基于凸優(yōu)化基追蹤算法的線性調(diào)頻信號參數(shù)估計

夏 杰，周青松，張劍云，董 瑋

(解放軍電子工程學(xué)院，安徽 合肥 230037)

基于凸優(yōu)化基追蹤算法的線性調(diào)頻信號參數(shù)估計

夏 杰，周青松，張劍云，董 瑋

(解放軍電子工程學(xué)院，安徽 合肥 230037)

針對傳統(tǒng)寬帶線性調(diào)頻信號參數(shù)估計精度不高的問題，提出了基于凸優(yōu)化基追蹤算法的線性調(diào)頻信號參數(shù)估計方法。該方法利用Gabor原子良好時頻特性，以l1范數(shù)稀疏正則最小二乘模型為目標函數(shù)求解稀疏Gabor原子進行參數(shù)估計。仿真實驗證明，該方法具有原子的稀疏性好，對原信號重構(gòu)精度高和參數(shù)估計準確的特點。

凸優(yōu)化基追蹤；線性調(diào)頻信號；時頻分析；參數(shù)估計

0 引言

線性調(diào)頻信號在雷達、通信、制導(dǎo)等軍事領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用。對線性調(diào)頻信號的參數(shù)估計一直是電子偵察領(lǐng)域的重要問題。傳統(tǒng)的估計方法大都以最大似然估計[1]為基礎(chǔ)。最大似然估計方法精度高，然而搜索量極大，無法應(yīng)對現(xiàn)代寬帶信號。近年來，諸如分數(shù)階傅里葉變換(FrFT)[2-3]、壓縮感知[4-7]等方法被大量應(yīng)用。壓縮感知理論利用了信號的稀疏特性，其中貪婪算法(MP)[5]、正交匹配算法(OMP)[7-8]計算復(fù)雜度低，可是精度不高。分數(shù)階傅里葉變換可被理解為線調(diào)基的分解，在不同階數(shù)的u域上分離多分量的信號與噪聲，然而在不同階數(shù)上存在偏差需進行補償， 影響了估計精度。本文針對上述問題，提出了基于凸優(yōu)化基追蹤算法的線性調(diào)頻信號參數(shù)估計方法。

1 信號模型與凸優(yōu)化基追蹤算法理論

1.1 線性調(diào)頻信號模型

白噪聲下單分量線性調(diào)頻信號數(shù)學(xué)表達式為：

y(t)=Aexp(jπμ0t2+2jπf0t)+w(t)

(1)

其中，信號幅度為A，初始頻率為f0，調(diào)制斜率為μ0，噪聲w(t)為加性高斯白噪聲。若對信號均勻采樣n個點，采樣間隔為Δt。則觀測信號向量為：

y=[y(0),y(1),…,y(n-1)]T

y(i)=Aexp[jπ(μ0Δt2i2+2f0Δti)]+

w(Δt·i),i=0,1,2,…,n-1

(2)

1.2 過完備字典構(gòu)建

在信號的稀疏描述中，挑選適合的基函數(shù)構(gòu)建字典尤為重要。字典的選擇直接影響到描述系數(shù)的稀疏性以及重構(gòu)信號的精度。過完備字典指字典中的原子個數(shù)大于信號維數(shù)并包含信號中各向量張成的整個空間。在目前的字典中，過完備字典通過增加原子個數(shù)來增加系統(tǒng)冗余度，較之其他字典提高對觀測信號逼近的靈活性。

本文選擇Mallat和Zhang提出的過完備Gabor原子字典[5]，見圖1。由測不準原理得，有限能量任意信號，其時寬與帶寬存在以下關(guān)系：

(3)

當(dāng)不等式取等號時，信號為高斯函數(shù)e-πt2，具有最小時寬帶寬積。Gabor原子為一系列調(diào)制的高斯函數(shù)，具有最小的時寬帶寬積，因而具有最好的時頻聚集特性。其數(shù)學(xué)表達式為：

e-(t-τ)2/σ2cos(wt+φ)

(4)

