(zhì)粒子時(shí)的晶粒生長(zhǎng)[3]，異常晶粒生長(zhǎng)[4-6]等過(guò)程。隨后，Q-state Potts模型開(kāi)始被用于研究?jī)上嗑ЯＩL(zhǎng)的機(jī)理[7,8]、晶粒生長(zhǎng)過(guò)程中晶體結(jié)構(gòu)的變化[9]以及外部條件對(duì)晶粒尺寸分布的影響[10]等。近年來(lái)，關(guān)于晶粒生長(zhǎng)的MC模擬的研究主要著眼于對(duì)傳統(tǒng)晶粒生長(zhǎng)模型的修改以使其更加貼合實(shí)際的晶粒生長(zhǎng)過(guò)程，例如：Mason等人[11]對(duì)模型中Hmiltonian函數(shù)以及轉(zhuǎn)換概率進(jìn)行了修改，模擬了動(dòng)力學(xué)各向異性晶粒生長(zhǎng)；Fang等人[12]運(yùn)用新的模擬算法模擬了單相和兩相陶瓷材料在燒結(jié)過(guò)程中材料組織結(jié)構(gòu)的演化；Wang等人[13]通過(guò)改進(jìn)的MC算法模擬了晶體的初次再結(jié)晶過(guò)程和退火孿晶現(xiàn)象；Allen等人[14]運(yùn)用統(tǒng)計(jì)學(xué)方法，量化晶粒各向異性的程度，然后通過(guò)MC方法模擬了單相材料的各向異性生長(zhǎng)。

國(guó)內(nèi)學(xué)者對(duì)晶粒生長(zhǎng)MC模擬的研究也取得了一些顯著的進(jìn)展。秦湘閣等人[15]運(yùn)用MC方法對(duì)單相多晶體各向同性顆粒組織進(jìn)行了三維建模并模擬其生長(zhǎng)過(guò)程；鐘曉征等人[16,17]運(yùn)用MC方法模擬了多晶材料晶粒生長(zhǎng)，并模擬了正常晶粒生長(zhǎng)和異常晶粒生長(zhǎng)兩種情況；張繼祥等人[18]提出了一種“擇優(yōu)轉(zhuǎn)換”方法對(duì)MC方法進(jìn)行了改進(jìn)，模擬了晶粒的生長(zhǎng)過(guò)程；王海東等人[19]根據(jù)晶粒生長(zhǎng)機(jī)理建立改進(jìn)的轉(zhuǎn)換概率模型模擬焙燒過(guò)程中的晶粒生長(zhǎng)，并對(duì)不同溫度，不同焙燒時(shí)間以及不同激活能條件下的晶粒生長(zhǎng)過(guò)程進(jìn)行了模擬；王浩等人[20]運(yùn)用MC方法對(duì)3種現(xiàn)存的三維個(gè)體晶粒生長(zhǎng)速率拓?fù)湟蕾囆苑匠踢M(jìn)行了仿真驗(yàn)證；馬非等人[21]采用改進(jìn)的MC模擬方法對(duì)不同燒結(jié)溫度和保溫時(shí)間下的晶粒生長(zhǎng)演化過(guò)程進(jìn)行計(jì)算機(jī)模擬，并使用多孔Al2O3陶瓷燒結(jié)實(shí)驗(yàn)過(guò)程中的晶粒生長(zhǎng)數(shù)據(jù)對(duì)模型進(jìn)行了驗(yàn)證。

