忽如一夜春風(fēng)來(lái) 素養(yǎng)之花遍地開(kāi)
——從高中數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的視角看2016年浙江高考數(shù)學(xué)試題

☉浙 江 師 范 大 學(xué) 朱偉義☉浙江師范大學(xué)特級(jí)教師工作流動(dòng)站 曹鳳山

忽如一夜春風(fēng)來(lái) 素養(yǎng)之花遍地開(kāi)
——從高中數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的視角看2016年浙江高考數(shù)學(xué)試題

☉浙 江 師 范 大 學(xué) 朱偉義☉浙江師范大學(xué)特級(jí)教師工作流動(dòng)站 曹鳳山

數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)已成為熱詞.詞是新的，而基于數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的實(shí)踐與考試評(píng)價(jià)不是一夜之間突然冒出來(lái)的，核心素養(yǎng)的提出，是對(duì)昨天教育教學(xué)實(shí)踐的提煉，更是對(duì)明天的期待.鑒于目前我國(guó)教育教學(xué)的現(xiàn)實(shí)，以考試評(píng)價(jià)的杠桿撬動(dòng)教學(xué)改革往往很有效.高考試題命題范式已經(jīng)經(jīng)歷了政治立意、知識(shí)立意、能力立意三個(gè)階段，以后的命題勢(shì)必轉(zhuǎn)化為素養(yǎng)立意.從核心素養(yǎng)考查的角度理解高考試題，對(duì)以后的教育教學(xué)就有重要的現(xiàn)實(shí)意義.下面試從數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的視角解讀2016浙江高考數(shù)學(xué)試題.

一、核心素養(yǎng)的考查是注重基礎(chǔ)、數(shù)學(xué)本質(zhì)的考查

知識(shí)與技能是素養(yǎng)的載體，數(shù)學(xué)素養(yǎng)首先表現(xiàn)為考生對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)與技能的掌握情況.

以理科試卷為例，從知識(shí)點(diǎn)分布看，《說(shuō)明》要求的各知識(shí)模塊都有考查，知識(shí)覆蓋面較大.對(duì)支撐中學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)體系的重點(diǎn)知識(shí)重點(diǎn)考查，分?jǐn)?shù)占有較大的比重，如理科的立體幾何、解析幾何、三角函數(shù)、函數(shù)、不等式以及數(shù)列等，在知識(shí)的交匯點(diǎn)上下工夫，如理科的不等式部分，結(jié)合解不等式、線性規(guī)劃、大小比較、絕對(duì)值、向量運(yùn)算及幾何意義、函數(shù)與方程、數(shù)列等有關(guān)知識(shí)加以考查.文科的試卷也有類似的特點(diǎn).

2016年浙江省高考數(shù)學(xué)（理科）各模塊分值分布與考查內(nèi)容分析

知識(shí)模塊 分值比重考查內(nèi)容集合與常用邏輯用語(yǔ) 10 7 集合的交、并、補(bǔ)運(yùn)算；含有一個(gè)量詞的命題的否定函數(shù) 21 14對(duì)數(shù)運(yùn)算；二次函數(shù)、絕對(duì)值函數(shù)的單調(diào)性、最值以及分類討論、數(shù)形結(jié)合、化歸與轉(zhuǎn)化思想等

三角函數(shù) 25 17三角函數(shù)有關(guān)概念、簡(jiǎn)單的恒等變形；正弦、余弦公式、三角形面積公式等平面向量 4 3 平面向量的有關(guān)概念、數(shù)量積及其幾何意義等數(shù)列 16 10 數(shù)列的基本概念；an與Sn的關(guān)系、等比數(shù)列求和；數(shù)列為載體的推理與證明不等式 20 13 線性規(guī)劃；絕對(duì)值不等式；不等式證明立體幾何 30 20空間線、面位置關(guān)系判斷；三視圖以及表面積、體積計(jì)算；空間位置關(guān)系證明以及二面角求解解析幾何 24 16橢圓、雙曲線離心率；拋物線的概念與性質(zhì)；直線與橢圓、圓與橢圓的位置關(guān)系150 100

高考命題一方面重點(diǎn)關(guān)注“主干知識(shí)”，同時(shí)，也兼顧各知識(shí)板塊的考查權(quán)重.高考命題在進(jìn)行考查內(nèi)容抽樣時(shí)，關(guān)注的是如何使得所抽取的樣本能夠最大程度地檢測(cè)考生作為未來(lái)公民所必要的數(shù)學(xué)素養(yǎng)的達(dá)成程度，而不是完全拘泥于知識(shí)的選取或知識(shí)與知識(shí)的機(jī)械組合，關(guān)注點(diǎn)是高中數(shù)學(xué)知識(shí)所涵蓋的數(shù)學(xué)素養(yǎng)的完整性.

