高沖擊下微懸臂梁動(dòng)態(tài)響應(yīng)特性

尹立威，聶偉榮，席占穩(wěn)，周織建

(南京理工大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，江蘇 南京 210094)

高沖擊下微懸臂梁動(dòng)態(tài)響應(yīng)特性

尹立威，聶偉榮，席占穩(wěn)，周織建

(南京理工大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，江蘇 南京 210094)

針對(duì)高沖擊下微構(gòu)件動(dòng)態(tài)響應(yīng)特性的經(jīng)典理論值與實(shí)驗(yàn)結(jié)果存在較大誤差的問題，提出了高沖擊下微懸臂梁尺寸效應(yīng)模型并分析了其動(dòng)態(tài)響應(yīng)特性。該方法可描述微懸臂梁的彎曲特性、固有特性、動(dòng)態(tài)響應(yīng)特性的尺寸效應(yīng)現(xiàn)象。實(shí)例分析表明，當(dāng)微懸臂梁特征尺寸和內(nèi)稟特征尺寸處于同一量級(jí)時(shí)，高沖擊下微懸臂梁的彎曲撓度、固有頻率、動(dòng)態(tài)位移響應(yīng)均表現(xiàn)出明顯的尺寸效應(yīng)現(xiàn)象，合理地解釋了實(shí)驗(yàn)結(jié)果與經(jīng)典理論值存在誤差較大的問題。

高沖擊；微懸臂梁；動(dòng)態(tài)響應(yīng)；尺寸效應(yīng)；應(yīng)變梯度理論

0 引言

微機(jī)電系統(tǒng)(Micro-Electro-Mechanical Systems，MEMS)器件憑借其微型化、集成化、智能化、低成本、高性能、可批量生產(chǎn)等優(yōu)點(diǎn)在儀器測量、汽車電子、航空航天、國防事業(yè)、生物醫(yī)學(xué)和環(huán)保等人們所接觸到的幾乎所有領(lǐng)域都有著巨大的應(yīng)用前景[1-2]。這些MEMS器件中的微構(gòu)件根據(jù)形狀尺寸和受力特點(diǎn)，可以簡化為微梁、微板等力學(xué)模型。當(dāng)MEMS器件的幾何尺寸在微米甚至納米量級(jí)時(shí)，微結(jié)構(gòu)的力學(xué)及其他性能將與宏觀尺寸下的性能有著很大的差別，表現(xiàn)出微觀效應(yīng)[3]。MEMS器件尺寸的微型化將呈現(xiàn)出力學(xué)性能的尺寸效應(yīng)，但經(jīng)典的彈塑性理論的本構(gòu)關(guān)系中不包含任何與材料尺寸相關(guān)的參數(shù)，無法預(yù)測微結(jié)構(gòu)的尺寸效應(yīng)現(xiàn)象。Mindlin等人提出的應(yīng)變梯度理論[4-5]，通過應(yīng)變能密度函數(shù)在傳統(tǒng)的本構(gòu)關(guān)系中引入材料的內(nèi)稟特征尺寸參數(shù)來考慮應(yīng)變梯度的影響，為解釋和描述MEMS器件的尺寸效應(yīng)現(xiàn)象提供了較為精確的理論依據(jù)。多年以來，應(yīng)變梯度理論經(jīng)過了不斷地完善，根據(jù)位移二階梯度分量的不同，分為全應(yīng)變梯度理論和偶應(yīng)力理論。Lam[6]等人基于Mindlin的應(yīng)變梯度理論提出了一種全應(yīng)變梯度彈性理論。在該理論體系中，除了傳統(tǒng)的力和力矩平衡的平衡條件以外，還引入了一個(gè)約束高階應(yīng)力的約束條件。在本構(gòu)方程中，除了傳統(tǒng)的彈性模量E和泊松比υ兩個(gè)常數(shù)以外，還引入了3個(gè)相互獨(dú)立的材料內(nèi)稟特征尺寸參數(shù)：l1、l2和l3，分別對(duì)應(yīng)微構(gòu)件的膨脹梯度張量、拉伸梯度張量的偏張量和旋轉(zhuǎn)梯度張量的對(duì)稱張量。當(dāng)l1=l2=0時(shí)，全應(yīng)變梯度彈性理論就退化為偶應(yīng)力理論，當(dāng)l1=l2=l3=0時(shí)，該理論就退化為經(jīng)典的彈性理論。

