POE策略在數(shù)學(xué)教學(xué)中的運(yùn)用

☉江蘇省東臺中學(xué) 房 勝

POE策略在數(shù)學(xué)教學(xué)中的運(yùn)用

☉江蘇省東臺中學(xué) 房 勝

數(shù)學(xué)是一門抽象程度較高的學(xué)科.高中數(shù)學(xué)中的很多概念已經(jīng)愈來愈形式化，比如學(xué)生難以真正理解的函數(shù)概念、平面向量基本定理、圓錐曲線第二定義等一系列概念型的知識，也難以消化一系列抽象性的數(shù)學(xué)問題，典型的如抽象函數(shù)的定義域等.這些知識對于學(xué)生而言，形式化程度稍高，但是又有利于中學(xué)生思維的發(fā)展，因此抽象的數(shù)學(xué)問題一直是教學(xué)的重點(diǎn)和難點(diǎn)，如何將抽象數(shù)學(xué)教學(xué)演繹得更通俗易懂成為教師思考的一個問題.

根據(jù)心理學(xué)認(rèn)知理論來說，抽象的知識要理解、認(rèn)知，首先離不開其具體的問題載體，也就是具體情境，這個情境可以是生活中的，也可以是具體的、經(jīng)過抽象的、但是存在具體形態(tài)的，只有具備這樣的情境才能有助于學(xué)生對抽象知識有雛形上的認(rèn)知，有助于其理解、思考、解決抽象問題.

一、POE策略界定

著名教育家皮亞杰提出過重要的概念同化理論，即其認(rèn)為知識是經(jīng)歷“認(rèn)知平衡—認(rèn)知沖突—重新平衡”這樣的階段，即同化和順應(yīng)理論.1982年，波斯納等研究者在此基礎(chǔ)上提出了知識改變模式需要注重的幾個條件：其一是原有具體形態(tài)知識不適用新的抽象學(xué)習(xí)范疇，必需有新的發(fā)展；其二是在原有基礎(chǔ)提出的新的概念必需是可以理解的；其三是能解決現(xiàn)有問題并能形成體系.筆者認(rèn)為，這些理論的發(fā)展其實(shí)說明了人類學(xué)習(xí)的過程，從感知學(xué)習(xí)—理性思考—抽象學(xué)習(xí)—形成體系.因此進(jìn)一步的研究者創(chuàng)造了POE學(xué)習(xí)策略.

POE策略（Prediction-Observation-Explanation）是Gunstone和White正式提出的一種教學(xué)策略.其中文含義是“預(yù)測感知—觀察思考—解釋歸納”策略，這一策略偏重于學(xué)生的自我感知和理解，特別有助于抽象知識的學(xué)習(xí)，其通過學(xué)生的參與理解去感知抽象知識的形成過程，有助于抽象知識的理解和鞏固.

二、POE策略下的抽象數(shù)學(xué)教學(xué)

數(shù)學(xué)概念教學(xué)是比較抽象和形式化的，尤其高中數(shù)學(xué)概念比初中數(shù)學(xué)概念的抽象性又向前大大邁進(jìn)了一大步.很多高中數(shù)學(xué)概念對于學(xué)生而言，其抽象化程度比較高，非常不利于學(xué)生的理解.這些知識的傳授，必須依賴具體的實(shí)際數(shù)學(xué)問題模型，進(jìn)而思考問題的解決.

教學(xué)1：抽象函數(shù)定義域、函數(shù)性質(zhì)的理解

1.函數(shù)定義域

定義域是函數(shù)三要素中最重要的一條，學(xué)生對于具備具體解析式的函數(shù)模型并不懼怕，但是對于抽象函數(shù)的定義域理解卻相當(dāng)薄弱.

案例1 函數(shù)y=f（x）的定義域?yàn)椋?，2），求函數(shù)y= f（x+2）的定義域.

變式訓(xùn)練 函數(shù)f（x+1）的定義域?yàn)椋?∞，1］∪［2，+∞），求函數(shù)f（x-1）的定義域.

