二自由度弱非線性耦合系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)行為

張曄, 陳向煒

(1.蘇州科技大學(xué) 數(shù)理學(xué)院, 江蘇 蘇州 215009; 2.商丘師范學(xué)院 電子電氣工程學(xué)院, 河南 商丘 476000)

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二自由度弱非線性耦合系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)行為

張曄1, 陳向煒2

(1.蘇州科技大學(xué) 數(shù)理學(xué)院, 江蘇 蘇州 215009; 2.商丘師范學(xué)院 電子電氣工程學(xué)院, 河南 商丘 476000)

研究二自由度弱非線性耦合系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)行為.首先, 用耦合彈簧構(gòu)建一二自由度弱非線性耦合系統(tǒng), 給出該系統(tǒng)的Lagrange函數(shù), 并建立其微分方程; 然后, 求該系統(tǒng)的奇點(diǎn)并利用Lyapunov方法判斷其穩(wěn)定性; 最后,利用Matlab對(duì)其進(jìn)行數(shù)值模擬, 畫出龐加萊截面圖、相圖及時(shí)域圖, 觀察系統(tǒng)在相空間中的運(yùn)動(dòng)軌跡.

二自由度弱非線性耦合系統(tǒng); 奇點(diǎn); 龐加萊截面圖; 相軌跡

1788年, Lagrange在著作《分析力學(xué)》中, 應(yīng)用數(shù)學(xué)分析的方法得到D’Alembert原理及第二類Lagrange方程, 為L(zhǎng)agrange力學(xué)系統(tǒng)奠定了基礎(chǔ).1834年, Hamilton[1,2]將第二類Lagrange方程變換成一種正則形式, 提出了Hamilton原理, 建立了Hamilton力學(xué).近年來, 對(duì)Lagrange系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)的研究非常活躍, 取得了一系列重要成果, 主要集中在對(duì)稱性及其守恒量[3-7], Noether-Lie對(duì)稱性[8,9], 動(dòng)力學(xué)逆問題[10], 攝動(dòng)與絕熱不變量[11-13].但在Lagrange系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)行為研究方面所涉不多, 梅鳳翔[14-16]等利用梯度系統(tǒng)的性質(zhì)研究奇點(diǎn)的穩(wěn)定性, 宋端[17]利用梯度系統(tǒng)研究了系統(tǒng)平衡穩(wěn)定性對(duì)參數(shù)的依賴關(guān)系, 及解的周期性[18-20]研究成果.本文利用耦合彈簧建立了一實(shí)際的兩自由度弱非線性耦合系統(tǒng), 利用Lyapunov間接法及Lyapunov直接法判斷其奇點(diǎn)的穩(wěn)定性, 對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行數(shù)值模擬, 畫出其龐加萊截面圖, 相圖及時(shí)域圖, 從而觀察相空間中系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)軌跡.

1 二自由度弱非線性耦合系統(tǒng)的構(gòu)造及其微分方程

力學(xué)系統(tǒng)由兩個(gè)質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)被三根彈簧以及墻體連接起來, 如圖1所示, 其中k1=k3=k, 中間耦合彈簧的勁度系數(shù)k2與其伸縮量(x2-x1)存在弱非線性關(guān)系, 即

(1)

其中0<ε?1,x1, x2分別表示兩質(zhì)點(diǎn)相對(duì)其平衡位置的位移, 忽略阻力, 則系統(tǒng)的勢(shì)能為

(2)

系統(tǒng)的Lagrange函數(shù)為

(3)

系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程為[21]

(4)

圖1 二自由度弱非線性耦合系統(tǒng)

2 系統(tǒng)的奇點(diǎn)及穩(wěn)定性

(5)

系統(tǒng)(5)在奇點(diǎn)(0,0,0,0)處的線性化系統(tǒng)為

(6)

解得其特征根為

λ1,2=±2iω,λ3,4=±iω

(7)

由(7)知方程有4個(gè)純虛根, 此時(shí)奇點(diǎn)(0,0,0,0)為系統(tǒng)的橢圓點(diǎn), 知線性化方程(6)的奇點(diǎn)是穩(wěn)定的, 此時(shí)不能判斷原系統(tǒng)(5)奇點(diǎn)的穩(wěn)定性.

取系統(tǒng)(5)的總能作為L(zhǎng)yapunov函數(shù)

(8)

則

(9)

解得其特征值為

λ1,2=±2ω,λ3,4=±iω

(10)

由(10)知方程有一個(gè)正的實(shí)根、一個(gè)負(fù)的實(shí)根和一對(duì)共軛純虛根, 此時(shí)奇點(diǎn)為系統(tǒng)的一類鞍點(diǎn), 線性系統(tǒng)(9)的奇點(diǎn)是不穩(wěn)定的, 原系統(tǒng)(5)的奇點(diǎn)也是不穩(wěn)定的.