文獻(xiàn)[7]應(yīng)用偶應(yīng)力理論和全應(yīng)變梯度理論分析了伯努力-歐拉梁動(dòng)態(tài)固有頻率的尺寸效應(yīng)。文獻(xiàn)[8]基于全應(yīng)變梯度理論分析了鐵木辛柯梁靜動(dòng)態(tài)特性的尺寸效應(yīng)。文獻(xiàn)[9-10]則將C1自然單元法應(yīng)用于應(yīng)變梯度理論，構(gòu)建了應(yīng)變梯度理論C1自然單元法，采用數(shù)值方法分析了雙材料邊界層效應(yīng)問題。目前，國內(nèi)外對(duì)微構(gòu)件尺寸效應(yīng)的研究，主要是受集中載荷和均布載荷條件下的靜態(tài)尺寸效應(yīng)現(xiàn)象。本文以引信用MEMS慣性開關(guān)微結(jié)構(gòu)中常見的微懸臂梁為研究對(duì)象，針對(duì)高沖擊下微構(gòu)件動(dòng)態(tài)響應(yīng)特性的經(jīng)典理論計(jì)算值與實(shí)驗(yàn)結(jié)果誤差較大的問題[6]，基于全應(yīng)變梯度彈性理論提出了高沖擊下微懸臂梁尺寸效應(yīng)模型并分析了其動(dòng)態(tài)響應(yīng)特性。

1 全應(yīng)變梯度彈性理論

對(duì)于各向同性線彈性變形材料的微梁，總應(yīng)變能U可以表示為：

(1)

(2)

γi=εmm,i

(3)

δki(εmm,j+2εmi,m)]

(4)

(5)

式中，ui,j和uj,i為結(jié)構(gòu)的位移矢量；eijk為置換張量。

根據(jù)功的共軛原理，與上述應(yīng)變分量對(duì)應(yīng)的應(yīng)力分量分別為：

(6)

(7)

(8)

(9)

式中， G為剪切模量，彈性模量E、泊松比υ和剪切模量G三者的關(guān)系為:

(10)

2 微懸臂梁尺寸效應(yīng)模型

以圖1微梁為研究對(duì)象，建立笛卡爾局部坐標(biāo)系，原點(diǎn)o位于最左端，xz平面為微梁的縱向?qū)ΨQ面，xy平面經(jīng)過微梁的中性層，yz平面平行于梁橫截面。微梁橫向受均布載荷q(t) ，t是時(shí)間變量，總長度為L，寬度為B，厚度為H。

圖1 微梁示意圖Fig.1 Schematic diagram of micro beam

在實(shí)際工程應(yīng)用中，有些短而厚的梁必須考慮其截面內(nèi)的剪切變形，為了計(jì)算的準(zhǔn)確性，采用鐵木辛柯梁模型來描述，其位移場表示為：

(11)

u2(x,y,z,t)=0

(12)

u3(x,y,z,t)=w(x,t)

(13)

根據(jù)哈密爾頓變分原理，可以推導(dǎo)出伯努力-歐拉梁的控制方程：

(14)

對(duì)于微梁的彎曲振動(dòng)，基本的邊界條件有以下三種：

1)固定端

該處撓度和轉(zhuǎn)角都為零，即

(15)

2)簡支端

該處撓度與彎矩都為零，即

(16)

3)自由端

自由端的彎矩與剪力都為零，即

(17)

將微梁最左端固定則得到微懸臂梁模型，如圖2所示。

圖2 微懸臂梁示意圖Fig.2 Schematic diagram of micro cantilever beam

所有沖擊均布載荷可表示為：

q(t)=ρAa(t)