POE教學(xué)策略：（1）預(yù)測感知：可以自己假定一個具體的函數(shù)模型出發(fā)，從模型研究中去思考函數(shù)定義域的求解，進(jìn)而發(fā)展到抽象函數(shù)為載體進(jìn)行理解；（2）觀察思考：通過編制的具體函數(shù)模型求解到抽象的函數(shù)定義域求解的思考，發(fā)展抽象認(rèn)知和思維；（3）解釋歸納：將這一問題的解決進(jìn)行反思，進(jìn)而得到抽象函數(shù)定義域求解過程的理解，類似的方式處理不同的抽象函數(shù)其余問題.考慮到案例1學(xué)生大都能解決，因此筆者從POE教學(xué)策略的指導(dǎo)出發(fā)，主要以具體感知輔以抽象函數(shù)的方法通過類比解決變式訓(xùn)練：

函數(shù) 具體感知類比抽象再現(xiàn)f（x+1）定義域?yàn)椋?∞，1］∪［2，+∞）令f（x+1）=（x-1）（x-2）■即f（x+1）中的x滿足x≤1orx≥2 f（x）定義域?yàn)椋?∞，2］∪［3，+∞）則f（x）=（x-2）（x-3）■即f（x）中的x滿足x≤2orx≥3 f（x-1）定義域?yàn)椋?∞，3］∪［4，+∞）則f（x-1）=（x-3）（x-4）■即f（x-1）中的x滿足x≤3orx≥4數(shù)學(xué)思想 解決抽象函數(shù)時，關(guān)注整體思想的運(yùn)用，這里（x+1），x，（x-1）的范圍是一樣的

說明：通過具體編制的函數(shù)模型，學(xué)生能夠解決任意類似的抽象函數(shù)定義域，其最終明白的要素是：第一，定義域永遠(yuǎn)指的是函數(shù)中的x的取值范圍，而不是x+1、x-1等；第二，整體思想的介入，能讓學(xué)生進(jìn)一步理解對應(yīng)法則f（*）中，*所代表的無論是x+1、x-1還是x，它們作為一個整體都是相同的范圍.這兩點(diǎn)的理解，是解決抽象函數(shù)定義域的關(guān)鍵.由此可見，POE策略從具體感知出發(fā)，結(jié)合抽象認(rèn)知，最終歸納問題解決的結(jié)論，體現(xiàn)了其問題解決過程中步驟的合理性，也符合中學(xué)生心理認(rèn)知結(jié)構(gòu)和問題處理從特殊到一般的方式.

2.函數(shù)性質(zhì)

函數(shù)有很多性質(zhì)，其落實(shí)到抽象為載體的函數(shù)中，學(xué)生對性質(zhì)就不能迅速的理解.教師教學(xué)中要使用合適的策略，使學(xué)生能從特殊的模型進(jìn)而認(rèn)知抽象的函數(shù)性質(zhì).我們知道，函數(shù)具備了軸對稱性和中心對稱性，以具體函數(shù)模型為例：f（x）=x2和g（x）=x顯然具備了上述性質(zhì)，將其轉(zhuǎn)換為抽象表述，即f（-x）=f（x）以及g（-x）=-g（x），學(xué)生對這一具有具體解析式的函數(shù)模型結(jié)合抽象性質(zhì)的理解還是比較到位的.將性質(zhì)的認(rèn)識提高到抽象程度，并一般化：

（1）函數(shù)y=f（x）滿足f（a+x）=f（b-x），則函數(shù)y=f（x）的圖像關(guān)于____________對稱.

（2）函數(shù)y=f（x）滿足f（a+x）+f（a-x）=2b，則函數(shù)y= f（x）的圖像關(guān)于____________對稱.

函數(shù)性質(zhì) 具體感知類比抽象再現(xiàn)f（a+x）=f（b-x） 令f（x）=x2驗(yàn)證 直線x=a+b 2對稱f（a+x）+f（a-x）=2b 令f（x）=x驗(yàn)證 點(diǎn)（a，b）對稱

說明：通過函數(shù)具體模型，讓學(xué)生進(jìn)一步通過具體模型驗(yàn)證抽象表達(dá)式所表示性質(zhì)的正確性，通過這一具體感知進(jìn)而認(rèn)知抽象結(jié)論.對學(xué)生而言，如何在沒有具體模型的基礎(chǔ)上以后理解這一抽象性質(zhì)呢？筆者認(rèn)為需要加強(qiáng)理解：以f（a+x）=f（b-x）為例，令x1=a+x，x2=b-x，則f（x1）=f（x2），對任意的x進(jìn)行變換，我們可知自變量中點(diǎn)為不變量，而函數(shù)值（fx）=（fx），因此12隨著x進(jìn)行變換，顯然（fx）永遠(yuǎn)有對稱軸x）+f（a-x）=2b類似理解.從POE策略我們看出，對于問題的有效感知是前提，只有有有效的感知才能加強(qiáng)其抽象的理解，進(jìn)而形成知識的鞏固，這一策略在抽象數(shù)學(xué)教學(xué)中起著較大的作用.

