例談構(gòu)造函數(shù)證明不等式問(wèn)題的若干途徑

☉浙江省諸暨市湄池中學(xué) 蔡旦燕

例談構(gòu)造函數(shù)證明不等式問(wèn)題的若干途徑

☉浙江省諸暨市湄池中學(xué) 蔡旦燕

中學(xué)數(shù)學(xué)中的一個(gè)難點(diǎn)是不等式問(wèn)題，近幾年的高考熱點(diǎn)中不等式所占的比例也一定程度上在增加.而函數(shù)思想已成為整個(gè)中學(xué)數(shù)學(xué)的重點(diǎn)和高考的熱點(diǎn).有些不等式采用常規(guī)方法難以解決，若能巧妙地構(gòu)造函數(shù)將不等式問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的問(wèn)題，通過(guò)研究輔助函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值等問(wèn)題，常能使問(wèn)題獲得簡(jiǎn)捷明了的解決.筆者通過(guò)平時(shí)的教學(xué)實(shí)踐從以下幾個(gè)方面加以解讀，試圖破解此類問(wèn)題.

一、根據(jù)式子特征聯(lián)想構(gòu)造函數(shù)證明不等式

很多不等式證明題的結(jié)構(gòu)有一定的特征，經(jīng)?？梢愿鶕?jù)式子特征構(gòu)造函數(shù).數(shù)列的遞推公式是給出數(shù)列的一種方式，其實(shí)這其中也蘊(yùn)含著函數(shù)，數(shù)列就是由這個(gè)函數(shù)來(lái)發(fā)生的，若能聯(lián)想到這個(gè)函數(shù)往往也能抽象的數(shù)學(xué)問(wèn)題變得簡(jiǎn)單直觀.

點(diǎn)評(píng)：不等式兩邊是n-1項(xiàng)和的形式，而lnn是Sn的形式為了消除這種形式上的不和諧，我們嘗試把“l(fā)nn”還原成n-1項(xiàng)和的形式，設(shè)Sn=lnn，則an=Sn-Sn-1=lnn-ln（n-1）=從而我們就探尋是否有的成立？

二、構(gòu)造“帶參數(shù)型”函數(shù)利用導(dǎo)數(shù)求最值

0cosx0-c=0.

x （0，x0） x0 x0，π 2（）g′（x） → 0 →g（x） ↗ ↘

因?yàn)間（x）在區(qū)間［0，x0］上是增函數(shù)，所以g（x0）＞g（0） =0.進(jìn)一步，“g（x）＞0對(duì)任意恒成立”當(dāng)且僅當(dāng)0，即

三、利用換元構(gòu)造函數(shù)證明不等式

有的不等式具有某些函數(shù)類似的結(jié)構(gòu)特征，使人很自然地聯(lián)想到某類函數(shù)，通過(guò)換元能使函數(shù)特征更加清晰，故稱其為“換元法”.

點(diǎn)評(píng)：我們知道，當(dāng)F（x）在［a，b］上單調(diào)遞增，則x＞a時(shí)，有F（x）＞F（a）.如果f（a）=φ（a），要證明當(dāng)x＞a時(shí)，f（x）＞φ（x），那么，只要令F（x）=f（x）-φ（x），就可以利用F（x）的單調(diào)增性來(lái)推導(dǎo).也就是說(shuō)，在F（x）可導(dǎo)的前提下，只要證明F′（x）＞0即可.

四、分清主次，選擇主元構(gòu)造函數(shù)證明不等式

有的題目字母繁雜，若分不清主次，則顯得撲朔迷離，不得要領(lǐng)，但只要確定一個(gè)字母為主變量，即主元，則輔助函數(shù)唾手可得，問(wèn)題便迎刃而解，故稱之為“主元法”.

例4 已知函數(shù)g（x）=xlnx，設(shè)0＜a＜b，證明：0＜g（a）+

證明：對(duì)g（x）=xlnx求導(dǎo)，則g′（x）=lnx+1.

當(dāng)0＜x＜a時(shí)，F(xiàn)′（x）＜0，因此F（x）在（0，a）內(nèi)為減函數(shù)；

當(dāng)x＞a時(shí)，F(xiàn)′（x）＞0，因此F（x）在（a，+∞）上為增函數(shù).

從而當(dāng)x=a時(shí)，F(xiàn)（x）有極小值F（a）.

因?yàn)镕（a）=0，b＞a，所以F（b）＞0，即g（a）+g（b）-

當(dāng)x＞0時(shí)，G′（x）＜0.因此G（x）在（0，+∞）上為減函數(shù).

因?yàn)镚（a）=0，b＞a，所以G（b）＜0，即g（a）+g（b）-

點(diǎn)評(píng)：對(duì)于多變量型問(wèn)題絕大部分學(xué)生都會(huì)望而生畏.學(xué)生的困惑主要就在于不能直接使用所給函數(shù).如果能挖掘一下所給函數(shù)與所證不等式間的聯(lián)系，想一想大小關(guān)系又與函數(shù)的單調(diào)性密切相關(guān)，由此就可過(guò)渡到根據(jù)所要證的不等式構(gòu)造恰當(dāng)?shù)暮瘮?shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，借助單調(diào)性比較函數(shù)值的大小，以期達(dá)到證明不等式的目的.