無(wú)知?jiǎng)t無(wú)能.基礎(chǔ)是素養(yǎng)的保證，是以后發(fā)展的基石，是高考的考查重點(diǎn)所在.沒(méi)有基礎(chǔ)就談不上素養(yǎng)，高考以素養(yǎng)立意并不意味著高考試題絕對(duì)難度的整體提升.

案例1（文科第15題）已知平面向量a，b，|a|=1，|b|= 2，a·b=1.若e為平面單位向量，則|a·e|+|b·e|的最大值是______.

解析：一些考生把它當(dāng)成一道計(jì)算題，甚至看到有老師也是用很長(zhǎng)的篇幅算出結(jié)果.

圖1

實(shí)際上，由|a|=1，|b|=2，a· b=1易得＜a，b＞=60°，|a·e|+|b·e|表示向量a，b在單位向量上的投影的和，如圖1，OB1+B1C1= OC1，當(dāng)單位向量與a+b共線時(shí)，投影為OC，明顯地，|OC1|≤|OC|，即當(dāng)且僅當(dāng)單位向量與a，b共線時(shí)|a·e|+|b·e|最大，這時(shí)∠OBC=120°，則|a·e|+|b·e|的最大值是理科第15題難度相比文科較大，但考查手法如出一轍，顯示出命題人對(duì)考查數(shù)學(xué)本質(zhì)的執(zhí)著追求.

數(shù)學(xué)是簡(jiǎn)單的，數(shù)學(xué)是自然的，數(shù)學(xué)是講道理的，因?yàn)閿?shù)學(xué)是建立在概念、定理基礎(chǔ)上的.數(shù)字嚴(yán)密的刻畫(huà)，具體生動(dòng)的形象，具體情境下的應(yīng)用顯示了數(shù)學(xué)概念、原理理解下的數(shù)學(xué)的價(jià)值，是數(shù)學(xué)素養(yǎng)的基礎(chǔ).

二、核心素養(yǎng)是注重?cái)?shù)學(xué)思想方法的考查

凸顯數(shù)學(xué)思想方法的考查，寓思想方法的考查于基礎(chǔ)知識(shí)的考查之中，重要的思想方法在不同題型中以不同的方式考查.重點(diǎn)考查的數(shù)學(xué)思想方法，如數(shù)形結(jié)合思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想、函數(shù)與方程思想、分類討論思想等.

圖2

解析：試題難度不大，細(xì)細(xì)思考倒也別有風(fēng)味.首先畫(huà)出可行域，如圖2，求兩條平行直線間的距離的最小值可以考慮以下不同路徑：（1）求出兩個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，求出兩條平行線；（2）求出兩個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，求出一條線；（3）求出兩個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，不求線.

注意到x+y-3=0的斜率為-1，與斜率為1的直線互相垂直，A，B兩點(diǎn)間的距離即要求的直線間的距離.數(shù)形結(jié)合，要充分發(fā)揮形的直觀與數(shù)的精確兩方面的優(yōu)勢(shì)，做“給出的題（數(shù)、形）”，而不是解一般的題.本題中數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想運(yùn)用作用十分明顯.兩個(gè)交點(diǎn)A（1，2），B（2，1），這時(shí)理科的第3題命題思路如出一轍，可見(jiàn)，命題人對(duì)數(shù)學(xué)思想方法的考查是刻意為之，是命題著重考慮的問(wèn)題之一.

案例3（文科第12題）設(shè)函數(shù)f（x）=x3+3x2+1.已知a≠0，且f（x）-f（a）=（x-b）（x-a）2，x∈R，則實(shí)數(shù)a= _______，b=______.

解析：也許一些考生會(huì)被表面的三次方搞懵，沒(méi)有完整地學(xué)習(xí)三次函數(shù)的性質(zhì)?。〗o出的是函數(shù)，有待求的未知數(shù)，不正是運(yùn)用函數(shù)與方程思想的題材.

由f（x）-f（a）=x3+3x2+1-a3-3a2-1=（x-a）［x2+（a+3）x+ a2+3a］=（x-a）（x-a）（x-b），可知a，b應(yīng)是方程x2+（a+3）x+ a2+3a=0的根，因此有x2+（a+3）a+a2+3a=0，解得a=-2或a=0（舍）.于是f（x）-f（a）=（x+2）2（x+1），可得a=-2，b=1.