三、POE策略下的具體數(shù)學(xué)教學(xué)

POE也能在具體形態(tài)的數(shù)學(xué)知識中實(shí)施，筆者以線性規(guī)劃為例說明.

1.感知回顧

在學(xué)習(xí)了二元一次不等式（組）及其表示的區(qū)域……并且體會到在實(shí)際問題中的應(yīng)用前景，感受到其重要性.首先一起回顧一下這些知識和方法：滿足二元一次不等式組的x和y的取值構(gòu)成有序數(shù)對（x，y），所有這樣的有序數(shù)對（x，y）構(gòu)成的集合稱為二元一次不等式組的解集.回顧：其一，二元一次不等式Ax+By+C＞0在平面直角坐標(biāo)系中表示直線Ax+By+C=0某一側(cè)所有點(diǎn)組成的平面區(qū)域；其二，二元一次不等式表示哪個平面區(qū)域的判斷方法.

2.觀察思考

思考：當(dāng)z取不同值的時候，相對直線l0：2x+y=0而言，直線z=2x+y是向上平移了還是向下平移了？通過對z取特殊值，使學(xué)生對圖像的變化有深刻的感受，從而得到隨著z的值增大（或減?。本€l0會逐漸向上（或向下）平移；同樣，當(dāng)直線l0向上（或向下）平移時，z的值也會隨著增大（或減?。?現(xiàn)在將上面的不等式組表示成平面上的區(qū)域，作直線l0：2x+y=0，然后作一組與直線l0平行的直線直線l：2x+y=t，t∈R.通過圖像可以看出，直線l越往右移，t隨之增大.從而得到zmax=2×5+2=12，zmin=2×1+1=3.

3.訓(xùn)練歸納

歸納：知識線：（1）線性規(guī)劃的含義；（2）線性規(guī)劃相關(guān)概念：目標(biāo)函數(shù)、可行解、可行域、最優(yōu)解等基本概念.思想方法線：（1）建模思想方法；（2）等價轉(zhuǎn)化思想；（3）數(shù)形結(jié)合思想.

說明：本課是對于線性歸納基礎(chǔ)概念的講解，在一元二次不等式組基礎(chǔ)上的加深，學(xué)生通過回顧—新知—?dú)w納這一策略（POE具體形態(tài)知識中的運(yùn)用），了解掌握圖解法求解最優(yōu)解.POE策略具體實(shí)施中，筆者并未詳細(xì)講述，而是以學(xué)案式學(xué)生探求為主的模式，學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中得到了一定的自主精神和成功喜悅，也感受了代數(shù)問題圖形化解決的數(shù)形結(jié)合思想的運(yùn)用.通過POE策略充分調(diào)動學(xué)生的多種感官，達(dá)到教學(xué)要求，通過課堂練習(xí)大部分學(xué)生掌握了這一知識.

總之，POE策略正是通過預(yù)測暴露學(xué)生的前概念，通過感知認(rèn)識使學(xué)生的認(rèn)知發(fā)生沖突，通過辯解、討論、類比最終實(shí)現(xiàn)學(xué)生的知識的轉(zhuǎn)變.這符合學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展規(guī)律，與傳統(tǒng)的教學(xué)策略相比在教學(xué)效果上具有明顯的優(yōu)越性.

1.任英杰.促進(jìn)小學(xué)生“迷思概念”轉(zhuǎn)變的POE策略及案例分析［J］.基礎(chǔ)教育研究，2008（2）.

2.顧江鴻，等.預(yù)測—觀察—解釋——一種基于現(xiàn)代教育研究的演示策略［J］.教育科學(xué)研究，2009（5）.

3.趙國敏.化學(xué)概念轉(zhuǎn)變教學(xué)中PEODE策略的探索和嘗試［J］.化學(xué)教學(xué)，2014（4）.