基于延時相關的稀疏恢復高分辨來波方位估計

謝前朋，王倫文

(解放軍電子工程學院，安徽 合肥 230037)

基于延時相關的稀疏恢復高分辨來波方位估計

謝前朋，王倫文

(解放軍電子工程學院，安徽 合肥 230037)

針對MUSIC算法和基于四階累積量的MUSIC-like算法在高斯色噪聲背景下測向精度不理想的問題，提出基于延時相關的稀疏恢復高分辨來波方位估計算法。該算法利用蘊含在接收數(shù)據(jù)延時相關函數(shù)中的角度信息，采用所有陣元接收數(shù)據(jù)的延時相關函數(shù)構造新的陣列輸出矩陣，進而構造新的協(xié)方差矩陣，并進行奇異值分解，建立稀疏表示模型，使用l1范數(shù)法對稀疏模型進行求解實現(xiàn)色噪聲環(huán)境下高分辨DOA估計。仿真實驗表明，基于延時相關的稀疏表示模型的測向分辨率好于基于傳統(tǒng)子空間的MUSIC算法和基于四階累積量的MUSIC-like算法，能降低協(xié)方差構造的復雜度，增強色噪聲抑制能力。

來波方位估計；稀疏重構；延時相關函數(shù)

0 引言

波達方向(Direction of Arrival, DOA)估計是陣列信號處理的熱點問題，在雷達、無線通信等軍用和民用領域都得到了廣泛的應用。然而，現(xiàn)代日益復雜的電磁環(huán)境對DOA高效估計提出了挑戰(zhàn)。高斯白噪聲背景下對DOA估計的影響的研究已經(jīng)比較成熟，但高斯色噪聲背景下對DOA估計精度的研究相對較少，本文主要研究色噪聲背景下的來波方位估計問題。

近年來，針對色噪聲背景下的DOA估計，人們也開展了一些研究。文獻[1]利用最小化干擾約束投影自適應濾波方法，對不同噪聲環(huán)境下的接收數(shù)據(jù)進行濾波處理，可以實現(xiàn)干擾的抑制和目標信號的精確恢復。文獻[2]利用互耦誤差自校正和聯(lián)合DOA估計的方法，有效地實現(xiàn)了色噪聲背景下多用戶DOA估計，其不足在于對信源最大多徑時延和信號經(jīng)過陣列的時延有限制。文獻[3]利用協(xié)方差歸一化差值算法，提高了色噪聲環(huán)境下的DOA估計的精度。文獻[4]利用空間差分技術來解決寬帶相干信號的DOA估計中的色噪聲問題。其不足在于強干擾信號的方位信息通常無法獲得。由于高斯噪聲的四階累積量為零，因此四階累積量得到了廣泛的應用。文獻[5-8]利用四階累積量研究了色噪聲背景下單雙基地MIMO雷達的目標角度估計，但是四階累積量協(xié)方差矩陣的構造比較復雜，由于引入了虛擬陣元計算量較大。以上對色噪聲環(huán)境下的DOA估計是基于空間譜估計中的子空間理論進行處理的。近年來出現(xiàn)的稀疏表示方法[9-10]使得DOA的估計問題有了新的求解方法。文獻[11]把貪婪算法應用于DOA估計中，但貪婪算法在低信噪比條件下的適應性較差，且當原子間相關性較強時，算法性能也會下降。文獻[12]把聯(lián)合稀疏恢復應用于循環(huán)平穩(wěn)信號的DOA估計中，聯(lián)合稀疏的不足在于其性能受到過多的超參數(shù)的限制，且穩(wěn)定性較差。文獻[13-14]提出協(xié)方差矩陣稀疏表示的DOA估計方法，克服了在快拍數(shù)較小時小特征值的不穩(wěn)定性，取得了較好的效果。通過分析可以看出，基于壓縮感知稀疏恢復的算法在DOA估計中應用的越來越廣。但以上稀疏恢復算法在高斯色噪聲背景下會產生較大的誤差。本文針對此問題，提出了基于延時相關[15]的稀疏恢復高分辨來波方位估計算法。

