抽象函數(shù)的周期性探析

羅文軍

【摘要】抽象函數(shù)是一些沒(méi)有給出具體解析式的函數(shù)，因而比較抽象，難以理解，本文總結(jié)了抽象函數(shù)的周期性與遞推式、對(duì)稱(chēng)性、奇偶性的幾個(gè)常見(jiàn)的結(jié)論.

【關(guān)鍵詞】抽象函數(shù)；周期函數(shù)；遞推式；對(duì)稱(chēng)性；奇偶性

抽象函數(shù)是相對(duì)于具體函數(shù)而言的，它沒(méi)有給出具體的函數(shù)解析式，只給出了一些體現(xiàn)函數(shù)特征或性質(zhì)的式子的一類(lèi)函數(shù).因?yàn)槌橄螅y以理解，它是高中數(shù)學(xué)函數(shù)部分的難點(diǎn)，所以解抽象函數(shù)的題目需要有嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬐评砟芰?、抽象思維能力以及函數(shù)基本知識(shí)靈活運(yùn)用的能力.

近幾年高考中也常出現(xiàn)涉及抽象函數(shù)的題目，大多考查的是函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、對(duì)稱(chēng)性和周期性.而在實(shí)際教學(xué)中學(xué)生對(duì)于抽象函數(shù)周期性的判定和運(yùn)用比較困難，所以本文嘗試歸結(jié)抽象函數(shù)的周期性問(wèn)題的幾個(gè)常見(jiàn)的結(jié)論并給予簡(jiǎn)單的證明，并通過(guò)幾個(gè)例題說(shuō)明簡(jiǎn)單的應(yīng)用，供大家參考.

一、三個(gè)結(jié)論

結(jié)論1 （遞推式與周期關(guān)系結(jié)論）

（1）若f（x+a）=f（x+b），則T=|a-b|；{∵f[x+（a-b）]=f[（x-b）+a]=f[（x-b）+b]=f（x）}

（2）若f（x+a）=-1f（x），則T=2|a|；{∵f（x+2a）=f[（x+a）+a]=-1f（x+a）=f（x）}

（3）若f（x+a）=-f（x），則T=2|a|；{∵f（x+2a）=f[（x+a）+a]=-f（x+a）=f（x）}

（4）若f（x+a）=1+f（x）1-f（x），則T=4|a|.

{∵f（x+2a）=f[（x+a）+a]=1+f（x+a）1-f（x+a）=1+1+f（x）1-f（x）1-1+f（x）1-f（x）=1-f（x）+1+f（x）1-f（x）-1-f（x）=2-2f（x）=-1f（x），

∴f（x+4a）=f[（x+2a）+2a]=-1f（x+2a）=f（x）}

結(jié)論2 （對(duì)稱(chēng)性與周期關(guān)系結(jié)論）

（1）若f（x）關(guān)于x=a及x=b對(duì)稱(chēng)，則T=2|b-a|；

證明：∵f（x）關(guān)于直線x=a和x=b對(duì)稱(chēng)，

∴f（x）=f（2a-x），x∈R，f（x）=f（2b-x），x∈R，∴f（2a-x）=f（2b-x），x∈R，

將上式的-x以x代換得f（2a+x）=f（2b+x），x∈R，

∴f[x+2（b-a）]=f[（x-2a）+2b]=f[（x-2a）+2a]=f（x），x∈R.

∴f（x）是R上的周期函數(shù)，且2a-b是它的一個(gè)周期.

（2）f（x）關(guān)于x=b及Ma，0對(duì)稱(chēng)，則T=4|b-a|；

證明：∵f（x）關(guān)于點(diǎn)M（a，0）對(duì)稱(chēng)，f（2a-x）=-f（x），x∈R，

∵f（x）關(guān)于直線x=b對(duì)稱(chēng)，∴f（x）=f（2b-x），x∈R，

∴f（2b-x）=-f（2a-x），x∈R，

將上式中的-x以x代換，得f（2b+x）=-f（2a+x），x∈R，

∴f[x+4（b-a）]=f[2b+（x+2b-4a）]=-f[2a+（x+2b-4a）]=-f[2b+（x-2a）]=f[2a+（x-2a）]=f（x），x∈R.

∴f（x）是R上的周期函數(shù)且4b-a是它的一個(gè)周期.

（3）f（x）關(guān)于點(diǎn)Ma，0和Nb，0對(duì)稱(chēng)，則T=2|b-a|.

證明：∵f（x）關(guān)于M（a，0），N（b，0）對(duì)稱(chēng)，

∴f（2a-x）=-f（x），x∈R；且f（2b-x）=-f（x），x∈R.

∴f（2a-x）=f（2b-x），x∈R，

將上式中的-x以x代換，得f（2a+x）=f（2b+x），x∈R，

∴f[x+2（b-a）]=f[2b+（x-2a）]=f[2a+（x-2a）]=f（x），x∈R.

∴f（x）是周期函數(shù)且2b-a是它的一個(gè)周期.

結(jié)論3 （奇偶性與周期關(guān)系結(jié)論）

（1）f（x）是偶函數(shù)且關(guān)于直線x=a對(duì)稱(chēng)，則T=2|a|；

證明 ：∵f（x）是偶函數(shù)，故f（x）關(guān)于x=0對(duì)稱(chēng)，又關(guān)于x=a對(duì)稱(chēng)，

∴由結(jié)論2中的（1）可知周期為T(mén)=2a-0=2a.