(18)

式中，a(t)為輸入沖擊加速度載荷，單位為g(g=9.8 m/s2，為重力加速度)。

當(dāng)a(t)表示階躍載荷時(shí)可表示為：

(19)

此時(shí)，根據(jù)式(14)可知，與時(shí)間有關(guān)的項(xiàng)將被忽略，基于全應(yīng)變梯度彈性理論微懸臂梁動(dòng)力學(xué)模型為：

(20)

上述方程的通解為：

(21)

式中，Ci(i=1,2,…,6)由邊界條件式(15)和式(17)求出：

(22)

通過該尺寸效應(yīng)模型，不僅可以描述高沖擊下微懸臂梁長L上的彎曲撓度、固有頻率、位移響應(yīng)的尺寸效應(yīng)現(xiàn)象，還可以描述微構(gòu)件材料彈性模型的尺寸效應(yīng)現(xiàn)象。

當(dāng)l1=l2=0時(shí)，全應(yīng)變梯度彈性理論就退化為偶應(yīng)力理論，當(dāng)l1=l2=l3=0時(shí)，該理論就退化為經(jīng)典的彈性理論。由此可以對(duì)比分析三種理論下微懸臂梁動(dòng)態(tài)響應(yīng)特性，直觀地描述了高沖擊微構(gòu)件動(dòng)態(tài)響應(yīng)特性與宏觀尺寸下的區(qū)別。

3 微懸臂梁動(dòng)態(tài)特性實(shí)例分析

3.1 微懸臂梁彎曲特性

結(jié)合Matlab軟件對(duì)微懸臂梁彎曲振動(dòng)特性進(jìn)行實(shí)例分析。以文獻(xiàn)[11]中采用UV-LIGA工藝加工的電鑄鎳MEMS慣性開關(guān)結(jié)構(gòu)尺寸為參考依據(jù)，易知塊體鎳E=207 GPa，υ=0.312，ρ=8 900 kg/m3， 以ai0=15 000 g為典型階躍載荷進(jìn)行分析。Stolken等人[12]通過實(shí)驗(yàn)已經(jīng)測出鎳的內(nèi)稟特征尺寸參數(shù)l=5～5.5 μm，為便于分析比較，假定l1=l2=l3=5 μm。根據(jù)表1中的數(shù)據(jù)對(duì)微懸臂梁進(jìn)行數(shù)值模擬，用B對(duì)L進(jìn)行無量綱化處理，得到微懸臂梁無量綱長度-撓度曲線，如圖3所示。

表1 四組MEMS微懸臂梁的幾何尺寸Tab.1 Four groups of MEMS geometry size of micro cantilever

圖3 微懸臂梁歸一化撓度曲線Fig.3 Normalized deflection curve of micro cantilever beam

從圖3可以看出，當(dāng)微懸臂梁的寬度B和內(nèi)稟特征尺寸參數(shù)l相等時(shí)，基于全應(yīng)變梯度彈性理論的微懸臂梁在自由端L處的彎曲撓度減小為傳統(tǒng)理論的1/17倍左右，而基于偶應(yīng)力理論微懸臂梁自由端L處的彎曲撓度減小為傳統(tǒng)理論的1/10倍左右，均表現(xiàn)出明顯的尺寸效應(yīng)現(xiàn)象。基于全應(yīng)變梯度彈性理論的彎曲撓度是基于偶應(yīng)力理論的彎曲撓度值的10/17，這是由于在慣性環(huán)境下全應(yīng)變梯度彈性理論在偶應(yīng)力理論的基礎(chǔ)上還考慮了拉伸梯度張量的偏斜部分和膨脹梯度張量的影響，微懸臂梁的剛度表現(xiàn)出更強(qiáng)烈的尺寸效應(yīng)現(xiàn)象，導(dǎo)致彎曲撓度急劇減小。