在實(shí)際應(yīng)用中，傳統(tǒng)的MC方法存在效率低下的問(wèn)題，這是因?yàn)樵趥鹘y(tǒng)MC方法中，格點(diǎn)取向改變范圍是在1 ~之間取一隨機(jī)數(shù)作為轉(zhuǎn)變?nèi)∠?。在?shí)際的晶粒生長(zhǎng)過(guò)程中，晶粒生長(zhǎng)實(shí)際上只受其相鄰格點(diǎn)影響，其余格點(diǎn)對(duì)其取向轉(zhuǎn)變影響微乎其微。如果將所有格點(diǎn)取向都考慮進(jìn)去，難免會(huì)造成計(jì)算效率低下的情況。因而，本文根據(jù)實(shí)際情況對(duì)晶粒取向轉(zhuǎn)變的算法進(jìn)行了改進(jìn)，在格點(diǎn)重新定向時(shí)，不再考慮所有的取向值，而僅考慮其鄰近格點(diǎn)的取向值，這樣就大大縮減了計(jì)算時(shí)間，提高了計(jì)算的準(zhǔn)確率。

1生長(zhǎng)動(dòng)力學(xué)

1952年，Burke發(fā)現(xiàn)晶粒的平均尺寸與晶粒生長(zhǎng)時(shí)間之間存在一定的關(guān)系：

(1)

式中，1是一個(gè)與溫度和晶界移動(dòng)率有關(guān)的常數(shù)，0是系統(tǒng)在初始時(shí)刻的平均晶粒尺寸，是晶粒生長(zhǎng)指數(shù)。關(guān)于晶粒生長(zhǎng)指數(shù)的取值歷來(lái)都有爭(zhēng)議，因?yàn)樵诓煌瑢?shí)驗(yàn)條件、不同模型條件下模擬出的結(jié)果都不相同，一般而言，在不考慮二相粒子以及晶粒純度對(duì)于晶粒生長(zhǎng)的影響的條件下，值一般趨近于2。

晶粒生長(zhǎng)速率與晶粒尺寸之間的關(guān)系是由Hillert[22]提出的，其關(guān)系式如下：

(2)

其中，是一個(gè)與晶界遷移率和晶界能有關(guān)的常數(shù)，是單個(gè)晶粒的半徑，cr是臨界半徑。

晶界全都是高能量區(qū)域，晶界的存在會(huì)增加系統(tǒng)的自由能，從而使系統(tǒng)處于一種亞穩(wěn)定的狀態(tài)[23]。當(dāng)外界提供一定的能量波動(dòng) (例如退火過(guò)程)，系統(tǒng)中的晶界就會(huì)通過(guò)自身調(diào)節(jié)，使晶界處于新的(亞) 穩(wěn)定狀態(tài)，從而降低整個(gè)系統(tǒng)的能量。

按具體形貌討論總的晶界能可以更簡(jiǎn)單地討論每一個(gè)晶界對(duì)結(jié)合點(diǎn)的作用力，從而獲得晶界結(jié)合點(diǎn)的平衡條件。如圖1所示，晶界結(jié)合點(diǎn)的平衡條件可以表示為：

(3) 圖1晶界穩(wěn)定條件Figure 1 Stable grain boundary conditions

晶界張力在三叉點(diǎn)處的平衡使晶界發(fā)生彎曲。在彎曲界面上存在一個(gè)指向界面曲率中心的力，作用在單位面積上的力用表示，在這里稱為晶界移動(dòng)驅(qū)動(dòng)力，大小由Laplace's方程給出：

(4)

其中，1和2為晶界的兩個(gè)主曲率半徑，為界面張力。在二維系統(tǒng)中，2?￥，故上式可簡(jiǎn)化為：

(5)

設(shè)在驅(qū)動(dòng)力作用下，晶界移動(dòng)一段距離，則能量變化D為

(6)

其中為晶界遷移方向與方向的夾角。

假設(shè)系統(tǒng)中界面張力為常數(shù)，由于驅(qū)動(dòng)力的作用，晶粒長(zhǎng)大過(guò)程中晶界將始終朝其曲率中心方向移動(dòng)，所以具有內(nèi)凹型晶界的晶粒將長(zhǎng)大，晶界外凸的晶粒將縮小，而平直晶界因其曲率半徑無(wú)限大，驅(qū)動(dòng)力等于零，將靜止不動(dòng)。

