靜電場求解的三種方法研究

郭福強(qiáng) 張?；?王俊珺

（昌吉學(xué)院物理系 新疆 昌吉 831100）

靜電場求解的三種方法研究

郭福強(qiáng) 張?；?王俊珺

（昌吉學(xué)院物理系 新疆 昌吉 831100）

本文從實(shí)際靜電問題出發(fā)，利用靜電場基本特點(diǎn)以及靜電場滿足的微分表達(dá)式、幾種不同類型邊值條件下的邊值關(guān)系，從中總結(jié)規(guī)律，提出比較簡單的求解靜電場問題的三種方法，即分離變量法、鏡像法、格林函數(shù)法，分析三種方法求解靜電場的基本原理、步驟和特點(diǎn)，使其學(xué)生更好地應(yīng)用方法解決實(shí)際問題，并且通過研究可以使學(xué)生獲得本領(lǐng)域內(nèi)分析和處理一些基本靜電問題的初步能力。

靜電場分離變量法鏡像法格林函數(shù)法

1 引言

靜電場問題是《電磁學(xué)》和《電動力學(xué)》所研究的關(guān)鍵問題，在《電磁學(xué)》中，求解靜電場問題大多是利用高斯定理求解靜電場，而在實(shí)際生活和生產(chǎn)中高度對稱性的問題很少，而是更加一般的靜電問題，很難利用高斯定理求解。那么，通過《電動力學(xué)》的學(xué)習(xí)，提出了求解一般情況下靜電場的三種方法：分離變量法、鏡像法、格林函數(shù)法，本文通過對這三種方法的介紹，比較這些方法的特點(diǎn)和適用條件，為后期學(xué)生學(xué)習(xí)靜電場的求解提供指導(dǎo)，并能利用這些方法解決一些更為實(shí)際的靜電問題。

2 靜電場的特點(diǎn)

靜電場是靜止的電荷所產(chǎn)生的場，它具有以下特點(diǎn)：

對于非均勻介質(zhì)而言，介質(zhì)內(nèi)部存在束縛電荷ρp。

（1）均勻各向同性線性介質(zhì)[1]：

（2）靜電平衡時的導(dǎo)體：

3 求解靜電場問題的三種方法

3.1 分離變量法

3.1.1 基本原理

在許多實(shí)際問題中，靜電場是有帶電導(dǎo)體決定的。例如，電容器內(nèi)部的電場是由作為電極的兩個導(dǎo)體板上所帶電荷決定的[2]。而這些問題的特點(diǎn)是：空間中沒有自由電荷分布，而自由電荷只出現(xiàn)在一些導(dǎo)體的表面上，因此，如果選擇這些導(dǎo)體表面作為區(qū)域V的邊界，則在V內(nèi)部自由電荷密度ρ=0，因而泊松方程化簡為比較簡單的拉普拉斯方程[3]：

即產(chǎn)生靜電場的電荷都分布于區(qū)域V的邊界上，它們的作用通過邊界條件反映出來。因此，這類靜電場問題的解法是求拉普拉斯方程的滿足邊界條件的解。

3.1.2 基本步驟

A:判斷求解區(qū)域內(nèi)是否有電荷分布：如果沒有電荷，可利用拉普拉斯方程求解；

B:拉普拉斯方程：?2?=0的通解為

式中：amn；bmn；cmn；dmn為任意常數(shù)，由邊界條件確定。

C:方程的解依賴于所求解區(qū)域的對稱性，包括軸對稱和球?qū)ΨQ兩種情況，

D:確定通解中的待定系數(shù)，依賴于求解區(qū)域的邊界條件、邊值關(guān)系，它對于求解靜電場問題十分重要，大致有以下幾種類型：

（2）給出導(dǎo)體上的電勢，導(dǎo)體面上的邊界條件為?=?0（給定常數(shù)）

（3）給出導(dǎo)體所帶總電荷Q，在導(dǎo)體面上的邊界條件為

E:利用以上邊界條件、邊值關(guān)系，可以求解出通解中的待定系數(shù)，即可求得在特殊區(qū)域下的靜電場電勢的特解；

3.2 分離變量法的優(yōu)點(diǎn)

分離變量法的優(yōu)點(diǎn)是求解靜電場時適用于考慮求解區(qū)域內(nèi)沒有自由電荷分布的區(qū)域，只有在界面形狀比較簡單的幾何曲面時，這類問題的解才能以解析解形式給出，而且視不同區(qū)域的對稱性和邊界條件情況而定[4]；分離變量法求解靜電場解題步驟思路比較清晰，學(xué)生在學(xué)習(xí)的過程中容易掌握；在利用邊值關(guān)系和邊界條件求解待定系數(shù)時，邊界條件不多，學(xué)生很容易結(jié)合以上條件求解出特解。

4 鏡像法

4.1 基本原理

在一些特殊情形下，如區(qū)域內(nèi)只有一個或幾個點(diǎn)電荷，區(qū)域邊界是導(dǎo)體或介質(zhì)界面，這類問題通常采用鏡像法求解。在求解過程中提前設(shè)想存在某一個假想的點(diǎn)電荷來代替導(dǎo)體或介質(zhì)表面的感應(yīng)電荷或極化電荷，注意在這種替換下不能改變空間中的電荷分布，關(guān)鍵是在于能否滿足邊界條件。