當(dāng)B遠(yuǎn)大于l時(shí)，基于全應(yīng)變梯度彈性理論和偶應(yīng)力理論下的彎曲撓度與傳統(tǒng)理論下得到的彎曲撓度值一致。

3.2 微懸臂梁的固有特性

基于全應(yīng)變梯度彈性理論微懸臂梁無阻尼自由運(yùn)動(dòng)的控制方程為：

(23)

采用分離變量法，假設(shè)

w(x,t)=Φ(x)T(t)=Φ(x)sin(ωnt+φ)

(24)

式中，Φ(x)為振型函數(shù)，T(t)為時(shí)間函數(shù)且T(t)=sin(ωnt+φ)。

將式(24)代入式(23)化簡得

(25)

(26)

根據(jù)邊界條件式(15)和式(17)解方程(25)得到基于偶應(yīng)力理論微懸臂梁的頻率方程[13]為:

cos(θL)ch(θL)=-1

(27)

即微懸臂梁彎振動(dòng)的特征根方程。它的前4階特征根由數(shù)值方法求解，值如表2所示。

表2 微懸臂梁特征根Tab.2 Micro cantilever beam characteristic root

表2中，n為整數(shù)，當(dāng)n≥4時(shí)，各根可以準(zhǔn)確地表示為:

(28)

微懸臂梁的振型函數(shù)可表示為:

Φ(x)=ch(θx)-cos(θx)+r[sh(θx)-sin(θx)]

(29)

矩形截面微懸臂梁的無量綱固有圓頻率為:

(30)

根據(jù)式(30)得到圖4，從圖中可以看出，隨著微懸臂梁特征尺寸逐漸減小到B=l時(shí)，基于全應(yīng)變梯度彈性理論得到的微懸臂梁的固有圓頻率是傳統(tǒng)理論的4.14倍，基于偶應(yīng)力理論得到的微懸臂梁的固有圓頻率是傳統(tǒng)理論的2.36倍，均表現(xiàn)出強(qiáng)烈的尺寸效應(yīng)，當(dāng)尺寸較大時(shí)，三種理論計(jì)算結(jié)果一致，尺寸效應(yīng)現(xiàn)象逐漸消失。

圖4 微懸臂梁無量綱固有圓頻率尺寸效應(yīng)Fig.4 Size effect on the natural frequencies of micro cantilever beam

由式(26)可得材料彈性模量計(jì)算式為:

(31)

由式(31)得到圖5，從圖中可以看出，隨著微懸臂梁特征尺寸逐漸減小到B=l時(shí)，基于全應(yīng)變梯度彈性理論得到的鎳材料的彈性模量是塊體鎳的6.43%，基于偶應(yīng)力理論得到的鎳材料的彈性模量是塊體鎳的17.9%，均表現(xiàn)出強(qiáng)烈的尺寸效應(yīng)，當(dāng)尺寸較大時(shí)，兩種理論計(jì)算結(jié)果與塊體鎳的值大致一致，尺寸效應(yīng)現(xiàn)象逐漸消失，這個(gè)結(jié)果也可以對(duì)毛勝平等人[14]實(shí)驗(yàn)測量電鑄鎳材料的彈性模量值給出了比較合理的理論解釋，其中測量結(jié)果如表3所示。

圖5 尺寸效應(yīng)對(duì)材料彈性模量的影響Fig.5 The influence of size effect on the material elastic modulus

長/μm寬/μm厚/μm彈性模量/GPa抗拉強(qiáng)度/MPa2100030002501237544700020030849161281005059331810

3.3 微懸臂梁動(dòng)態(tài)響應(yīng)特性

通過對(duì)引信環(huán)境的分析，MEMS慣性開關(guān)結(jié)構(gòu)通常受到高幅值小脈寬和低幅值大脈寬兩種沖擊載荷。根據(jù)實(shí)驗(yàn)?zāi)M出沖擊載荷為常見的半正弦脈沖擾動(dòng)，通常表示為:

(32)

