壓縮相干態(tài)Wigner函數(shù)的研究

王震，李恒梅，萬(wàn)志龍

(常州工學(xué)院數(shù)理與化工學(xué)院，江蘇常州213032)

壓縮相干態(tài)Wigner函數(shù)的研究

王震，李恒梅，萬(wàn)志龍

(常州工學(xué)院數(shù)理與化工學(xué)院，江蘇常州213032)

借助于由有序算符內(nèi)的積分技術(shù)與Weyl編序下相似變換不變性以及 Weyl-Wigner量子化方案導(dǎo)出的密度算符，解析推導(dǎo)出了Yuen壓縮相干態(tài)和Stoler壓縮相干態(tài)相對(duì)應(yīng)的Wigner函數(shù)。通過(guò)解析推導(dǎo)以及數(shù)值對(duì)比可以發(fā)現(xiàn)，這兩類(lèi)壓縮相干態(tài)Wigner函數(shù)存在差異，這種差異為進(jìn)一步理解兩種壓縮相干態(tài)的特性提供了新的視角。

正規(guī)乘積;壓縮相干態(tài);Wigner函數(shù)

1 概述

量子壓縮是量子力學(xué)和量子光學(xué)的重要研究方向[1-3]。壓縮態(tài)是泛指一個(gè)正交相位振幅算符的起伏比相干態(tài)相應(yīng)分量的起伏小的量子態(tài)，其代價(jià)是另一個(gè)正交相位振幅算符的起伏增大，但兩者的乘積等同于相干態(tài)的相應(yīng)量。壓縮態(tài)由于在光通訊、高精度干涉測(cè)量以及微弱信號(hào)檢測(cè)方面有著廣泛的應(yīng)用前景而成為量子力學(xué)和量子光學(xué)領(lǐng)域的研究熱點(diǎn)。相干態(tài)作為量子力學(xué)中的一個(gè)核心概念，是激光理論的重要支柱。相干態(tài)的概念最初是奧地利物理學(xué)家Schr dinger在1926年提出，對(duì)于諧振子位勢(shì)，他找到了這樣的狀態(tài)。20世紀(jì)60年代初，美國(guó)物理學(xué)家Klauder從量子力學(xué)的數(shù)理基礎(chǔ)出發(fā)，建立了正則相干態(tài)[4]。1963年，哈佛大學(xué)Glauber教授系統(tǒng)地建立起光子相干態(tài)理論，研究其相干性與非經(jīng)典性，證明了相干態(tài)是諧振子湮滅算符的本征態(tài)[5-6]。理論上，產(chǎn)生壓縮相干態(tài)有對(duì)真空態(tài)先平移后壓縮(Yuen壓縮相干態(tài))[7]和先壓縮后平移(Stoler壓縮相干態(tài))[8]兩種方式，考慮到壓縮算符與平移算符不對(duì)易，且文獻(xiàn)資料對(duì)這兩種壓縮態(tài)的區(qū)別闡述得比較模糊，因此在前期研究中已導(dǎo)出兩類(lèi)壓縮相干態(tài)的密度算符解析表達(dá)式，并做了比較[9]。鑒于Wigner函數(shù)包含了一個(gè)量子態(tài)的全部信息，因此有必要推導(dǎo)出這兩類(lèi)壓縮相干態(tài)的Wigner函數(shù)解析表達(dá)式，并做進(jìn)一步的數(shù)值分析，以清晰直觀地觀察二者的異同。

2 Yuen壓縮相干態(tài)的Wigner函數(shù)

Yuen壓縮相干態(tài)是對(duì)真空態(tài)進(jìn)行先平移后壓縮操作，即：

(1)

(2)

::表示正規(guī)乘積符號(hào)。進(jìn)一步利用壓縮變換，可以得出Yuen壓縮相干態(tài)的正規(guī)乘積形式的密度算符[9]為

(3)

Wigner函數(shù)在相干態(tài)表象中的一般表達(dá)式[12]為

(4)

結(jié)合式(3)和(4)，可得Yuen壓縮相干態(tài)的Wigner函數(shù)表達(dá)式為

3 Stoler壓縮相干態(tài)的Wigner函數(shù)

Stoler壓縮相干態(tài)是對(duì)真空態(tài)進(jìn)行先壓縮后平移操作，即

(6)

正規(guī)乘積形式的壓縮算符S(r)表達(dá)式[13]為

(7)

結(jié)合平移算符，可得出Stoler壓縮相干態(tài)正規(guī)乘積形式的密度算符[9]為

(8)