4.2 基本步驟

（1）:判斷是否符合鏡像法求解的條件；

（2）:是否存在假想的電荷，初步估計它所在的位置；

（3）:通過滿足的邊界條件和邊值關(guān)系以此來確定假想電荷的所帶的電荷量和具體位置；

（4）:利用點(diǎn)電荷的電勢公式，求解幾個點(diǎn)電荷（已知點(diǎn)電荷和假想的點(diǎn)電荷）在空間區(qū)域內(nèi)的電勢；

4.3 鏡像法求解的優(yōu)點(diǎn)

鏡像法的優(yōu)點(diǎn)是適用于考慮求解區(qū)域內(nèi)沒有自由電荷分布的區(qū)域[5]，只在區(qū)域內(nèi)有幾個點(diǎn)電荷和導(dǎo)體或介質(zhì)，假想點(diǎn)電荷的電荷量與位置依賴于邊界條件情況而定；鏡像法求解靜電場關(guān)鍵是找出邊界條件，學(xué)生依賴于分離變量法中涉及到的邊界條件，在求解過程中很容易找出；利用假想的點(diǎn)電荷代替導(dǎo)體面的感應(yīng)電荷和介質(zhì)表面上的極化電荷，使復(fù)雜問題簡單化，直接轉(zhuǎn)換為點(diǎn)電荷電勢的求解，學(xué)生對于點(diǎn)電荷電勢的求解掌握的比較好，所以利用鏡像法很容易求解出電勢。

5 格林函數(shù)法

5.1 基本原理

求解一個點(diǎn)電荷的邊值問題在靜電學(xué)中有著重要的意義，因?yàn)檫@不僅意味著有關(guān)該點(diǎn)電荷的特殊問題得到了解決，而且還意味著有更廣的一類邊值問題可以借此而得到解決。如果邊界條件是給定S上的電勢?s，這類邊值問題稱為第一類邊值問題；如果給定S上的，這類邊值問題稱為第二類邊值問題。這些邊值問題，都是怎樣借助于有關(guān)點(diǎn)電荷的較簡單的邊值問題而得到解決的[6]，因此，須先引入點(diǎn)電荷密度δ函數(shù)的數(shù)學(xué)表達(dá)式，然后利用格林公式把一般邊值問題和有關(guān)點(diǎn)電荷的相應(yīng)問題聯(lián)系起來，通過格林公式把靜電場的邊值問題轉(zhuǎn)化為求解相應(yīng)的格林函數(shù)問題，即此方法為格林函數(shù)法。

5.2 基本步驟

（1）:是否能滿足δ函數(shù)；

δ函數(shù)定義如下：

δ(x)=0,當(dāng)x≠0

∫vδ(x)dv=1，若積分區(qū)域V包含x=0點(diǎn)；

（3）:判定是否給定邊界條件：?s或；

其中?替換為G函數(shù)

E:在δ(x-x′)=0,當(dāng)x≠x′，滿足拉普拉斯方程；

在∫vδ(x-x′)dx=1,當(dāng)x′∈V滿足泊松方程；

則可利用分離變量法和鏡像法求解結(jié)果將?替換為G函數(shù)即可。

5.3 格林函數(shù)法的特點(diǎn)

利用格林函數(shù)法求解過程中，關(guān)鍵是看ρ(x)是否能滿足δ函數(shù)的定義，將其改為ρ(x)=δ(x-x′)；如果滿足邊界條件，即可將?替換為G函數(shù)，利用格林函數(shù)法求解。

6 結(jié)語

在近現(xiàn)代物理學(xué)中關(guān)于靜電場問題的研究占有十分重要的地位，通過本文的論述分析，可以使學(xué)生掌握求解靜電場問題的三種方法，充分了解三種方法求解靜電場的基本原理、解題的基本步驟和特點(diǎn)。通過學(xué)習(xí)靜電場這部分知識，既加深了對靜電場的概念、定理及基本規(guī)律的理解，又獲得了分析和處理一些靜電問題的初步能力，為以后解決實(shí)際靜電問題打下基礎(chǔ)，更為以后進(jìn)行求解靜電場問題的教學(xué)研究夯實(shí)了基礎(chǔ)，具有一定的指導(dǎo)意義。

［1］［2］郭碩鴻.電動力學(xué)（第三版）［M］.高等教育出版社,2008.

［3］尹真.電動力學(xué)（第二版）［M］.科學(xué)出版社,2006.

［4］陳世民.電動力學(xué)簡明教程［M］.高等教育出版社,2004.

［5］虞福春，鄭春開.電動力學(xué)［M］.北京大學(xué)出版社,1992.

［6］鄭春開.電動力學(xué)解題指導(dǎo)［M］.北京大學(xué)出版社,2004.

O481.2

A

1671-6469（2016）-06-0106-04

2015-10-09

昌吉學(xué)院教研課題（14jyyb006）；新疆維吾爾自治區(qū)《探秘電和磁》視頻公開課（新教高【2013】16號）。

郭福強(qiáng)（1980-），男，河南周口人，昌吉學(xué)院物理系副教授，研究方向：教學(xué)改革研究。