一道無(wú)理型三角形不等式及其衍生

☉浙江省湖州市雙林中學(xué) 李建潮

一道無(wú)理型三角形不等式及其衍生

☉浙江省湖州市雙林中學(xué) 李建潮

問(wèn)題1（《數(shù)學(xué)通報(bào)》2015年9月號(hào)問(wèn)題2263 以下稱問(wèn)題2263）在△ABC中，求證：

本人在對(duì)問(wèn)題2263的證法探究中不經(jīng)意間獲得了它的加強(qiáng)；“無(wú)意插柳”間優(yōu)化了數(shù)學(xué)通報(bào)的其他個(gè)別問(wèn)題；在類比中，衍生出新的無(wú)理型三角形不等式……

一、問(wèn)題2263的新證與加強(qiáng)

新證：在△ABC中，

結(jié)合二維柯西（Cauchy）不等式（a2+b2）（c2+d2）≥（ac+bd）2，有

同理

（2）+（3）+（4），并利用文［1］三角形不等式：

據(jù)此，問(wèn)題2263加強(qiáng)為：

定理1 在△ABC中，有

二、問(wèn)題2263的弦“外”之音

問(wèn)題2 設(shè)△ABC的外接圓和內(nèi)切圓半徑分別為R、r（本文下同），證明：

（《數(shù)學(xué)通報(bào)》2007年8月號(hào)問(wèn)題1779）

問(wèn)題3 在△ABC中，求證：

（《數(shù)學(xué)通報(bào)》2012年9月號(hào)問(wèn)題2083）

所以，問(wèn)題2與問(wèn)題3可一并優(yōu)化為：

結(jié)論1 在△ABC中，有

順?biāo)浦?，看下述?wèn)題：

問(wèn)題4 在銳角△ABC中，試證：

（《數(shù)學(xué)通報(bào)》2005年7月號(hào)問(wèn)題1561）

同理

（13）+（14）+（15），并應(yīng)用（5）、（7）與（10）三式，可得

從以上分析看，并沒(méi)有用到“銳角三角形”條件，所以，問(wèn)題4可優(yōu)化為：

結(jié)論2 在△ABC中，有

三、問(wèn)題2263的衍生

無(wú)獨(dú)有偶，作為問(wèn)題2263的類比，我們自然提出下述問(wèn)題：

問(wèn)題5 在△ABC中，證明或否定：

筆者試圖仿照問(wèn)題2263的證法去獲取證明，但沒(méi)有成功.轉(zhuǎn)而又嘗試用平方法，終于大功告成.其間需要下述中間結(jié)論：

定理2 在△ABC中，有

證明：先證（18）：

同理

（20）+（21）+（22），（18）式獲證.

再證（19）：

仿問(wèn)題2263證明，并應(yīng)用（18）式，有

定理2獲證.

下證問(wèn)題5（即（17）式）：由結(jié)論2、定理2的（19）式及結(jié)論1，可得

定理3 在△ABC中，有

四、問(wèn)題2263的又一個(gè)加強(qiáng)

由定理2（19）式的成功建立，用類似的證明方法不難獲得問(wèn)題2263的下述又一個(gè)加強(qiáng)：

定理4 在△ABC中，有

并且Q+T≥3（其中Q的意義同定理2的（19）式）.

本文值得注意的一個(gè)地方是定理2的（18）式的構(gòu)想與創(chuàng)立（她是獲取定理3的基石），實(shí)乃是向“0”要“正數(shù)”的一種奇特?cái)?shù)學(xué)思想，堪稱不等式證明之精髓.

1.李建潮.一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題的“熱能”效應(yīng)［J］.數(shù)學(xué)通報(bào)，2008（6）.

2.許雪芬，李建潮.由一個(gè)三角形不等式引發(fā)的探究［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（上），2015（11）.