正交非線性滲流定理

齊成偉

（重慶科技學(xué)院-石油與天然氣工程學(xué)院，重慶 401331）

正交非線性滲流定理

齊成偉

（重慶科技學(xué)院-石油與天然氣工程學(xué)院，重慶 401331）

將“正交冪比方程”代入不可壓縮流體穩(wěn)定滲流連續(xù)方程后得到了“正交低速非線性滲流控制方程”。正交低速非線性滲流控制方程是二階非線性偏微分方程，故除“直流場(chǎng)”外，其符號(hào)解極難求得。綜合運(yùn)用場(chǎng)論和微分幾何知識(shí)，對(duì)流場(chǎng)幾何進(jìn)行了定性分析，得到“正交非線性滲流定理：假設(shè)非線性滲流的等壓面與流線正交，若流場(chǎng)為‘曲流場(chǎng)’，則相同條件下單相不可壓縮或可壓縮流體非線性滲流與單相不可壓縮流體線性滲流的流線形狀不同。進(jìn)而，等壓面形狀亦不同?！币运雇锌怂沽鲃?dòng)為類比，指出了非線性滲流的等壓面與流線的不正交可能性。

滲流力學(xué) 流場(chǎng)幾何 正交冪比連續(xù)方程 曲流場(chǎng) 流線曲率矢量公式 引理 復(fù)曲率公式 廣密壓裂

0 引言

如果油水地下滲流具有“低速非線性”，那么相同條件下的低速非線性滲流與線性滲流有何不同呢？

1 本構(gòu)方程

描寫低速非線性滲流之平行流的冪比方程［1］為：

式中，v為流體滲流速率，m/s；κ為多孔介質(zhì)滲透系數(shù)，m2；μ為流體動(dòng)力黏度，Pa·s；p為流體壓強(qiáng)，Pa；x（y、z）為Descartes坐標(biāo)系的橫（縱、豎）坐標(biāo)（作為角標(biāo)，示意方向），m；r為非線性指數(shù)，無量綱；?為漸近線截距，Pa/m。

圖1 低速非線性滲流本構(gòu)方程

如圖1所示：r控制vx～dp/dx曲線的形狀；控制vx～dp/dx曲線的大小。

巖心滲流測(cè)試采用的圓管巖心夾持器或填砂圓管限定流動(dòng)為平行流，或稱一維流。無論是線性滲流還是非線性滲流，平行流的等壓面與流線必然正交。對(duì)于線性滲流，二維流、三維流的等壓面與流線正交。對(duì)于非線性滲流，除“柱徑流”外的二維流、除“球徑流”外的三維流的等壓面與流線也一定正交嗎？未經(jīng)實(shí)驗(yàn)，不得而知。

假設(shè)低速非線性滲流的等壓面與流線正交，則其滲流速度與壓強(qiáng)梯度之間的本構(gòu)關(guān)系可寫為“正交冪比方程”。分量形式的正交冪比方程為：

矢量形式的正交冪比方程為：

2 控制方程

將式（3）代入不可壓縮流體穩(wěn)定滲流連續(xù)方程

稱式（4）為“正交冪比連續(xù)方程”或“正交低速非線性滲流控制方程”。讀者可以驗(yàn)證：r=1情況下的平行流壓強(qiáng)函數(shù)p=[qμ/(4κw)]{1+[1+8κw?/(|q|μ)]1/2}|x|（q為裂縫匯（或源）強(qiáng)度，m2/s；w為帶形地層寬度，m）、柱徑流壓強(qiáng)函數(shù)（文獻(xiàn)［1］式（4），[]內(nèi)的q替換為|q|，q為二維點(diǎn)匯（或源）強(qiáng)度，m2/s）和球徑流壓強(qiáng)函數(shù)（文獻(xiàn)［1］式（6），[]內(nèi)的Q替換為|Q|，Q為三維點(diǎn)匯（或源）強(qiáng)度，m3/s）是方程（4）的符號(hào)解。

3 滲流場(chǎng)論

3.1 渦矢量場(chǎng)

為了普適性，將正交非線性滲流本構(gòu)方程寫為：

式中，g()為可微函數(shù)；g(|?p|)為非線性系數(shù)函數(shù)，無量綱。強(qiáng)令g()=1，則式（5）退化為線性滲流本構(gòu)方程，即Darcy's law。式（5）囊括Forchheimer's law。

正交非線性滲流渦矢量場(chǎng)為：

式中，Ω為滲流渦矢量，s-1；ω為滲流角速度，rad/s。

式（6）中，(?p·?)?p×?p的Descartes坐標(biāo)形式為：

3.2 流線曲率矢量場(chǎng)