1 陣元間延時相關函數(shù)模型

設空間有P個入射信號，由M元均勻線陣構成接收陣列，第一個陣元是參考點，位于原點，陣元間距d為入射信號的半波長，其陣列導向矢量可以表示為：

(1)

式(1)中，θi為第i(i=1,2,…,P)個信號的入射角度，λ為入射信號的波長。

第m個陣元接收的數(shù)據(jù)為：

xm(t)=AmS(t)+nm(t)

(2)

式(2)中，Am=[am(θ1),am(θ2),…,am(θP)]為陣列導向矢量，S(t)=[s1(t),s2(t),…,sP(t)]T為P×1的信號矢量，nm(t)為第m個陣元的高斯噪聲。

構造任意2個陣元(第m和第n個陣元，m,n=1,2,…,M)接收數(shù)據(jù)的延時相關函數(shù)為：

yxm,xn(τ)=E[xm(t)xn*(t-τ)]=

(3)

當存在一定的時延τ時，這里可以令時延τ遠小于入射信號帶寬的倒數(shù)，在時間τ內入射信號包絡的變化可以忽略。

下面在噪聲背景分別為白噪聲背景和色噪聲背景下分析Rnmnn(τ)的取值。

在白噪聲背景下，由于噪聲是加性高斯白噪聲，在時間上可以認為噪聲是不相關的，此時信號和噪聲存在一個可分離特性，于是有：

σ2δ(τ)δ(m-n)=0

(4)

則式(3)可以寫為：

Cm,nRS(τ)

(5)

式(5)中，Cm,n=[exp{-j(μm1-μn1)},…,exp{-j(μmP-μnP)}],RS(τ)=[RS1(τ),RS2(τ),…,RSP(τ)]T?？梢詫m,n寫成2個矩陣相乘的形式，即：

Cm,n=AmBn

(6)

式(6)中，Bn=diag(exp(jμn1),exp(jμn2),…,exp(jμnP))為對角陣，Am為陣列流型矩陣A的第m行，且Am=[exp(-jμm1),exp(-jμm2),…,exp(-jμmP)]。

由此可得陣元間的延時相關函數(shù)為：

[Y1(τ),Y2(τ),…,YM(τ)]

(7)

式(7)中，Yk(τ)為Y(τ)的第k列(k=1,2,…,M)數(shù)據(jù)，結合式(6)可得：

Yk(τ)=ABkRS(τ)

(8)

由延時相關函數(shù)構造新的協(xié)方差矩陣為：

ARSS′(τ)AH

(9)

(10)

用rs表示矩陣RY的第一列，則上述準則可轉化為凸優(yōu)化問題[10]:

(11)

2 基于延時相關的稀疏恢復高分辨來波方位估計算法

本文基于構建的延時相關函數(shù)，對其進行奇異值分解，然后構建稀疏表示模型，利用l1-SVD算法對稀疏恢復模型進行求解。經(jīng)過延時相關處理得到的協(xié)方差矩陣充分利用了所有陣元的延時相關信息，增加了協(xié)方差矩陣的信息量，可以有效提高陣列的分辨率和測角精度。從式(9)可以看出，經(jīng)過延時相關處理得到的協(xié)方差矩陣保留了原協(xié)方差矩陣的流型矩陣，改變了信號的協(xié)方差矩陣，這對信號子空間和噪聲子空間的構成沒有影響。而基于l1-SVD的稀疏恢復算法，正是利用噪聲子空間和信號子空間的正交性來實現(xiàn)降低運算的復雜度以及實現(xiàn)對來波方位的估計。利用本文所提算法的處理過程如下：

首先，對RY進行奇異值分解，得到:

RY=ULVH=[USUN]LVH

(12)

式(12)中，矩陣V是一個正交矩陣，矩陣L中奇異值按照重要性排列,即從大到小排列，而且其值減小的特別快。US為由P個大奇異值組成的信號子空間矩陣，UN由M-P個小特征值對應的左奇異值對應的左奇異向量組成的噪聲子空間矩陣。在很多情況下，前P個奇異值的和就占了所有奇異值的和的99%以上，因此降維的過程就是舍棄代表噪聲子空間的左奇異向量的過程，而剩下的向量為降維后的信號子空間。

然后，對RY右乘L中P個大奇異值所對應的特征向量，即V的前P列，得到信號子空間US：

US=ULDP

(13)