當(dāng)然，也可以直接考慮待定系數(shù)法：因?yàn)閒（x）-f（a）= a3+3x2+1-a3-3a2-1=x3+3x2-a3-3a2，

且（x-b）（x-a）2=x3-（2a+b）x2+（a2+2ab）x-a2b，

證明：（Ⅰ）f（x）≥1-x+x2；

表面上涉及三次函數(shù)、分式函數(shù)，實(shí)際上，比較大小的根本大法是比差Ⅰ）迎刃而解；（Ⅱ）中，注意到（Ⅰ）f（x）≥1-x+x2，左邊配方即可證明，右邊不用任何技巧，直接作差，由x∈［0，1］得x4≤x3≤x≤1，2x4+x3-3x≤0，x3-1≤0，故，順利求解，體現(xiàn)出考數(shù)學(xué)思想方法而不是考知識(shí)記憶、考數(shù)學(xué)素養(yǎng)而不是考模式套路的特點(diǎn).數(shù)學(xué)背景的新穎才可以真實(shí)地檢測(cè)應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)、思想解決問(wèn)題的水平，體現(xiàn)真正的數(shù)學(xué)素養(yǎng)的差異.

案例4（理科第18題）設(shè)a≥3，函數(shù)F（x）=min｛2|x-1|，x2-2ax+4a-2｝，其中

（Ⅰ）求使得等式F（x）=x2-2ax+4a-2成立的x的取值范圍.

（Ⅱ）（i）求F（x）的最小值m（a）；

（ii）求F（x）在［0，6］上的最大值M（a）.

解析：記f（x）=2|x-1|，g（x）=x2-2ax+4a-2，根據(jù)題意為了確定f（x）、g（x）的關(guān)系，首先依托圖形確定思路.注意到g（x）過(guò)定點(diǎn)（2，2），該定點(diǎn)又恰好在f（x）右支上，如圖3，只要解出折線右支y= 2（x-1）與二次函數(shù)的右交點(diǎn)，方程2（x-1）=x2-2ax+4a-2，即x2-2（a+ 1）x+4a=0，一根已知，求解另一個(gè)根可以直接寫(xiě)出x=2a，故所求取值范圍為［2，2a］；形的直觀與數(shù)的準(zhǔn)確（點(diǎn)（2，2）），數(shù)與形互幫互助，自然快捷.

圖3

（Ⅱ）（i）由于二次函數(shù)的對(duì)稱軸x=a≥3，函數(shù)的最小值取決于min｛0，g（a）｝=min｛0，-a2+4a-2｝，下面就是簡(jiǎn)單的比較大小.

圖4

（ii）求F（x）在［0，6］上的最大值M（a），根據(jù)圖4可以看出，最大值的可能位置有三個(gè)，只要確定max｛f（0），f（2），g（6）｝=max｛2，34-8a｝，問(wèn)題也就很簡(jiǎn)單.19題一題三問(wèn)，含有參數(shù)，看起來(lái)挺復(fù)雜，實(shí)際上，只要思想清晰，數(shù)形結(jié)合，分類討論，不斷的轉(zhuǎn)化問(wèn)題，無(wú)論是解方程或者是不等式，計(jì)算量都很少.試題出發(fā)點(diǎn)重在數(shù)學(xué)思想方法.

三、核心素養(yǎng)的考查重在體現(xiàn)中學(xué)數(shù)學(xué)的六大核心素養(yǎng)的考查

即將頒布的《課程標(biāo)準(zhǔn)》中明確了中學(xué)數(shù)學(xué)的6個(gè)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)：數(shù)學(xué)抽象，邏輯推理，數(shù)學(xué)建模，數(shù)學(xué)運(yùn)算，直觀想象，數(shù)據(jù)分析.根據(jù)現(xiàn)行的課程標(biāo)準(zhǔn)下的高考，也可以看出以上核心素養(yǎng)的影子.核心素養(yǎng)的特點(diǎn)不同，考查側(cè)重互異，限于篇幅，這里僅就數(shù)學(xué)運(yùn)算這一大家比較關(guān)注的核心素養(yǎng)為例加以分析.

1.觀察發(fā)現(xiàn)，多思少算

圖5

案例5（理科第14題）如圖5，在△ABC中，AB= BC=2，∠ABC=120°.若平面ABC外的點(diǎn)P和線段AC上的點(diǎn)D，滿足PD=DA，PB=BA，則四面體PBCD的體積的最大值是_______.