以受到的最大勤務(wù)跌落慣性載荷(峰值a(ti1)=15 000 g，脈寬ti1=0.3 ms)、最小的正常發(fā)射慣性載荷(峰值a(ti2)=3 000 g，脈寬ti2=3 ms)作為典型沖擊載荷，采用表1中的第1組數(shù)據(jù)進(jìn)行數(shù)值計(jì)算。基于全應(yīng)變梯度彈性理論，端點(diǎn)L處微懸臂梁在兩種沖擊載荷下的位移響應(yīng)為:

(33)

根據(jù)上述分析計(jì)算得到三種理論模型下微懸臂梁的動(dòng)態(tài)位移響應(yīng)如圖6所示。

由圖6(a)知，基于全應(yīng)變梯度彈性理論得到的微懸臂梁的最大位移響應(yīng)是傳統(tǒng)理論的5.63%，基于偶應(yīng)力理論得到的微懸臂梁的最大位移響應(yīng)是傳統(tǒng)理論的30.35%，均表現(xiàn)出強(qiáng)烈的尺寸效應(yīng)。由圖6(b)知，基于全應(yīng)變梯度彈性理論得到的微懸臂梁的最大位移響應(yīng)是傳統(tǒng)理論的5.83%，基于偶應(yīng)力理論得到的微懸臂梁的最大位移響應(yīng)是傳統(tǒng)理論的17.72%，均表現(xiàn)出強(qiáng)烈的尺寸效應(yīng)。

圖6 兩種載荷下位移響應(yīng)曲線Fig.6 Displacement response under two kinds of load curves

從式(33)可以知道，影響微懸臂梁動(dòng)態(tài)響應(yīng)位移的主要因素有固有頻率ωn、輸入沖擊載荷頻率ωi以及幅值ai。當(dāng)沖擊載荷幅值脈寬確定以后，對(duì)微懸臂梁動(dòng)態(tài)響應(yīng)位移影響的主要因素就是微懸臂梁的固有頻率。從圖4中可以知道，當(dāng)尺寸較大時(shí)，三種理論計(jì)算固有頻率ωn結(jié)果基本一致，尺寸效應(yīng)現(xiàn)象逐漸消失。

基于全應(yīng)變梯度理論下計(jì)算出的高沖擊下微懸臂梁動(dòng)態(tài)響應(yīng)比傳統(tǒng)理論更符合實(shí)驗(yàn)結(jié)果。因此，在對(duì)引信用MEMS慣性開關(guān)中的結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)中應(yīng)該充分考慮尺寸效應(yīng)現(xiàn)象。當(dāng)微懸臂梁的特征尺寸和內(nèi)稟特征尺寸相當(dāng)時(shí)，應(yīng)該在原有尺寸的基礎(chǔ)上適當(dāng)增加梁的寬度，減少尺寸效應(yīng)現(xiàn)象對(duì)結(jié)構(gòu)動(dòng)態(tài)響應(yīng)特性的影響，從而使結(jié)構(gòu)達(dá)到預(yù)期的設(shè)計(jì)要求。

4 結(jié)論

本文基于全應(yīng)變梯度彈性理論提出了高沖擊下微懸臂梁動(dòng)態(tài)響應(yīng)特性的理論分析方法，該方法可描述高沖擊下微懸臂梁的彎曲特性、固有特性、動(dòng)態(tài)響應(yīng)特性的尺寸效應(yīng)現(xiàn)象，還可描述微構(gòu)件材料彈性模量的尺寸效應(yīng)現(xiàn)象。實(shí)例分析表明，當(dāng)微懸臂梁特征尺寸和內(nèi)稟特征尺寸處于同一量級(jí)時(shí)，微懸臂梁的彎曲撓度、固有頻率、動(dòng)態(tài)位移響應(yīng)均表現(xiàn)出明顯的尺寸效應(yīng)現(xiàn)象，合理地解釋了實(shí)驗(yàn)結(jié)果和經(jīng)典理論值誤差較大的問題。本文研究還為后期MEMS器件的設(shè)計(jì)和加工提供了可靠的理論依據(jù)。

[1]陳勇華. 微機(jī)電系統(tǒng)的研究與展望[J]. 電子機(jī)械工程, 2011,27(3):1-7.

