初中數(shù)學(xué)函數(shù)最值問題求解探析

彭期川

摘要：函數(shù)最值問題是初中數(shù)學(xué)教學(xué)的一個(gè)重點(diǎn)和難點(diǎn)。本文例舉了初中數(shù)學(xué)函數(shù)最值問題中常用到的方法，如配方法、消元法等，以期幫助學(xué)生更全面的掌握函數(shù)知識(shí)，在實(shí)際的解題過程中可以從多個(gè)角度進(jìn)行問題的解答。

關(guān)鍵詞：初中數(shù)學(xué)；函數(shù)最值；解題方法

函數(shù)最值問題是中考重點(diǎn)考查的知識(shí)點(diǎn)，作為基礎(chǔ)題型，初中數(shù)學(xué)中求函數(shù)最值問題往往是通過消元法和配方法進(jìn)行解題的，其解法靈活性、綜合性強(qiáng)，對(duì)學(xué)生的理解能力要求高，學(xué)生為解決這類問題，需要全面掌握函數(shù)最值問題的解題思路與方法，綜合運(yùn)用各種數(shù)學(xué)技能。

一、初中函數(shù)最值求解中配方法的運(yùn)用

在初中數(shù)學(xué)中，配方法的運(yùn)用很常見，在進(jìn)行函數(shù)最值的求解中，往往也會(huì)用到配方法。在函數(shù)最值求解中配方法的運(yùn)用指的是將題目已知的代數(shù)式或者不等式配成多個(gè)完全平方式，再根據(jù)完全平方式不可為負(fù)的性質(zhì)對(duì)題目進(jìn)行簡(jiǎn)化計(jì)算。

例如，已知參數(shù) 和 都是實(shí)數(shù)，需要求的5y2+4xy+2x2+2y-4x-5這個(gè)函數(shù)的最小值為多少？

解題思路：這種題型是典型的函數(shù)最值問題，并且這個(gè)函數(shù)告訴了兩個(gè)未知的參數(shù)，參數(shù)之間并沒有具體的數(shù)值，這個(gè)時(shí)候完全可以通過運(yùn)用配方法進(jìn)行最值的求解。

原式=5y2+4xy+2x2+2y-4x-5

=x2-4x+4+x2+4xy+4y2+y2+2y+1-10

=（x-2）2+（x+2y）2+（y+1）2-10.

通過這樣的配方簡(jiǎn)化，顯而易見當(dāng)x=2，y=-1時(shí)，代數(shù)式的數(shù)值為最小值，最小值為10。

二、初中函數(shù)最值求解中消元法的運(yùn)用

初中函數(shù)中消元法的運(yùn)用主要是指通過已知不同變量轉(zhuǎn)換為某一種變量來統(tǒng)一表示不等式或代數(shù)式，再借助題目已知的條件進(jìn)行解答，通過一定的運(yùn)算達(dá)到最值的求解。

例如，已知參數(shù)x、y、z都是非負(fù)的實(shí)數(shù)，并且這三個(gè)參數(shù)滿足x+y-z=2，3x+2y+z=5這個(gè)代數(shù)式，假如S=2x+y-z，那么求S的最大值和最小值的和？

解題思路：這道題是典型的函數(shù)最值求和的問題，并且涉及到最大值和最小值兩個(gè)數(shù)量的求解，在這種時(shí)候可以運(yùn)用消元法進(jìn)行最大值和最小值的求解，轉(zhuǎn)化相應(yīng)的變量，將待求問題轉(zhuǎn)換成只包含一個(gè)參數(shù)的式子，結(jié)合已知條件進(jìn)行代數(shù)式的求解。

立方程式組為：3x+2y+z=5和x+y-z=2，參數(shù)x和y都用參數(shù)y表示，可得：

x=（7-3y）/4，z=（y-1）/4。

從已知條件可得：x=（7-3y）/4≥0，y≥0，z（y-1）/4≥0。

解得1≤y≤7/3。又因?yàn)镾=2x+y-z=-3y/4+15/4，將y=1和y=7/3分別代入S，可以得出S的最大值為3，最小值為2，所以Smax+Smin=3+2=5。