每個Gabor原子通過參數(shù)γ=(τ,w,φ)來描述，其中σ為脈沖寬度，τ為脈沖時間中心，w為瞬時頻率，φ為相角。

圍繞目標信號形式構(gòu)建復(fù)信號基。首先，對Gabor函數(shù)高斯包絡(luò)e-(t-τ)2/σ2進行時域調(diào)制：基函數(shù)取相同的脈寬σ；中心時間τ按照觀測時間長度均勻取m個點得到時域基。然后，在時域基上對高斯包絡(luò)進行頻率調(diào)制得復(fù)信號基函數(shù)e-(t-τ)2/σ2exp(j2πf1tk)。k為頻率劃分點(kmin≤k≤kmax)，取整數(shù)；單位頻率間隔f1的選取保證信號的最高頻率fmax與最低頻率fmin在區(qū)間[f1·kmin,f1·kmax]內(nèi)。此處，m取501，k取30，φ取為0。對應(yīng)每個中心時間點，一共(30+1)個復(fù)頻點(其中一個為0頻)。

(a)字典矩陣A(共501×31個原子)

(b)中心時間為0時復(fù)頻點內(nèi)部排列圖1 本文構(gòu)建的Gabor過完備字典矩陣AFig.1 The proposed Gabor over-complete dictionary

1.3 l1范數(shù)稀疏正則最小二乘模型

凸優(yōu)化基追蹤算法將信號在過完備字典上進行展開，獲得稀疏的原子，利用這些原子完成對原始信號的重構(gòu)。鑒于此思想，將信號模型進一步構(gòu)建為基于混合l0范數(shù)的稀疏正則最小二乘模型：

minimize ‖Ax-y‖2+γ‖x‖0

(5)

其中，‖Ax-y‖2代表數(shù)據(jù)的擬合誤差， γ‖y‖0代表Gabor原子向量稀疏度的衡量， γ是加權(quán)因子，它實現(xiàn)對數(shù)據(jù)的擬合質(zhì)量和原子向量稀疏度的平衡與折中，從而兼顧兩者的性能。

但是式(5)中包含了l0范數(shù)的優(yōu)化問題，這是一個整數(shù)優(yōu)化的NP難問題，現(xiàn)有理論難以給出一個有效的求解方法。因此考慮將其松弛為一個可有效求解的凸優(yōu)化問題。由于l1范數(shù)是在所有 lp范數(shù)( ‖·‖p,p≥1)當(dāng)中最接近l0范數(shù)的凸范數(shù)，因此將上述模型進一步松弛為混合l1范數(shù)的稀疏正則最小二乘模型[4]：

minimize ‖Ax-y‖2+γ‖x‖1

(6)

因此如何求解該模型是本問題的難點所在。由于優(yōu)化模型中的目標函數(shù)是兩個不可微函數(shù)的混合，一般優(yōu)化方法難以求解。但是該問題是一個典型的凸優(yōu)化問題，所以將其轉(zhuǎn)化為二階錐規(guī)劃(SOCP, second-order cone programming)以便原對偶內(nèi)點算法對其進行有效求解，并且所獲得解一定為該優(yōu)化模型的全局最優(yōu)解。

1.4 l1范數(shù)稀疏正則最小二乘模型的求解

將標準的k維二階錐記為：

(7)

并且當(dāng)k=1時，定義一維二階錐為cone1={t|t∈R,0≤t}。

為了便于轉(zhuǎn)化，可將式(6)與下式等價：

minimize ξ subject to ‖Ax-y‖2≤σ

γ‖yk‖2≤?k，k=1,…,K

σ+?1+…+?K≤ξ

(8)

令A(yù)=Ar+jAi，x=xr+jxi，y=yr+jyi，v=[1,01×3K+1]T，w=[ξ,σ,?1,…,?K,xr1,…,xrK,xi1,…,xiK]T，vs=[0,…,1,0,…,0]T，v1=[0,1,01×3K]T，E′為K維的全1列向量，其中，v1，w，v和vs均為3K+2維的列向量，vs表示向量中第s個元素為1，其余元素均為0，s=1,…,K。則式(8)的目標函數(shù)可以表示為vTy，其余各個約束條件的轉(zhuǎn)化形式為：

‖Ax-y‖2≤σ ?

‖(Arxr-Aixi-yr)+j(Arxi+Aixr-yi)‖2≤σ ?

γ‖xk‖2≤?k?γ‖xr,k+jxi,k‖2≤?k?

σ+?1+…+?K≤ξ ?ξ-?1-…-?K-σ≥0?

