數(shù)學“微專題”復習：尺寸之內(nèi)做文章

☉江蘇省淮安市淮海中學 王開林

數(shù)學“微專題”復習：尺寸之內(nèi)做文章

☉江蘇省淮安市淮海中學 王開林

傳統(tǒng)的數(shù)學復習課教學一般是沿襲“練習+模仿記憶”的套路，試圖把所學知識點、技能點用題型加以覆蓋，將解題策略規(guī)則化，以便憑借“面積大”來提升覆蓋所考試題.這種復習方式過度強調(diào)機械的記憶與模仿，雖然短期效果明顯，但容易導致“題海戰(zhàn)術(shù)”、思維僵化等不良后果.復習不應該只是對已有知識的再回顧，更應該是對知識系統(tǒng)的再建構(gòu)、再完善.依托主題明確、極具針對性的“微專題”進行復習，可以促進學生的深度學習，從而有利于學生獲得清晰的數(shù)學知識網(wǎng)絡、系統(tǒng)的數(shù)學研究方法，加深對數(shù)學的理解.“微專題”是指圍繞一兩個緊密相關(guān)的知識或思想方法而形成的一個專項研究.相對于大專題，“微專題”還可以理解為針對某個特定目標，結(jié)合學情設計的能夠在短時間內(nèi)專門解決的問題集.“微專題”教學條理清楚不零散，結(jié)構(gòu)簡潔有深度，可以做到“簡約而不簡單”.著名特級教師李金蛟對它的評價是：“切口小，尺寸之內(nèi)做文章.”①那么，微專題教學到底能做哪些文章呢？

一、“集中火力”，突破難點

講解面面俱到，“一口吃個胖子”是傳統(tǒng)數(shù)學復習課的弊端.正所謂“欲速則不達”，數(shù)學復習應該“集中火力”，逐個突破難點.微專題的選題不求面面俱到，而是要結(jié)合復習的目標要求，針對學生在復習中暴露出的在知識、方法和能力等方面的薄弱環(huán)節(jié)，以學生復習中的“問題”促“專題”的生成，力求解決學生學習中的難點.

微專題——平面向量共線定理的應用

【精選例題】

圖1

（2）在線段AC上取一點E，線段BD上取一點F，使EF過M點，設求證段AB交于圓內(nèi)一點M，若則OM的長度為_______.

圖2

點評：“平面向量共線定理應用”選題視角比較小，能夠凸顯“微專題”的特征.此定理的雖然內(nèi)容簡單，但應用廣泛，是解決平面幾何中點、線位置關(guān)系問題的重要工具.對于學生而言，能夠理解定理，但無法做到靈活應用.

【變式訓練】

圖3

變式2 如圖4所示，A、B、C是圓O上的三點，CO的延長線與線段BA的延長線交于圓O外的點D，若則m+n的取值范圍是（ ）.

圖4

A.（0，1） B.（1，+∞）

C.（-∞，-1） D.（-1，0）

點評：題目的思考角度與解題方法的多樣，不會令學生感到無從下手；題目之間具有層次性，由淺入深逐步展開，這種層次不僅體現(xiàn)在邏輯上，還體現(xiàn)出思維生成的層次.兩道例題+兩個變式，題目數(shù)量雖然不多，但它對于“平面向量共線定理”解題功能及應用技巧揭示綽綽有余.

二、“增進互動”，提升效率

復習課的模式很多，它們都有一個共同的特點，那就是學生參與度高.美國學者埃德加·戴爾提出的金字塔理論：對同樣的學習內(nèi)容，讀能夠記住10%，聽能夠記

例2 如圖2所示，點A、B、C是半徑為1的圓O上的三點，線段OC與線住20%，看能夠記住30%～50%，這些都是被動學習方式.參與討論，發(fā)言能夠記住70%；做報告，給別人講，親身體驗，動手做能夠記住90%，這些是主動學習.“微專題”因其“身輕”而靈活，師生互動多，學生參與率高，突出了學生主動學習與主動探究，因此教學成效突出.

微專題——揭開“分段函數(shù)”的面紗

意圖：通過“構(gòu)造”個思維活動既可以呈現(xiàn)學生對分段函數(shù)的原有認知，又可以進一步明確分段函數(shù)的定義與特征.教師采取了小組合作的探究方式，并且要求每個小組舉出符合要求的分段函數(shù).

意圖：讓學生在構(gòu)造中主動發(fā)現(xiàn)分段函數(shù)單調(diào)性的實質(zhì)；通過小組合作學習方式有利于集中群體智慧，快速達成學習任務.