（2）f（x）是奇函數(shù)且關(guān)于直線x=a對(duì)稱(chēng)，則T=4|a|；

證明：∵f（x）是奇函數(shù)，

∴f（x）關(guān)于點(diǎn)（0，0）對(duì)稱(chēng)，又∵f（x）關(guān)于x=a對(duì)稱(chēng)，

∴由結(jié)論2中的（2）可知周期為T(mén)=4a-0=4a.

二、應(yīng)用舉例

例1 （2001年高考數(shù)學(xué)（文科）第22題）設(shè)f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，其圖像關(guān)于直線x=1對(duì)稱(chēng).對(duì)任意x1，x2∈[0，12]都有f（x1+x2）=f（x1）·f（x2）.

（Ⅰ）設(shè)f（1）=2，求f12，f14；

（Ⅱ）證明f（x）是周期函數(shù).

分析 f（x）是偶函數(shù)的實(shí)質(zhì)是f（x）的圖像關(guān)于直線x=0對(duì)稱(chēng)，又f（x）的圖像關(guān)于x=1對(duì)稱(chēng)，由結(jié)論2中的（1）可得f（x）是周期函數(shù).

解析 （Ⅰ）解略.

（Ⅱ）證明：依題設(shè)y=f（x）關(guān)于直線x=1對(duì)稱(chēng)，故f（x）=f（2-x），x∈R，

又由f（x）是偶函數(shù)知f（-x）=f（x）.

∴f（-x）=f（2-x），x∈R.

將上式中-x以x代換，得f（x）=f（x+2），x∈R.

這表明f（x）是R上的周期函數(shù)，且2是它的一個(gè)周期.

例2 （求值）（1）已知f（x）是定義在R上的函數(shù)，且滿足f（x+2）[1-f（x）]=1+f（x），f（1）=2008，求f（2009）的值.

（2）已知函數(shù)f（x）=f（x+2）+f（x-2）對(duì)于x∈R恒成立，且f（1）=5，求f（2005）的值.

解析 （1）由題可知f（x）≠1，則有f（x+2）=1+f（x）1-f（x），由結(jié)論1（4）得T=2×4=8，

∴f（2009）=f（8×251+1）=f（1）=2008.

（2）由f（x）=f（x+2）+f（x-2）①

得f（x+2）=f（x+4）+f（x）②

∴由①+②得f（x+4）=-f（x-2）.即f（x+6）=-f（x）.

由結(jié)論1（3）知T=12，故有f（2005）=f（1+12×167）=f（1）=5.

例3 （判斷奇偶性）若函數(shù)f（x）對(duì)于x∈R滿足f（x+1004）=-1f（x），f（1004+x）=f（1004-x），則f（x）（ ）.

A.是奇函數(shù)而不是偶函數(shù)B.是偶函數(shù)而不是奇函數(shù)

C.是奇函數(shù)又是偶函數(shù)D.不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)

解析 由f（x+1004）=-1f（x），結(jié)合結(jié)論1（2）知f（x）是周期函數(shù)且T=2008，

∴f（x）=f（2008+x）=f[1004+（1004+x）]=f[1004-（1004+x）]=f（-x）.

即f（-x）=f（x），又顯然f（x）≠0，∴y=f（x）是偶函數(shù)，故選B.

例4 （求解析式）已知偶函數(shù)f（x）的圖像關(guān)于直線x=1對(duì)稱(chēng)，且x∈[3，4]時(shí)f（x）=2x-1，求當(dāng)x∈[14，15]時(shí)，f（x）的解析式.

解析 由條件及結(jié)論3（1），知f（x）是周期函數(shù)且T=2，由f（x）是偶函數(shù)，知f（-x）=f（x）.

設(shè)14≤x≤15，則-15≤-x≤-14，即3≤18-x≤4.

有f（x）=f（-x）=f（-x+9×2）=f（18-x）=2×（18-x）-1=-2x+35.

即當(dāng)x∈[14，15]時(shí)，f（x）=-2x+35.

例5 已知定義在R上的函數(shù)f（x），對(duì)任意實(shí)數(shù)x，y，有f（x+y）+f（x-y）=

2f（x）f（y），若存在實(shí)數(shù)c>0，使fc2=0.

（1）求證：對(duì)任意x∈R，有f（x+c）=-f（x）成立.

（2）試問(wèn)函數(shù)f（x）是不是周期函數(shù)，如果是，找出它的一個(gè)周期；如果不是，請(qǐng)說(shuō)明理由.

解析 （1）證明：分別用x+c2，c2代替x，y，有

f（x+c）+f（x）=2fx+c2fc2.

∵ fc2=0，

∴f（x+c）=-f（x）.

（2）解：由f（x+c）=-f（x），得f（x+2c）=f[（x+c）+c]=-f（x+c）=f（x），

即f（x+2c）=f（x）.

∴f（x）是周期函數(shù)，2c是它的一個(gè)周期.

從以上例題可以發(fā)現(xiàn)，抽象函數(shù)周期性的考查往往與函數(shù)的奇偶性、對(duì)稱(chēng)性等聯(lián)系在一起，范圍較廣，能力要求較高.但只要對(duì)函數(shù)基本性質(zhì)熟練，并掌握上述有關(guān)的結(jié)論和類(lèi)型題目的相應(yīng)解法，則會(huì)得心應(yīng)手，事半功倍.

【參考文獻(xiàn)】

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[2]李金菊.利用函數(shù)的周期性解抽象函數(shù)題[J].昭通師范高等專(zhuān)科學(xué)校學(xué)報(bào)，2005（02）.

[3]趙鴻偉.探究高考中的抽象函數(shù)[J].考試與招生，2010（08）.