式(13)中，DP=[IP0]T,IP為P×P單位陣, 0為P×(M-P)的零矩陣。此時利用l1-SVD方法來估計信號的來波方位：

(14)

對于本文所提的算法，有以下幾點說明：

1)本文所采用的均勻線陣，波束控制相對容易。但缺點在于波束掃描范圍有限，最多不超過120°，這是因為掃描波束偏離陣列法線較遠時，由于天線單元方向圖調制，天線增益下降非常多。同時陣列的孔徑也在下降，導致波束展寬，陣列角分辨率下降。

2)本文僅考慮在理想的情況下對來波方位的估計，陣元間的互耦、陣元位置誤差以及陣元通道不一致性都沒有考慮。這些因素會導致模型的變化。

3)由于使用l1-SVD方法在低快拍數(shù)條件下容易出現(xiàn)偽峰問題，本文利用l1范數(shù)對延時相關模型進行求解時，在實驗中所采用的的快拍數(shù)均較高。

3 實驗及性能分析

實驗1設三個窄帶信號從-15°，-22°和10° 方向上入射到10元均勻線陣上，陣元間距為半波長。延時相關的τ取10個快拍數(shù)。過完備原子基矩陣中的角度變化范圍為-90°～90°，相鄰原子的角度間隔為1°?？炫臄?shù)為500，噪聲為高斯白噪聲，在 SNR=5 dB時，本文算法與四階累積量算法以及MUSIC算法的空間譜估計如圖1所示。

圖1 白噪聲下的空間譜Fig.1 Spatial spectrum in Gaussian white noise

從圖1中可以看出，本文算法的性能優(yōu)于基于四階累積量的算法以及MUSIC算法。相對于其他兩種算法，本文算法具有較尖銳的譜峰。在-15°、-22°和10°的方向上能精確地恢復出信號的來波方位。下面比較在不同信噪比下，本文算法與四階累積量算法以及MUSIC算法對窄帶非相干信號的估計的均方根誤差。實驗中，信噪比變化范圍為-8～8 dB。相鄰信噪比相差2 dB，每個信噪比條件下進行100次蒙特卡羅實驗，其他實驗條件不變。定義角度估計均方根誤差

如圖2所示，本文算法在較低信噪比下，比如當SNR=-8 dB時，本文算法的均方根誤差為2.35°，而MUSIC算法和四階累積量算法分別為4.55°和3.2°。原因是在低信噪比時，通過有限次快拍數(shù)計算得到的四階累積量對高斯白噪聲的抑制作用不明顯，而MUSIC算法則對噪聲沒有抑制能力。本文算法則充分利用了所有陣元接收數(shù)據(jù)的延時相關函數(shù)的信息，對信息的利用更加充分，同時對噪聲的抑制更加明顯。

圖2 不同信噪比下非相干信號DOA估計的RMSEFig.2 RMSE of DOA estimation versus SNR for incoherent signal contaminated by gaussian white noise

實驗2比較三種算法在不同的快拍數(shù)下的均方誤差。實驗中，信源數(shù)和陣元數(shù)條件與實驗1相同，其他實驗條件不變。白噪聲條件下信噪比取-6 dB?？炫臄?shù)從100到1 000，每次的增量為100快拍，每個快拍數(shù)下進行100次蒙特卡洛實驗。得到的RMSE隨快拍數(shù)的變化曲線如圖3。

圖3 不同快拍數(shù)下DOA估計的RMSEFig.3 RMSE of DOA estimation versus snapshots

從圖2、圖3可以看出三種算法的均方誤差均隨著信噪比的增加和快拍數(shù)的增多而減小，在高斯白噪聲背景下，增大快拍數(shù)和提高信噪比可以加強對高斯白噪聲的抑制作用，提高角度估計的精度。在三種算法中，本文算法的性能較好，具有較高的估計精度。下面通過實驗來驗證高斯色噪聲下本文算法的性能，由于MUSIC算法不適用于高斯色噪聲背景下，因此不對MUSIC算法進行仿真驗證。只考慮四階累積量算法和本文算法的性能。