意圖：通過增加“原料”函數(shù)的數(shù)量進一步豐富分段函數(shù)的類型，有利于歸納分段函數(shù)奇偶性的特點.同樣采用小組合作的學習方式，讓學生寫出盡可能多的符合要求的分段函數(shù).

點評：合作學習可以解決個體無法解決的疑難，通過小組討論、互相啟發(fā)，達到優(yōu)勢互補，共同解決疑難.合作學習使學生思維的火花得到完美的綻放，實現(xiàn)了教師與學生、學生與學生、教師與教師的多邊互動，從而使課堂呈現(xiàn)百家爭鳴的新氣象.

三、“構(gòu)建模型”，優(yōu)化思維

將復雜的數(shù)學問題去掉非本質(zhì)的部分，抽象出解決問題的思維本質(zhì)，即“建?！?“模型”是“扶手”，是“臺階”，建立思維模型對知識模塊化、能力系統(tǒng)化有著重要作用.數(shù)學學習從某種意義上說是模型的學習.教師圍繞一些具體問題的解決抽象出數(shù)學模型，并結(jié)合數(shù)學模型的遷移、應用設置“微專題”，有利于學生感悟數(shù)學本質(zhì)，優(yōu)化解題思維.

微專題——函數(shù)模型視角下的等差數(shù)列

例1 已知數(shù)列｛an｝是等差數(shù)列，ap=q，aq=p，且p≠q，求ap+q.

解析：作出等差數(shù)列通項公式所表示的函數(shù)圖像，如圖5，通過觀察與分析，很容易得到ap+q=0.

圖5

問題1 你能從圖像解法中看出等差數(shù)列的通項具有怎樣的本質(zhì)特征？

問題2（1）等差數(shù)列｛an｝的通項一定是關(guān)于n的一次函數(shù)嗎？

（2）an=an+b是｛an｝為等差數(shù)列的什么條件？

問題3 能否根據(jù)對應的一次函數(shù)的單調(diào)性判斷出等差數(shù)列的增減性？

例2 已知數(shù)列｛an｝是等差數(shù)列前n項和為Sn，Sp=Sq，且p≠q，求Sp+q.

解析：方法同上，通過二次函數(shù)圖像，直接得到結(jié)果.

問題1 等差數(shù)列｛an｝的前n項的和Sn一定是關(guān)于n的二次函數(shù)嗎？

問題2 Sn=an2+bn+c是｛an｝為等差數(shù)列的什么條件？

問題3 能否利用對應的二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)求Sn的最值？

點評：以上兩道經(jīng)典習題分別從等差數(shù)列的通項公式與一次函數(shù)模型的關(guān)系、求和公式與二次函數(shù)模型的關(guān)系入手，讓學生結(jié)合“問題串”思考、探究，以理解數(shù)列的本質(zhì)是特殊的函數(shù)；讓學生通過比較，體驗利用這種本質(zhì)特征解數(shù)列題的優(yōu)越性，并了解基本的運用方法，建構(gòu)等差數(shù)列的函數(shù)模型，體會數(shù)列與函數(shù)之間本質(zhì)的一致性.

“微專題”教學具有“因微而準、因微而細、因微而深”等特點，能起到“見微知著”的作用.利用“微專題”復習要做好以下四個方面的工作：首先，選題應精準，既體現(xiàn)計劃性又不失變化性，瞄準重點、難點，教學目標，依據(jù)學生的實際需求，設計既有典型性、基礎(chǔ)性，又具有拓展性的微專題；其次，對同一個微專題，可能有不同的教學切入點，我們應選擇一個適合學生認知規(guī)律、有利于揭示題目之間本質(zhì)聯(lián)系切入點，這樣有助于學生生成對這類問題的整體認知；再次，操作方式要靈活多樣，給予學生展示、交流的機會，增加變式，激發(fā)學生學習動機；最后，專題復習注重過程管理，學生出現(xiàn)問題要追本窮源，問題的產(chǎn)生是源于思維方式、解題方法還是基礎(chǔ)識記，從而有針對性地解決問題.

1.王開林.解題教學活動應注重培養(yǎng)學生的數(shù)學思維品質(zhì)［J］.數(shù)學教學研究，2015（6）.

2.殷孝鋒.見“微”知著——微專題在數(shù)學思維訓練中的應用［J］.中學數(shù)學月刊，2016（1）.

3.呂增鋒，裘燕娜.在構(gòu)造中發(fā)現(xiàn)，在合作中提煉——高一“分段函數(shù)”教學嘗試［J］.中學數(shù)學（上），2016（1）.

4.曾榮.“微專題”復習：促進深度學習的有效方式［J］.教育研究與評論，2016（4）.