3 相空間中的軌跡

若初始速度方向相同, 即x3x4>0.圖2為E=10(圖2(a))和E=25(圖2(b))時(shí)系統(tǒng)的龐加萊截面圖, 可以看出每個(gè)圖都有很多截點(diǎn)所構(gòu)成的閉曲線, 這些閉曲線稱為KAM環(huán), 這表示系統(tǒng)在相空間中做準(zhǔn)周期運(yùn)動(dòng).隨著E的增加, 截面的體積隨著增大, KAM環(huán)發(fā)生形變但沒有破裂, 直至增大到其臨界值曲面直接破裂, 相軌跡出現(xiàn)逃逸現(xiàn)象.

圖2 E=10、25時(shí)的龐加萊截面圖

圖3和圖4為x3=0.3693、x4=4.4569時(shí)相軌跡在x1x2(圖3(a))、x1x3(圖3(b))和x2x4(圖3(c))面上的投影及時(shí)域圖t-x1、t-x2(圖4), 由圖3可以看出軌線不是封閉曲線, 較長(zhǎng)時(shí)間后軌線集中在一封閉帶中, 這表示兩質(zhì)點(diǎn)同樣做準(zhǔn)周期運(yùn)動(dòng).

圖3 相軌跡在三個(gè)平面上的投影

圖4 t-x1、t-x2曲線

若初始速度方向不同, 即x3x4<0.圖5為E=10(圖5(a))和E=25(圖5(b))時(shí)系統(tǒng)的龐加萊截面圖, 圖像比較復(fù)雜, 截面圖由三種KAM環(huán)(圖6)組成, 系統(tǒng)在相空間中做準(zhǔn)周期運(yùn)動(dòng).隨著E的增加, 截面的體積隨著增大, KAM環(huán)發(fā)生形變但沒有破裂, 直至增大到其臨界值曲面直接破裂, 相軌跡出現(xiàn)逃逸現(xiàn)象.

圖5 E=10、25時(shí)的龐加萊截面圖

圖6 KAM環(huán)

圖7 相軌跡在三個(gè)平面上的投影

圖8 t-x1、t-x2曲線

圖7和圖8為x3=1.4521、x4=-4.2298時(shí)相軌跡在x1x2(圖7(a))、x1x3(圖7(b))和x2x4(圖7(c))面上的投影及時(shí)域圖t-x1、t-x2(圖8).

4 結(jié) 論

本文利用變勁度系數(shù)彈簧構(gòu)造了一實(shí)際的二自由度弱非線性耦合系統(tǒng); 用Lyapunov間接法及Lyapunov直接法判斷系統(tǒng)奇點(diǎn)的穩(wěn)定性, 得到系統(tǒng)有一個(gè)穩(wěn)定的橢圓點(diǎn)和一個(gè)鞍點(diǎn); 利用數(shù)值計(jì)算, 通過圖像研究定性地認(rèn)識(shí)了系統(tǒng)在相空間中的運(yùn)動(dòng), 取初始位移為零, 初始速度方向相同與初始速度方向相反, 得到的龐加萊截面圖不同, 但系統(tǒng)都是在做準(zhǔn)周期運(yùn)動(dòng), 當(dāng)總能達(dá)到一定值時(shí), 相軌跡發(fā)生逃逸現(xiàn)象; 分別取x3=0.3693、x4=4.4569及x3=1.4521、x4=-4.2298, 觀察其相軌跡在平面上的投影以及時(shí)域圖同樣可以發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)做準(zhǔn)周期運(yùn)動(dòng).

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[責(zé)任編輯：徐明忠]

Dynamic behavior of the weak nonlinear coupled two-dimensional anisotropic harmonic oscillator

ZHANG Ye1, CHEN Xiangwei2

(1.School of Mathematics and Physics, Suzhou University of Science and Technology, Suzhou 215009, China;2.Department of Electrical and Electronic Engineering, Shangqiu Normal University, Shangqiu 476000, China)

The dynamic behavior of weak nonlinear coupled two-dimensional system is studied.Firstly, a weak nonlinear coupled two-dimensional system is constructed by using coupling spring, Lagrange function and the differential equations of this system are established; then, the singular points for the system are obtained and their stability are judged by using the Lyapunov method; finally, the trajectories in phase space of the system are studied by numerical simulation and plotting the Poincare surface of section, phase diagram and time-series diagram.

the weak nonlinear coupled two-dimensional system; the singular point; Poincare surface of section; phase diagram

2016-11-20

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(11372169)

張曄(1992—)，女，河北石家莊人，蘇州科技大學(xué)碩士研究生，主要從事力學(xué)中的數(shù)學(xué)方法研究.

陳向煒(1967—)，男，河南汝南人，商丘師范學(xué)院教授，博士，碩士生導(dǎo)師，主要從事非線性動(dòng)力學(xué)研究.

O316

A

1672-3600(2017)03-0020-06