至此可以構(gòu)造出式(6)的SOCP模型為：

minimize vTw

(9)

對于式(9)可以采用MatLab中的CVX工具箱進行求解。

2 凸優(yōu)化基追蹤算法參數(shù)估計原理與步驟

2.1 參數(shù)估計原理

根據(jù)測不準原理，Gabor原子在時頻域具有良好的聚集特性。若將信號分解為Gabor原子的線性組合，那么可以充分地揭示信號的脈內(nèi)特征。假設(shè)信號y經(jīng)稀疏分解為k個Gabor原子，這k個原子f(τi,wi,φi)|i=1,2,…,k包含了原信號的特征以及絕大部分的能量。對這k個原子進行時頻分析，進而可提取出其中的參數(shù)信息。

圖2為包含三個不同分量線調(diào)信號時頻圖(下方為時域圖，右側(cè)為頻域圖)，它由MP算法在Gabor字典上分解的原子經(jīng)Wigner變換相加得，參見文獻[5]。可見，屬于同一個線調(diào)信號的原子排列在同一條直線上，直線顯示了信號頻率隨時間的變化，直線的斜率即為該線調(diào)信號的調(diào)頻斜率。而直線兩端的兩個原子分別表示起止和終止頻率。故通過獲取Gabor原子的時頻位置，可求得信號的頻率信息。

圖2 三分量線調(diào)信號分解的Gabor原子時頻圖Fig.2 Gabor atom time-frequency picture of three LFMs

2.2 算法步驟

基于凸優(yōu)化基追蹤算法進行參數(shù)估計，最重要的環(huán)節(jié)是求解出稀疏向量x。后續(xù)對調(diào)頻斜率、起止頻率的估計以及信號的稀疏重構(gòu)都是圍繞稀疏向量x展開。

步驟1:求解稀疏向量x。利用CVX工具箱求解問題的SOCP形式。在此處理過程中，設(shè)置適當(dāng)門限，挑選稀疏向量x。

步驟3：調(diào)頻斜率估計。提取A2中包含的Gabor原子的參數(shù)(τi,wi)做時頻圖。觀察得，各原子所在點的排布呈一條直線狀。用最小二乘線性估計得直線的斜率即為調(diào)頻斜率。

步驟4：起止頻率估計。在時頻圖中，挑選出中心時間最大最小的點，對起始終止頻率進行估計。

3 仿真實驗

取信號幅度a0=1，初始頻率f0=0 MHz，脈沖寬度PW=100 μs，脈內(nèi)調(diào)制帶寬B=2.5 MHz，脈沖調(diào)制斜率μ0=2.5×1 010 Hz/s，采樣頻率fs=5 MHz。噪聲w(t)為加性高斯白噪聲。

實驗1 有效性分析

當(dāng)觀測樣本數(shù)N=501，信噪比20 dB時，任意取其中一次試驗，所得稀疏原子序號及對應(yīng)的Gabor原子信息分別如圖3與表1。

圖3 稀疏原子篩選Fig.3 Screening of sparse atoms

Gabor原子序號時間/μs頻率/kHzGabor原子序號時間/μs頻率/kHz1120255001250222832653413333248327566141746816728600150057016729632158369025030634158371002503166816678132333327021750913433333732183310166417347341833112005003576619171220250036800200013234583378342083142666673883620831526866739866216716300750408682167173328334190022501833483342930233319368917439322333204001000449762417214021000459782417224321083469862500234341083479882500244661167

從圖3看出，此時設(shè)置門限為0.05，直線即為門限。篩選出的47個原子幅度遠遠比其余原子大，具有代表性。所得原子序號求得對應(yīng)的Gabor原子，其信息如表1。

圖4 原信號實部重構(gòu)Fig.4 Estimation of LFM coefficient

圖5 線性調(diào)頻斜率估計Fig.5 Estimation of LFM coefficient

實驗2 參數(shù)估計性能分析

其他條件不變，信噪比從0 dB到24 dB間隔4 dB取值，蒙特卡洛仿真100次，調(diào)頻斜率估計情況如圖6。由圖6可知，針對調(diào)頻斜率的估計，與文獻[2]FrFT方法相比，在信噪比6 dB左右，兩者估計效果相當(dāng)，此時RMSE為7.4×107，相對誤差為0.296%。隨著信噪比不斷提高，本文方法曲線較FRFT方法下降更多，更貼近CRB，斜率估計精度更好。