解析：試題越來(lái)越注重考查學(xué)生的思維能力，計(jì)算不可或缺，但不再是煩瑣量大的計(jì)算，更注重的是要求學(xué)生在短時(shí)間內(nèi)開(kāi)放思維，探索問(wèn)題的本質(zhì).S△BCD的面積一邊、一角已經(jīng)確定，取決于CD，四面體的高取決于PD，猜想，點(diǎn)D位于AC的中點(diǎn)時(shí)所求體積最大，這時(shí)平面PBD⊥平面ABC.實(shí)際上，設(shè)PD=AC=x，h為三棱錐P-BCD的高，因?yàn)镻B=PA，△PBD≌△ABD，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立VP-BCD最大值為

解析：該題與案例5有異曲同工之妙.根據(jù)已知條件及雙曲線的定義，|PF1|+|PF2|=2|PF2|+2，△F1PF2為銳角三角形，考慮兩個(gè)極端位置：直角三角形△F1P1F2，△F1P2F2，兩種情況下可以分別求出，進(jìn)而得到所求的取值范圍為

2.利用特值，多思少算

案例7（文科第6題）已知函數(shù)f（x）=x2+bx，則“b＜0”是“f（f（x））的最小值與f（x）的最小值相等”的（ ）

A.充分不必要條件 B.必要不充分條件

C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件

解析：本題充分條件的判斷相對(duì)簡(jiǎn)單，必要條件的判斷則需要一定靈活性，可以考慮比較特殊的情況，如b=0時(shí)，f（x）=x2，f（f（x））=x4，兩個(gè)函數(shù)的最小值相等，不能推出b＜0，故選A.

案例8（理科第8題）已知實(shí)數(shù)a，b，c

A.若|a2+b+c|+|a+b2+c|≤1，則a2+b2+c2＜100

B.若|a2+b+c|+|a2+b-c|≤1，則a2+b2+c2＜100

C.若|a+b+c2|+|a+b-c2|≤1，則a2+b2+c2＜100

D.若|a2+b+c|+|a+b2-c|≤1，則a2+b2+c2＜100

解析：本題是大家一致反映比較難的一道題.教師的“難”主要是對(duì)背景的探索、一般方法的思考，學(xué)生主要難在形式不能進(jìn)入計(jì)算.實(shí)際上，在考場(chǎng)上，只要取特殊值即可.如a=b=10，c=-110，排除A；a= 10，b=-100，c=0，排除B；a=100，b=-100，c=0，排除C.

另外，通過(guò)數(shù)形結(jié)合、設(shè)而不求等多種方法的應(yīng)用，充分體現(xiàn)重點(diǎn)考查思維品質(zhì)，減少計(jì)算量.

圖6

由以上案例分析可以發(fā)現(xiàn)，數(shù)學(xué)離不開(kāi)計(jì)算，素養(yǎng)下的數(shù)學(xué)運(yùn)算是指在明晰運(yùn)算對(duì)象的基礎(chǔ)上，依據(jù)運(yùn)算法則解決數(shù)學(xué)問(wèn)題.主要包括：理解運(yùn)算對(duì)象，掌握運(yùn)算法則，探究運(yùn)算方向，選擇運(yùn)算方法，設(shè)計(jì)運(yùn)算程序，求得運(yùn)算結(jié)果.重在運(yùn)算法則的掌握、運(yùn)算方向的探究、方法的選擇，也就是“多一點(diǎn)想、少一點(diǎn)算”.

基于核心素養(yǎng)視角的教育教學(xué)將是今后相當(dāng)長(zhǎng)時(shí)間段內(nèi)的熱點(diǎn)，數(shù)學(xué)教學(xué)勢(shì)必由知、能視角下的教學(xué)轉(zhuǎn)變?yōu)橛幸庾R(shí)的核心素養(yǎng)的教學(xué).關(guān)注核心素養(yǎng)下的數(shù)學(xué)教學(xué)是每一位數(shù)學(xué)教師義不容辭的責(zé)任.教學(xué)一線的教師不僅要明確核心素養(yǎng)的重要性，關(guān)鍵是弄清數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的內(nèi)涵，探索數(shù)學(xué)知識(shí)教學(xué)與數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)培育之間的途徑，歸納、總結(jié)基于數(shù)學(xué)知識(shí)教學(xué)提升數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的方法和策略.

基于多次教改的經(jīng)驗(yàn)，離開(kāi)具體知識(shí)教學(xué)的支撐，核心素養(yǎng)的形成就會(huì)落空.知、能教學(xué)的成功經(jīng)驗(yàn)、三維目標(biāo)有效地落實(shí)舉措不能偏廢，還要繼續(xù)發(fā)揚(yáng)光大，數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng)只能是“第三個(gè)包子”，前面兩個(gè)“包子”“個(gè)大質(zhì)優(yōu)”才有“第三個(gè)包子”的完美效果.

1.柯躍海，陳清華.高考數(shù)學(xué)：命題目標(biāo)的確立與實(shí)現(xiàn)［J］.數(shù)學(xué)通報(bào)，2013（1）.

2.何小亞.學(xué)生“數(shù)學(xué)素養(yǎng)”指標(biāo)的理論分析［J］.數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2015（1）.

3.陳昂，單旭峰，任子朝.我國(guó)高考命題的范式和范式轉(zhuǎn)換研究［J］.中國(guó)高教研究，2015（3）.