圖2所示為一系列等邊長(zhǎng)的邊型晶粒。由圖2可見(jiàn)，大于六邊的結(jié)構(gòu)具有內(nèi)凹邊界，他們?cè)谕嘶疬^(guò)程中會(huì)不斷長(zhǎng)大；而小于六邊的為外凸晶界，在退火過(guò)程中不斷減小。這就是所謂的-6規(guī)則。Mullins[24]指出晶體面積的變化率與其拓?fù)潢P(guān)系存在如下的線性關(guān)系：

(7)

其中是指定晶粒的邊界數(shù)，是一個(gè)與晶界遷移率和晶界能成比例的常數(shù)。式 (7) 表明，當(dāng)晶粒邊界數(shù)大于6時(shí)，晶粒長(zhǎng)大；相反，當(dāng)小于6時(shí)，晶粒將收縮；當(dāng)邊界數(shù)等于6時(shí)，晶粒將不生長(zhǎng)。

圖2晶粒拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)

Figure 2 Grain topological structures

2模擬方法

MC-Potts模型是一種離散的統(tǒng)計(jì)方法。因?yàn)樗诌m用于多相系統(tǒng) (例如固相與液相)，所以它被廣泛應(yīng)用于擴(kuò)散、離子傳輸、相變等現(xiàn)象的模擬研究。

利用Potts模型模擬晶粒生長(zhǎng)時(shí)，首先應(yīng)把晶粒形貌離散化，如圖3所示[25]。每一個(gè)離散格點(diǎn)都被賦予1 ~之間的數(shù)值，這個(gè)數(shù)值對(duì)應(yīng)于晶粒在微觀下的取向。研究表明，的取值應(yīng)當(dāng)大于32[25]，因?yàn)橹挥羞@樣才能減少取向數(shù)對(duì)于模擬結(jié)果的影響。

Figure 3 Discrete structure

晶界的能量由不同格點(diǎn)之間的相互作用給出，用Hmiltonian方程來(lái)描述：

(8)

式中，是克羅內(nèi)克符號(hào)，是相鄰格點(diǎn)之間的作用力，是周圍格點(diǎn)總數(shù) (本文我們?nèi)∪鐖D3所示點(diǎn)陣，因此任意一個(gè)格點(diǎn)周圍有8個(gè)鄰接格點(diǎn))，q表示選定格點(diǎn)取向，q表示相鄰格點(diǎn)的取向。

在MC-Potts模型模擬晶粒生長(zhǎng)的過(guò)程中，我們首先隨機(jī)選取一個(gè)格點(diǎn)，計(jì)算該格點(diǎn)取向與相鄰格點(diǎn)是否發(fā)生轉(zhuǎn)變，轉(zhuǎn)變概率由式 (9) 給出：

(9)

其中，D表示取向改變過(guò)程中能量的變化，由式 (10c) 計(jì)算得出，是玻爾茲曼常數(shù)，是絕對(duì)溫度。

在傳統(tǒng)的MC方法中，能量變化是這樣計(jì)算的：首先隨機(jī)選取一個(gè)格點(diǎn)，已知這個(gè)格點(diǎn)的取向值為，那么，我們就在除了以外的1 ~個(gè)取向中隨機(jī)選取一個(gè)取向，根據(jù)下列公式計(jì)算出該格點(diǎn)取向變?yōu)橄噜徣∠蚝螅到y(tǒng)能量差值的變化D，進(jìn)而求出其轉(zhuǎn)換概率：

(10a) (10b) (10c)