記流線函數(shù)為：

將式（8）轉(zhuǎn)化為參數(shù)方程形式，如：

式（5）與v=(CⅠ/ρ相結(jié)合，得：

式中，ρ為流體質(zhì)量密度，Kg/m3。

將式（11）代入式（10），得：

對(duì)比式（13）與式（7），知：

據(jù)式（14）、式（12）、式（7）、式（6），知流線曲率矢量場(chǎng)為：

式中，kξ∩ζ為流線曲率矢量，m-1。

式（15）倒數(shù)第2行顯示：正交非線性滲流的流線曲率矢量是歸一化壓強(qiáng)梯度與其旋度的負(fù)矢積。

式（16）顯示：除平行流、柱徑流和球徑流（下稱“直流場(chǎng)”，）外（下稱“曲流場(chǎng)”，，式（5）所描述的滲流速度場(chǎng)為有旋場(chǎng)。

引理：正交非線性滲流之直流速度場(chǎng)為無旋場(chǎng)；正交非線性滲流之曲流速度場(chǎng)為有旋場(chǎng)。

3.3 平面勢(shì)流流線曲率

敬請(qǐng)讀者欣賞無限大等厚均質(zhì)各向同性水平地層內(nèi)環(huán)形裂縫群激發(fā)的線性滲流場(chǎng)的流線曲率絕對(duì)值密度圖。

對(duì)于二維問題，式（7）退化為：

記平面穩(wěn)態(tài)流速場(chǎng)復(fù)位勢(shì)與復(fù)坐標(biāo)的函數(shù)關(guān)系為：

式中，f()為解析函數(shù)；φ為勢(shì)，m2/s；ψ為流，m2/s。對(duì)于滲流場(chǎng)，φ=κp/μ。注意：解析=共形。

根據(jù)Cauchy-Riemann條件［2］，知：

顯然，用式（19）湊出式（17）的{}部分是可能的。嘗試后發(fā)現(xiàn)：

可將式（21）改寫為：

式（22）規(guī)定：流線向左偏轉(zhuǎn)，流線曲率為負(fù)；流線向右偏轉(zhuǎn)，流線曲率為正。

非常幸運(yùn)，平面勢(shì)流等勢(shì)線曲率恰為：

可將kφ+ikψ稱為“平面勢(shì)流‘復(fù)曲率’”，記為k，譯為“complex curvature”。于是，復(fù)曲率公式為：環(huán)形裂縫群復(fù)勢(shì)通式［3］為：

將式（25）代入式（24）后做替換z→x+iy，得：

令si/so=1/3，根據(jù)式（26）繪得等勢(shì)線曲率密度圖（向?花）和流線曲率絕對(duì)值密度圖（背?花），見圖2。

圖2 環(huán)形裂縫群線性滲流復(fù)曲率密度圖

4 流線形狀

假設(shè)流場(chǎng)邊界形狀相同且流入流出端面皆為等壓面的均質(zhì)各向同性多孔介質(zhì)內(nèi)單相不可壓縮或可壓縮流體非線性滲流與單相不可壓縮流體線性滲流的流線形狀相同，或稱流線重合，則同一坐標(biāo)點(diǎn)處的滲流速度方向一致，即：

式中，角標(biāo)n-l、l依序示意非線性滲流、線性滲流。

將質(zhì)流密度ρn-lvn-l,ρlvl代入散度定理，得：

式中，m。為流場(chǎng)內(nèi)某一口井或某幾口井的質(zhì)量流量，Kg/s；V為僅包含該口井或該數(shù)口井的任一控制體的體積（作為下標(biāo)，表示積分區(qū)），m3；S為相應(yīng)的控制面的面積（作為下標(biāo)，表示積分域），m2；n^為控制面上的單位外法矢量，無量綱。

式（29）與式（27）相結(jié)合，得：

對(duì)于單相可壓縮流體非線性滲流與單相不可壓縮流體線性滲流而言，ln(ρl/ρn-l)≠CⅢ。將正壓條件ρn-l=ρn-l(x,y,z)=?n-l(pn-l)代入式（31）后再結(jié)合式（5），得：

然而，式（16）顯示，對(duì)于曲流場(chǎng)，有：

綜上，對(duì)于相同條件下的曲流場(chǎng)，式（32）、式（33）與式（34）或式（16）矛盾，故式（27）所表述的“流線重合假設(shè)”與引理矛盾。因而，對(duì)于曲流場(chǎng)，流線重合假設(shè)不成立，即“若