圖6 調(diào)頻斜率估計Fig.6 Estimation of LFM coefficient

從圖5與圖7、圖8三幅圖中可知，隨著信噪比降低，挑選出的Gabor原子逐漸被噪聲所淹沒，數(shù)量不斷減少，對調(diào)頻斜率的估計影響相對較小，但對起始與終止頻率的估計造成了比較大的影響。在信噪比小于0 dB時，Gabor原子幾乎全部被噪聲淹沒，使得斜率無法估計。除了信噪比對起止頻率估計影響外，當(dāng)頻率劃分點k較大時，估計效果較好，然而大大增加了字典A的大小與計算復(fù)雜度。故該方法對起止頻率的估計僅限于理論分析與信噪比較大時的估計。

圖7 信噪比10 dB時瞬時頻率圖Fig.7 Instantaneous frequency while SNR=10 dB

圖8 信噪比-1 dB時瞬時頻率圖Fig.8 Instantaneous frequency while SNR=-1 dB

4 結(jié)論

本文提出基于凸優(yōu)化基追蹤算法的線性調(diào)頻信號參數(shù)估計方法。該方法利用Gabor字典良好的時頻特性，以l1范數(shù)稀疏正則最小二乘模型為目標函數(shù)求解稀疏Gabor原子，并推導(dǎo)了問題的SOCP形式。最后通過提取的Gabor原子中所含信息對信號進行參數(shù)估計。仿真分析表明：原始信號在過完備Gabor字典上展開，求解原子的稀疏性好，對原信號重構(gòu)精度高；在較高信噪比環(huán)境下，該方法對斜率與初始、終止頻率等參數(shù)估計效果較好，是一種有效的參數(shù)估計方法。

[1]張容權(quán)， 杜雨洺， 楊建宇， 等. 一種LFM信號最大似然估計模型與參數(shù)估計快速算法[J]. 電波科學(xué)學(xué)報，2005，20(5):651-655

[2]袁振濤，胡衛(wèi)東，郁文賢,等. 用FrFT插值實現(xiàn)LFM信號的參數(shù)估計[J]. 信號處理，2009，25(11):1727-1731.

[3]齊林， 陶然. 基于分數(shù)階Fourier變換的多分量LFM信號的檢測和參數(shù)估計[J]. 中國科學(xué)E輯:技術(shù)科學(xué)，2003，33(8):749-759.

[4]Stephen Boyd, Lieven Vandenberghe. Convex Optimization[M]. New York: Cambridge University Press, 2013.

[5]Mallat S G, Zhang Z F. Matching pursuit with time-frequency dictionaries[J]. IEEE Trans. on Signal Processing, 1993, 41 (12) :3397- 3415.

[6]閆浩，董春曦，趙國慶,等. 基于壓縮感知的線性調(diào)頻信號參數(shù)估計[J]. 電波科學(xué)學(xué)報, 2015，30(3):449-454.

[7]Tropp J A, Gilbert A C. Signal recovery from random measurements via orthogonal matching pursuit[J]. Ieee Transactions on Information Theory, 2007, 53: 4655-4666.

[8]王康, 葉偉, 勞國超, 等. 一種基于壓縮感知的寬帶SAR信號偵察方法[J]. 理論與方法, 2014, 33(4):40-43.

LFM Signal Parameter Estimation Based on Convex Optimization Basis Pursuit

XIA Jie, ZHOU Qingsong, ZHANG Jianyun, DONG Wei

(Electronic Engineering Institute of PLA, Hefei 230037, China)

In order to improve traditional parameter estimation accuracy of wideband LFM signal, a method of parameter estimation of LFM signal based on Convex optimization basis pursuit was presented. The method utilized good time-frequency characteristics of Gabor atoms and usedl1norm Sparse regular least squares model to solve and estimate parameter. Simulation results showed that the proposed method had sparse nature of atoms, high precise reconstruction and good parameter estimation.

convex optimization basis pursuit; linear frequency modulation signal; time-frequency analysis; parameter estimation

2016-07-01

國家自然科學(xué)基金項目資助(11375263)

夏杰(1991-)，男，浙江寧波人，碩士研究生，研究方向：寬帶雷達信號偵察與干擾。E-mail：jojo565294464@sina.com。

TN911

A

1008-1194(2016)06-0084-05