但是在實(shí)際的晶粒生長(zhǎng)過(guò)程中，我們所選取的格點(diǎn)生長(zhǎng)方向?qū)嶋H上只與其相鄰晶粒有關(guān)。傳統(tǒng)MC方法將所有的晶粒取向作為格點(diǎn)可能將要轉(zhuǎn)變的方向顯然是不合適的。在本文中，對(duì)于所選取的格點(diǎn)，其轉(zhuǎn)變?nèi)∠虮厝灰谄湎噜?個(gè)格點(diǎn)中選取。為了更符合實(shí)際情況，我們將這8個(gè)格點(diǎn)的取向都加以考慮，分別計(jì)算出取向轉(zhuǎn)變后的能量改變 (D1~D8)，比較這8個(gè)能量差值的大小，選取絕對(duì)值最大的D(即取向轉(zhuǎn)變后系統(tǒng)能量損失最大) 對(duì)應(yīng)的取向作為轉(zhuǎn)變?nèi)∠颍俑鶕?jù)式 (9) 求出其轉(zhuǎn)換概率。

3 模擬流程

對(duì)晶粒生長(zhǎng)的Monte Carlo模擬流程如下 (圖4)：

(1) 輸入模擬初始數(shù)據(jù) (取向數(shù)、格點(diǎn)數(shù)、模擬步數(shù)MCS等)；

(2) 建立晶粒初始形貌，將其離散到格點(diǎn)上；

(3) 對(duì)每一個(gè)格點(diǎn)隨機(jī)賦予取向數(shù)，代表該格點(diǎn)處的晶粒取向；

(4) 隨機(jī)選取一個(gè)格點(diǎn)，根據(jù)式 (8) 計(jì)算格點(diǎn)能量；

(5) 計(jì)算該格點(diǎn)取向轉(zhuǎn)變?yōu)橄噜徣∠蚝蟮哪芰浚?/p>

(6) 計(jì)算結(jié)點(diǎn)取向數(shù)改變前后能量差Δ；

(7) 根據(jù)式 (9) 計(jì)算轉(zhuǎn)換概率;

(8) 在模擬過(guò)程中產(chǎn)生[0,1] 之間的隨機(jī)數(shù)，比較和，判斷取向改變是否被接受：w3時(shí)接受；<時(shí)不接受。

(9) 如果取向改變被接受，則該格點(diǎn)取向數(shù)改變?yōu)槠湎噜徃顸c(diǎn)，晶粒長(zhǎng)大；反之，如果改變未被接受，該晶粒則沒(méi)有長(zhǎng)大；

(10) 一個(gè)MCS步完成；

(11) 再重新選取一個(gè)格點(diǎn)，按照(4) ~ (9) 的步驟模擬，直至完成所有循環(huán)。

按照上述模擬流程使用Matlab軟件編寫了軟件，并對(duì)模擬結(jié)果進(jìn)行了后處理。模擬采用的點(diǎn)陣為100′100，取向值設(shè)定為32，模擬步數(shù)MCS為1000。

Figure 4 Flow diagram of the simulation process

4模擬結(jié)果與分析

圖5所示為模擬建立的晶粒初始形貌，圖6則給出了晶粒生長(zhǎng)過(guò)程中晶粒形貌隨時(shí)間的演化情況。可以看出，在= 0 MCS ~ 250 MCS之間，晶粒生長(zhǎng)迅速，尺寸變化明顯，大晶粒吞并小晶粒，晶界交點(diǎn)處多為120度，證明該模擬很好地符合了實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象。而在250 MCS后，晶粒尺寸變化并不明顯，于是我們統(tǒng)計(jì)了晶粒平均尺寸等參數(shù)來(lái)進(jìn)行比較分析。

圖5晶粒初始形貌 (= 0)

Figure 5 The initial grain morphology (= 0)

晶粒平均尺寸的變化規(guī)律如圖7所示。可以看出，晶粒快速生長(zhǎng)發(fā)生在0 MCS ~ 200 MCS這個(gè)階段；進(jìn)入400 MCS后，晶粒尺寸基本保持穩(wěn)定。

圖7晶粒平均尺寸隨模擬時(shí)間的變化
Figure 7 Variation of average grain size with simulation time