實驗3比較在高斯色噪聲背景下，本文算法與四階累積量的來波方位估計性能。實驗中高斯色噪聲為高斯白噪聲通過傳遞函數(shù)為H(z)=1+2z-1+z-2+z-3的輸出。三個窄帶信號分別從-15°、-22°和10°的方向上入射到10元均勻線陣上，陣元間距為半波長。過完備原子基矩陣中的角度變化范圍為-90°～90°，相鄰原子的角度間隔為1°。快拍數(shù)為500，高斯色噪聲下，信噪比取4 dB。

從圖4中可以看出，本文算法能較精確地恢復出三個信號的來波方位，且具有較大的譜峰。而基于四階累積量的MUSIC-like算法雖然也能恢復出來信號的來波方位，但是其具有較低的譜峰且存在一定的誤差。在-22°和-15°的方向上，基于四階累積量的算法測出的角度分別為-22.6°和-15.3°，與真實的來波方位分別存在0.6°和0.3°的誤差。從以上空間譜測向誤差說明基于壓縮感知稀疏恢復理論的來波方位的估計算法相對于傳統(tǒng)經(jīng)典的算法具有更高的角度分辨率和更高的估計精度。下面比較在高斯色噪聲背景下，本文算法和基于四階累積量的MUSIC-like算法的角度分辨率。

圖4 色噪聲下的空間譜Fig.4 Spatial spectrum in gaussian color noise

圖5 不同角度間隔下成功分辨信源的概率Fig.5 Probability of successful resolution versus angle interval

從圖5中可以看出，在高斯色噪聲背景下，本文算法在不同角度間隔下對信源的成功分辨概率高于四階累積量的方法。本文算法在角度間隔Δθ≥2°時，能夠實現(xiàn)100%的成功分辨。而基于四階累積量的算法在 Δθ≥4°時，才能達到接近100%的成功分辨率。說明基于延時相關的算法角度分辨精度較高。在對來波方位估計時能達到更好的估計精度。

4 結論

本文提出了基于延時相關的稀疏恢復高分辨來波方位估計算法。該算法利用陣列輸出數(shù)據(jù)的延時相關函數(shù)構建了稀疏表示模型，在高斯白噪聲以及色噪聲背景下，該模型均能夠抑制噪聲，并且利用凸優(yōu)化方法對稀疏表示模型進行了求解。分別在高斯白噪聲和色噪聲背景下考察了信噪比、快拍數(shù)以及角度間隔對測向系統(tǒng)中分辨率的影響。仿真分析表明，基于延時相關的稀疏表示模型的測向分辨率好于基于傳統(tǒng)子空間的MUSIC算法和基于四階累積量的MUSIC-like算法。本文算法的局限性在于對高斯色噪聲進行處理時要求噪聲的相關性遠小于信號的相關性以及使用稀疏恢復算法時正則化參數(shù)的選取對實驗結果的影響還有待于進一步研究。

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High Resolution DOA Estimation Based on Sparse Reconstruction of Delay Correlation Function

XIE Qianpeng, WANG Lunwen

(Electronic Engineering Institute of PLA, Hefei 230037,China)

In order to solve theproblem of angular precision of DOA estimation of MUSIC algorithm and MUSIC-like algorithm in the background of Gaussian color noise, an approach for high resolution DOA estimation based on sparse reconstruction of the delay correlation function of the received data preprocessing was proposed. The proposed algorithm made full use of the information of the direction of arrival contained in the delay correlation function and used the delay correlation function of all the received data to construct a new array matrix, then through the singular value decomposition to construct the sparse representation model and usingl1norm algorithm to realize high resolution DOA estimation in the background of Gaussian color noise. The proposed algorithm had lower covariance computational complexity and good ability to restrain Gaussian color noise. Experimental results showed that the resolution DOA estimation of sparse representation model based on time delay correlation function had a better performance than MUSIC algorithm based on the traditional subspace and MUSIC-like algorithm based on fourth-order cumulant.

direction of arrival estimation; sparse reconstruction; delay correlation function

2016-05-27

國家自然科學基金項目資助(61273302)

謝前朋(1991—)，男，河南鄲城人，碩士研究生，研究方向：智能信號處理。E-mail：13721038905@163.com。

TN911.23

A

1008-1194(2016)06-0074-06