三、初中函數(shù)最值求解中區(qū)間定動(dòng)軸的運(yùn)用

（一）定軸定區(qū)間

在函數(shù)求解中，運(yùn)用函數(shù)圖像可以更直接的判斷其最大值和最小值。定軸定區(qū)間指的是函數(shù)的區(qū)間和對(duì)稱軸都是固定不變的，只需要通過觀察函數(shù)圖象變化進(jìn)行最大值和最小值的判斷。

例如，求出函數(shù)y=x2-2x-3在區(qū)間[-2，2]上的最大值。

解題思路：觀察函數(shù)圖像，在閉區(qū)間上，這個(gè)函數(shù)的最值會(huì)出現(xiàn)在閉區(qū)間的頂點(diǎn)，或者出現(xiàn)在閉區(qū)間的端點(diǎn)，這個(gè)函數(shù)開口是向上的，在端點(diǎn)和頂點(diǎn)上都有可能取得最值。觀察所畫的草圖可以得出最大和最小值的位置，根據(jù)已知方程式可以得出其對(duì)稱軸x=1，所以最小值應(yīng)該在x=1處取得，即ymin=-4，；最大值應(yīng)該在x=-2處取得，即ymin=5。

（二）定軸動(dòng)區(qū)間

定軸動(dòng)區(qū)間指的是函數(shù)的對(duì)稱軸是可以確定的，但函數(shù)的閉區(qū)間是不能確定的，區(qū)間內(nèi)的函數(shù)存在著變量。

例如，求出y=-x2+2x-2在區(qū)間[t，t+1]上的最大值和最小值的取值。

解題思路：此題最大的問題在于函數(shù)的區(qū)間是變量，所以不能通過直接觀察函數(shù)的端點(diǎn)和頂點(diǎn)進(jìn)行最大值和最小值的運(yùn)算。在這個(gè)題解題的過程中，需要分類討論，要根據(jù)區(qū)間端點(diǎn)與對(duì)稱軸之間存在的距離關(guān)系進(jìn)行最大值和最小值的取值。

通過已知函數(shù)可以看出對(duì)稱軸x=1，當(dāng)函數(shù)的對(duì)稱軸在區(qū)間的左邊時(shí)，t+1<1，ymax=y（t+1）=-t2-1；當(dāng)函數(shù)的對(duì)稱軸在區(qū)間范圍內(nèi)時(shí)，t≤1≤t+1→0≤t≤1，ymax=y（1）=-1；當(dāng)函數(shù)的對(duì)稱軸在區(qū)間的右邊時(shí)，t≤1，ymax=y（t）=-t2+2t-2。

結(jié)束語：

初中函數(shù)最值問題考查的范圍內(nèi)容復(fù)雜，要求學(xué)生邏輯思維能力強(qiáng)，并且能靈活的進(jìn)行函數(shù)最值解題，對(duì)不同的題型要有不同的解題方法。本文結(jié)合了初中常見求函數(shù)最值的方法進(jìn)行例題研究，希望能幫助學(xué)生在實(shí)際學(xué)習(xí)中能順利的進(jìn)行函數(shù)最值求解，掌握多種解決函數(shù)最值問題的求解方法。

參考文獻(xiàn)：

[1]趙善福.初中數(shù)學(xué)函數(shù)最值問題求解策略[J].數(shù)理化解題研究（初中版），2014，12：38-39.

[2]徐薇.淺談初中數(shù)學(xué)二次函數(shù)最值問題的求解[J].數(shù)理化解題研究，2015，13：26.

[3]馬廣蘭.蘇科版初中數(shù)學(xué)求二次函數(shù)最值問題商榷[J].新課程（中學(xué)），2015，09：39.

[4]郭利平.初中數(shù)學(xué)函數(shù)教學(xué)研究[J].內(nèi)蒙古師范大學(xué)學(xué)報(bào)，2011.