為了進(jìn)一步研究晶粒生長(zhǎng)過(guò)程，我們統(tǒng)計(jì)了每一個(gè)MCS步時(shí)整個(gè)晶粒所儲(chǔ)存的能量，以便清楚地顯示出晶粒長(zhǎng)大過(guò)程中整個(gè)系統(tǒng)的能量變化，結(jié)果如圖8所示?？梢钥闯?，晶粒生長(zhǎng)過(guò)程實(shí)際上就是晶粒晶界儲(chǔ)能減少的過(guò)程，隨著晶粒儲(chǔ)能的減少，晶粒生長(zhǎng)。在0 MCS ~ 200 MCS之間儲(chǔ)能急劇下降，對(duì)應(yīng)于圖7中晶粒尺寸的急劇上升；400 MCS后，晶粒尺寸保持穩(wěn)定，晶粒儲(chǔ)能基本不變。

圖8 系統(tǒng)總能量隨模擬時(shí)間的改變

Figure 8 Variation of total system energy with simulation time

根據(jù)模擬結(jié)果，我們可以得到晶粒生長(zhǎng)曲線如圖9所示：晶粒生長(zhǎng)指數(shù)在0 MCS ~ 200 MCS之間有一個(gè)較大的變化，但最后穩(wěn)定在0.35 ~ 0.45之間，這與理論值0.5差別不大。研究表明，理論值0.5只是針對(duì)理想狀況，實(shí)際上由于雜質(zhì)、間隙等因素的影響，大部分材料晶粒生長(zhǎng)指數(shù)應(yīng)當(dāng)在0.1 ~ 0.4之間，這與我們的模擬結(jié)果相符。

圖9晶粒生長(zhǎng)指數(shù)隨時(shí)間的變化

Figure 9 Variation of grain growth exponent with simulation time

5結(jié)論

本文根據(jù)傳統(tǒng)晶粒生長(zhǎng)的Monte Carlo模型，提出了格點(diǎn)重新取向過(guò)程中新的隨機(jī)提取方法。模擬分析證明了該改進(jìn)算法的可靠性。將晶粒平均尺寸與系統(tǒng)能量相比較，驗(yàn)證了晶粒長(zhǎng)大過(guò)程對(duì)應(yīng)于系統(tǒng)能量減少這一現(xiàn)象。模擬得到的晶粒生長(zhǎng)指數(shù)在0.35 ~ 0.45之間，與使用傳統(tǒng)Monte Carlo方法模擬得到的結(jié)果 (= 1/3[26]) 相比，更加貼近于理論結(jié)果。

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Monte Carlo Method for Normal Grain Growth Similation

WANG Gang1, LIU Yan1, XU Zong-Chang1, XIAO Gang2, ZHANG Yao-Yu1, TAN Kai2, LIN Yi-Xin1,2

1China-EU Institute for Clean and Renewable Energy, Huazhong University of Science＆Technology, Wuhan 430074, China2School of Energy and Power Engineering, Huazhong University of Science＆Technology, Wuhan 430074, China

A two-dimensional Monte Carlo model for the grain growth in under the isotropic condition was established and used to simulate the normal grain growth process. In the simulation process, some changes in the part of energy calculation and probability statistics in the traditional Monte Carlo method were made. The simulation results confirmed that the energy evolution of the system is corresponding to the grain size change. The obtained grain growth exponent,= 0.35 ~ 0.45, is close to its theoretic value, proving the reliability of the improved method.

Computer simulation; Grain growth; Monte Carlo method

TB34

1005-1198 (2016) 06-0434-08

A

10.16253/j.cnki.37-1226/tq.2016.07.002

2016-06-20

2016-10-31

國(guó)家自然科學(xué)基金 (21203069)。

王 崗 (1991-), 男, 河南湯陰人, 碩士研究生。E-mail: wanggangty44@gmail.com。

林一歆 (1982-), 女, 湖北武漢人, 副教授。E-mail: yixinlin@hust.edu.cn。