正交非線性滲流定理：假設(shè)非線性滲流的等壓面與流線正交，若流場(chǎng)為曲流場(chǎng)，則相同條件下單相不可壓縮或可壓縮流體非線性滲流與單相不可壓縮流體線性滲流的流線形狀不同。進(jìn)而，等壓面形狀亦不同。

5 緣何正交

流體力學(xué)里的不可壓縮Perfect fluid“繞球無旋層流”和不可壓縮Newtonian fluid“繞球有旋層流”或可帶來啟示。下面回顧原點(diǎn)處半徑為r的小球?qū)α魉賵?chǎng)v∞=v∞ex的影響。此處，v表示真實(shí)流動(dòng)速度。對(duì)于單相不可壓縮流體，ρ為實(shí)正常數(shù)，故不妨令CⅠ=ρ。

5.1 繞球無旋層流

無旋場(chǎng)必是有勢(shì)場(chǎng)。線性流動(dòng)與線性滲流具有相同的控制方程，即?2φ=0。對(duì)于無多孔介質(zhì)的流動(dòng)，φ≠κp/μ。因已忽略重力，故等勢(shì)面與等壓面重合。

結(jié)合邊界條件求方程?2φ=0的符號(hào)解，取ζ=arc tan(z/y)后結(jié)合ξ(x,0,0)=0求方程-?φ=v=?ξ×?ζ的符號(hào)解，得繞球無旋層流的勢(shì)函數(shù)和流線函數(shù)：

根據(jù)式（35）繪得繞球無旋層流流網(wǎng)圖，見圖3。

圖3 繞球無旋層流流網(wǎng)縱對(duì)稱面圖

如圖3所示：前駐點(diǎn)［4］(-r,0,0)和后駐點(diǎn)(r,0,0)外的空間內(nèi)，繞球無旋層流的等勢(shì)面與流線處處正交。

5.2 繞球有旋層流

本文僅重述Stokes flow，而不重述Oseen flow。

不可壓縮Newtonian fluid的Stokes equations為：

結(jié)合邊界條件求方程組（36）的符號(hào)解，得繞球有旋層流的壓強(qiáng)場(chǎng)函數(shù)和速度場(chǎng)函數(shù)：

點(diǎn)沒有角速度。

根據(jù)式（37）和式（38）繪得繞球有旋層流流場(chǎng)圖，見圖4。注意觀察：球外曲流線兩次斜穿同一等壓面。

圖4 繞球有旋層流流場(chǎng)縱對(duì)稱面圖

等壓面與流線正交的數(shù)學(xué)條件為?pS×vS=0。因?yàn)?/p>

以直線y=0,z=0和平面x=0外的空間內(nèi)等壓面與流線處處不正交。

6 結(jié)束語

正交非線性滲流定理表明：無限大等厚均質(zhì)各向同性水平地層內(nèi)具有無限導(dǎo)流能力且鉛垂貫穿地層的有限長(zhǎng)無寬直裂縫激發(fā)的正交非線性滲流場(chǎng)的流線不是以裂縫端線等高點(diǎn)為焦點(diǎn)的雙曲線，等壓面也不是以裂縫端線為焦線的橢圓柱面。擬共形？

非線性滲流的等壓面與流線是否正交，可通過測(cè)試具有非線性滲流特征的等厚均質(zhì)各向同性水平巖板內(nèi)二維曲流場(chǎng)的等壓面與板緣壁面是否正交來判定。若不正交，誰能極之？不管是否正交，為理論非線性滲流力學(xué)奠基僅需一個(gè)曲流壓強(qiáng)場(chǎng)顯函數(shù)。

［1］齊成偉.低速滲流“非線性”探測(cè)構(gòu)想［J］.天然氣技術(shù)與經(jīng)濟(jì)，2015，9（6）：37-38.

［2］齊成偉.平面穩(wěn)態(tài)流速場(chǎng)運(yùn)動(dòng)學(xué)通式［J］.天然氣技術(shù)與經(jīng)濟(jì)，2013，7（6）：27-28.

［3］齊成偉.環(huán)形裂縫群激發(fā)的滲流場(chǎng)之運(yùn)動(dòng)學(xué)分析［J］.特種油氣藏，2014，21（4）：101-104.

［4］齊成偉.致密油藏水力碎裂區(qū)是“死油區(qū)”［J］.內(nèi)蒙古石油化工，2015，41（17）：146-147.

（編輯：李臻）

A

2095-1132（2016）06-0016-06

10.3969/j.issn.2095-1132.2016.06.005

2016-10-16

2016-12-16

齊成偉（1983-），碩士，實(shí)驗(yàn)師，從事流體力學(xué)、油氣水滲流力學(xué)基礎(chǔ)理論研究。E-mail：1261621@qq.com。