同樣，利用式(4)和(8)，可得Stoler壓縮相干態(tài)的Wigner函數(shù)解析表達(dá)式為

(9)

結(jié)合式(5)和(9)，給出了兩類(lèi)壓縮相干態(tài)Wigner函數(shù)在相空間中的分布情況，如圖1、圖2所示。

圖1Wigner函數(shù)分布:Yuen壓縮相干態(tài)Wr,α(Re β,0)和Stoler壓縮相干態(tài)Wα,r(Re β,0)

圖2Wigner函數(shù)分布：Yuen壓縮相干態(tài)Wr,α(0,Im β)和Stoler壓縮相干態(tài)Wα,r(0,Im β)

通過(guò)對(duì)比圖1中兩條曲線可以看出，在其他參數(shù)相同的情況下，兩類(lèi)壓縮相干態(tài)的Wigner函數(shù)均無(wú)負(fù)值，二者的零值分布區(qū)域基本相同，但是Yuen壓縮相干態(tài)Wr,α(Re β,0)的峰值較Stoler壓縮相干態(tài)Wα,r(Re β,0)大得多。

同樣，通過(guò)對(duì)比圖2中兩條曲線可以看出，在其他參數(shù)相同的情況下，兩類(lèi)壓縮相干態(tài)的Wigner函數(shù)亦均無(wú)負(fù)值，但是二者的零值分布區(qū)域以及峰值大小不同，并且峰值的分布區(qū)域也存在較大差異。

4 結(jié)論

本文利用基于有序算符內(nèi)的積分技術(shù)、Weyl編序下相似變換不變性以及正規(guī)乘積形式的壓縮算符導(dǎo)出的密度算符，分別解析、推導(dǎo)出了Yuen和Stoler壓縮相干態(tài)的Wigner函數(shù)。通過(guò)對(duì)比Wigner函數(shù)相空間分布可以發(fā)現(xiàn)，在其他控制參數(shù)均相同的條件下，Yuen壓縮相干態(tài)和Stoler壓縮相干態(tài)的Wigner函數(shù)的峰值大小和峰值分布位置均存在一定差異，因此這兩類(lèi)壓縮相干態(tài)并不等同，該工作為進(jìn)一步證明二者不完全等同提供了直接的證據(jù)。該工作的開(kāi)展豐富了量子光學(xué)與量子信息學(xué)的研究，為實(shí)驗(yàn)工作者提供了有力的理論參考。

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[4]范洪義.量子力學(xué)表象與變換論：狄拉克符號(hào)法進(jìn)展[M].2版.合肥：中國(guó)科學(xué)技術(shù)大學(xué)出版社，2012：12.

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[8]STOLER D.Equivalence classes of minimum uncertainty packets[J].Phys Rev D,1970,1(12):3217-3219.

[9]王震，孟宇陽(yáng)，魯義剛，李恒梅，等.兩類(lèi)量子力學(xué)壓縮相干態(tài)密度算符的討論[J].課程教育研究，2015(28)：161-162.

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[11]LEE J,KIM J,NHA H.Demonstrating higher-order nonclassical effects by photon-added classical states:realistic schemes[J].J Opt Soc Am B,2009,26(7):1363-1369.

[12]FAN H Y,ZAIDI H R.Application of IWOP technique to the generalized Weyl correspondence[J].Phys Lett A,1987,124(6):305.

[13]FAN H Y,LU H L,FAN Y.Newton-Leibniz integration for ket-bra operators in quantum mechanics and derivationof entangled state representations[J].Ann Phys,2006,321(2):481.

責(zé)任編輯：楊子立

Wigner Function of Squeezed Coherent States

WANG Zhen,LI Hengmei,WAN Zhilong

(School of Sciences and Chemical Engineering,Changzhou Institute of Technology,Changzhou 213032)

Wigner functions corresponding to the Yuen and Stoler squeezed coherent states are obtained respectively by virtue of the density operator derived by the technique of integration within an ordered product of operators,the invariance in similarity transformation,and the Weyl-Wigner quantization scheme.By an analytical derivation and a numerical comparison,it can be found that there exists significant difference in the two types of Wigner functions,and it provides a new perspective to a deeper understanding of the characteristics of the two kinds of squeezed coherent states.

normal ordering;squeezed coherent states;Wigner function

10．3969/j．issn．1671-0436．2016．05．011

2016- 09- 18

江蘇省教育廳高校自然科學(xué)研究面上項(xiàng)目(14KJD140001；16KJB140001)；常州工學(xué)院科研基金項(xiàng)目 (YN1310)

王震(1982— )，男，博士，講師。

O431.2

A

1671- 0436(2016)05- 0050- 03