[2]王輔輔，婁文忠. 微機(jī)電技術(shù)在引信中的應(yīng)用綜述[J]. 探測與控制學(xué)報(bào)，2016，38(3): 22-28.

[3]張向軍. 微機(jī)電系統(tǒng)機(jī)械學(xué)[M]. 北京：清華大學(xué)出版社,2012:1-120.

[4]Mindlin R D, Tiersten H F. Effects of couple-stresses in linear elasticity [J]. Archive for Rational Mechanics and Analysis, 1962, 11: 415-448.

[5]Mindlin R D. Micro structure in linear elasticity [J]. Archive for Rational Mechanics and Analysis, 1964,10:51-78.

[6]Lam D C C, Yang F, Chong A C M, et al. Experiments and theory in strain gradient elasticity [J]. Journal of theMechanics and Physics of Solids, 2003, 51(8): 1477-1508.

[7]Kong S L, Zhou S J, Nie Z F, et al. Static and dynamic analysis of micro beams based on strain gradient elasticity theory [J]. International Journal of Engineering Science, 2009, 47(4): 487-498.

[8]Wang Binglei, Zhao Junfeng, Zhou Shenjie. European Journal of Mechanics A/Solids[J]. A micro scale Timoshenko beam model based on strain gradient elasticity theory, 2010, 29(4):591-599.

[9]Nie Zhifeng, Zhou Shenjie, Wang Kai, et al. C1natural neighbor Galerkin method for strain gradient elasticity[J]. Engineering, 2009, 26(9):10-15.

[10]Nie Zhifeng, Zhou Shenjie, Han Rujun, et al. Numerical study on size effects of the microstructures based on strain gradient elasticity [J]. Engineering Mechanics, 2012, 29(6): 38-46.

[11]周織建, 聶偉榮, 席占穩(wěn), 等. 多層UV-LIGA電鑄鎳材料的抗沖擊性能[J]. 光學(xué)精密工程,2015,23(4):1045-1052.

[12]Stolken J S, Evans A G. A Microbend test for measuring the plasticity length scale[J]. Acta mater, 1998, 46(14):5109-5115.

[13]鮑文博, 白泉, 陸海燕. 振動(dòng)力學(xué)基礎(chǔ)與MATLAB應(yīng)用[M]. 北京：清華大學(xué)出版社, 2015:213-219.

[14]毛勝平,汪紅,劉瑞,等. UV-LIGA鎳薄膜材料的力學(xué)性能測試與分析[J]. 功能材料, 2010, 41(2):354-357.

Dynamic Response Characteristics of Micro Cantilever Beam Under High Impact

YIN Liwei, NIE Weirong, XI Zhanwen, ZHOU Zhijian

(School of Mechanical Engineering, Nanjing University of Science and Technology, Nanjing 210094, China)

In view of the obvious difference between classical theoretical value and experimental result of dynamic response characteristics of micro components under high impact, a size effect model of micro cantilever beam under high impact was put forward, and its dynamic response characteristic was analyzed depend on the theory of strain gradient. The size effect phenomenon about bending properties, inherent characteristics and dynamic response of micro cantilever beam can be described by this method. The results show that the size effect of bending deflection, natural frequency and dynamic displacement response of micro cantilever beam is obvious when characteristic dimension of micro cantilever beam and its intrinsic characteristics size are in the same order, thus, the obvious difference between classical theoretical value and experimental result of dynamic response characteristics can be described reasonably.

high impact; micro cantilever beam; dynamic response; size effect; strain gradient theory

2016-04-03

國家自然科學(xué)基金項(xiàng)目資助(51475245)

尹立威(1992—)，男，四川簡陽人，碩士研究生，研究方向：微機(jī)電系統(tǒng)設(shè)計(jì)。E-mail:scyinlw@sina.com。

TJ430

A

1008-1194(2016)06-0020-06