五、利用二次求導(dǎo)構(gòu)造函數(shù)證明不等式

在一些問(wèn)題中，一次求導(dǎo)后函數(shù)的單調(diào)性、極值等性質(zhì)還不明顯，必須構(gòu)造函數(shù)進(jìn)行二次求導(dǎo)判斷.

（Ⅰ）若f（x）在R上為增函數(shù)，求a的取值范圍；

（Ⅱ）若a=1，求證：x＞0時(shí)，f（x）＞1+x.

解：（Ⅰ）f′（x）=aex-x，

因?yàn)閒（x）在R上為增函數(shù)，所以f′（x）≥0對(duì)x∈R恒成立，即a≥xe-x對(duì)x∈R恒成立.

構(gòu)造函數(shù)g（x）=xe-x，則g′（x）=e-x-xe-x=（1-x）e-x，

當(dāng)x＞1時(shí)，g′（x）＜0，當(dāng)x＜1時(shí)，g′（x）＞0.

故g（x）在（-∞，1）上為增函數(shù)，在（1，+∞）上為減函數(shù)，所以當(dāng)x=1時(shí)，g（x）取得最大值，即所以即a的取值范圍是

則F′（x）=ex-1-x.

令函數(shù)h（x）=F′（x）=ex-1-x，則h′（x）=ex-1.

當(dāng)x＞0時(shí)，h′（x）＞0，所以h（x）在（0，+∞）上為增函數(shù)，

又h（x）在x=0處連續(xù)，所以h（x）＞h（0）=0，

即F′（x）＞0，所以F（x）在（0，+∞）上為增函數(shù).

又F（x）在x=0處連續(xù)，

所以F（x）＞F（0）=0，即f（x）＞1+x.

點(diǎn)評(píng)：當(dāng)函數(shù)取最大或最小值時(shí)不等式都成立，可得該不等式恒成立，從而把不等式的恒成立問(wèn)題可轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最值問(wèn)題.不等式恒成立問(wèn)題，一般都會(huì)涉及到求參數(shù)范圍，往往把變量分離后可以轉(zhuǎn)化為m＞f（x）或m＜f（x）恒成立，于是m大于f（x）的最大值或m小于f（x）的最小值，從而把不等式恒成立問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問(wèn)題.因此，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)最值是解決不等式恒成立問(wèn)題的一種重要方法.

六、通過(guò)等價(jià)轉(zhuǎn)化，間接構(gòu)造函數(shù)證明不等式

數(shù)學(xué)問(wèn)題的復(fù)雜多變使函數(shù)的構(gòu)造方法呈現(xiàn)出多樣化的特點(diǎn)，因此，我們必須開闊視野，隨機(jī)應(yīng)變，其中一個(gè)重要的策略就是轉(zhuǎn)化，等價(jià)轉(zhuǎn)化也是極為重要的一種數(shù)學(xué)思想.

大家知道，用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值等問(wèn)題是高考中常考的內(nèi)容，在這類大題的考查中常常會(huì)伴有不等式證明，以及解不等式.用構(gòu)造函數(shù)，運(yùn)用導(dǎo)數(shù)的方法，來(lái)解（證明）不等式，會(huì)使這類表面抽象、相對(duì)復(fù)雜的題目變得直觀和簡(jiǎn)單.

（Ⅰ）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性；

（Ⅱ）證明：若a＜5，則對(duì)任意x1，x2∈（0，+∞），x1≠x2，有

這里，仍然只研究第（Ⅱ）問(wèn).

解析：（Ⅰ）略.

所以只需要證明函數(shù)g（x）=f（x）+x在（0，+∞）單調(diào)遞增即可.這樣，便有以下解題思路：

因?yàn)?＜a＜5，因此g′（x）＞0，所以g（x）在（0，+∞）內(nèi)單調(diào)遞增，

從而當(dāng)x1＞x2＞0時(shí)，有g(shù)（x1）-g（x2）＞0，也就是f（x1）-f（x2）+x1-x2＞0，

點(diǎn)評(píng)：從上例的解題過(guò)程，我們不難發(fā)現(xiàn)，只要從需要證明的或已知條件給出的不等式入手，將不等式的一邊化為0，另外一邊分母是x1-x2，分子中的函數(shù)即是要構(gòu)造的函數(shù).當(dāng)我們構(gòu)造出了適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)，再運(yùn)用函數(shù)的單調(diào)性就能很好地解決這樣的問(wèn)題了.通過(guò)這道例題，我們也看到：借助第一個(gè)問(wèn)題來(lái)構(gòu)造具體函數(shù)，順利解題，不失為一種解題的好方法.

總之，構(gòu)造函數(shù)具有一定的創(chuàng)造性，需要相當(dāng)?shù)募记?，一般?lái)說(shuō)可以從待證不等式形式變化的角度和所含“元”的個(gè)數(shù)來(lái)考慮構(gòu)造方法.如果面對(duì)的是另類的陌生情境，題目本身沒有給出所用方法的暗示，那么我們就需要根據(jù)問(wèn)題的特征機(jī)智巧妙地遷擇證法.總之，在面對(duì)一個(gè)個(gè)具體問(wèn)題時(shí)，我們不應(yīng)肓目地套用已有模式，而應(yīng)根據(jù)題目，靈活變通，多管齊下，多法并用.