從提高學(xué)生運算能力的角度談數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng)
——以高三復(fù)習(xí)為例

☉江蘇省黃埭中學(xué) 蔣智東

從提高學(xué)生運算能力的角度談數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng)
——以高三復(fù)習(xí)為例

☉江蘇省黃埭中學(xué) 蔣智東

隨著基礎(chǔ)教育課程改革的不斷深入，學(xué)生素養(yǎng)的培養(yǎng)越來越為人們所關(guān)注.就數(shù)學(xué)學(xué)科而言，學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的提高，特別是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng)，已經(jīng)引起許多數(shù)學(xué)教師的思考和探索.核心素養(yǎng)是指學(xué)生借助學(xué)校教育所形成的解決問題的素養(yǎng)與能力.數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)者在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)或?qū)W習(xí)數(shù)學(xué)某一個領(lǐng)域所應(yīng)達(dá)成的綜合性能力.與高中數(shù)學(xué)相關(guān)的核心素養(yǎng)主要包括：學(xué)會學(xué)習(xí)、應(yīng)用能力、創(chuàng)新意識、數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運算、幾何直觀、數(shù)據(jù)分析，其中前三項為通識素養(yǎng)，后六項為數(shù)學(xué)素養(yǎng).數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)是數(shù)學(xué)的教與學(xué)過程應(yīng)當(dāng)特別關(guān)注的基本素養(yǎng).

章建躍博士認(rèn)為：數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的基本任務(wù)是學(xué)會運算和推理，運算離不開推理，推理在高中乃至整個基礎(chǔ)教育階段的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的展現(xiàn)形式就是運算.“能推理、會運算”是從數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中養(yǎng)成的基本素質(zhì).近年來，各地的高考試題一直關(guān)注對數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)中的運算能力的考查，要求考生在理解、應(yīng)用、實施運算過程中，分析運算條件、探究運算方向、選擇運算方法、設(shè)計運算程序（考查算法算理）.運算能力的培養(yǎng)與學(xué)生的素養(yǎng)相輔相成，主體上無法靠簡單的訓(xùn)練形成，在高三復(fù)習(xí)過程中需要重視以下幾個操作層面.

一、著眼于扎實的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識和基本技能

落實基本概念、公式、法則的理解是思維和運算的“基元”.在數(shù)學(xué)教學(xué)中，讓學(xué)生牢固掌握運算所需要的概念、公式、法則是運算的前提.

例1 已知數(shù)列｛an｝是等比數(shù)列，其前n項和為Sn，若Sn+1，Sn，Sn+2成等差數(shù)列，則公比q的值為______.

在列出等式2Sn=Sn+1+Sn+2后，利用數(shù)列前n項和定義有：2Sn=Sn+an+1+Sn+an+1+an+2，即0=an+1+an+1+an+2，所以q=-2.方法簡明，體現(xiàn)了對定義的理解.在理解概念的基礎(chǔ)上自覺用來進行運算，說明學(xué)生這方面具備一定的數(shù)學(xué)素養(yǎng).個別學(xué)生往往會按照慣性利用等比數(shù)列前n項和公式來求解，過程相對煩瑣，而且容易忽視q=1的情形.說明運算方面的素養(yǎng)仍需提高.

除了熟記活用概念、公式外，對于一些典型問題的結(jié)論和方法也要非常熟悉，更要弄清楚這些典型問題的結(jié)構(gòu)和背景，使其結(jié)論能夠生發(fā)、方法能夠遷移，成為運算的“助推器”.

例2 如圖1，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別為橢圓的左、右焦點，B，C分別為橢圓的上、下頂點，直線BF2與橢圓的另一個交點為D，若則直線CD的斜率為______.

圖1

在復(fù)習(xí)過程中學(xué)生可在教師的帶領(lǐng)下，或自主將知識歸類整理，把知識對應(yīng)的問題及解法進行梳理、歸納，使得解法模式化，適度重復(fù)使用，形成技能，便于遇到問題時能在短時間內(nèi)檢索、篩選，獲得解題的思路.從會學(xué)習(xí)的角度看，學(xué)生就獲得了數(shù)學(xué)素養(yǎng)的提高.

二、突出數(shù)學(xué)思想和方法的教學(xué)，提倡在理解的基礎(chǔ)上創(chuàng)新

必須突出數(shù)學(xué)思想和方法的教學(xué)，使學(xué)生在把握問題、理解問題的基礎(chǔ)上有所創(chuàng)新.要重視培養(yǎng)學(xué)生的觀察能力、分析能力、抽象概括能力、推理論證能力等，要加強特殊化、一般化、類比推廣、從反面考慮問題、構(gòu)造法等基本數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)；向?qū)W生適當(dāng)介紹有關(guān)創(chuàng)造性方法學(xué)、科學(xué)方法論等知識，啟發(fā)學(xué)生的積極思維，開闊視野.同時，要幫助學(xué)生建立良好的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)和培養(yǎng)廣泛遷移能力，要重視數(shù)學(xué)知識與應(yīng)用的發(fā)生過程，重視知識間的有機聯(lián)系，把整體學(xué)習(xí)與局部學(xué)習(xí)有機結(jié)合起來.

例3 在平面直角坐標(biāo)系xOy中，以點（1，0）為圓心且與直線mx-y-2m-1=0（m∈R）相切的所有圓中，半徑最大的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為_____.

例4 設(shè)t∈R，若x>0時均有（tx-1）［x2-（t+1）x-1］≥0，則實數(shù)t的值等于為_________.

令f（x）=tx-1，g（x）=x2-（t+1）x-1，g（x）的兩個零點x1< 00，f（x）的零點也為x2時不等式恒成立.將代入g（x）=0解得解得

如果就單純來解不等式，往往需要分類討論，中間環(huán)節(jié)對問題的理解、運算都需要較強的功底.但是，在審題時，如果注意到不等式左邊是兩個因式相乘的形式，聯(lián)想因式對應(yīng)的函數(shù)，那么對不等式就有很直觀的認(rèn)識，解法自然就會流暢很多.在解決某些規(guī)律性較強的問題時，需要學(xué)生牢固掌握一些基本方法，形成一定的思維習(xí)慣，樹立應(yīng)用數(shù)學(xué)思想方法解題的意識.

數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)不僅是指數(shù)學(xué)知識的獲得與積累，更重要的是使個體形成良好的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)，形成有序的、起作用的、有著生長點和開放面的認(rèn)知結(jié)構(gòu).數(shù)學(xué)思想方法是從操作層面上體現(xiàn)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，對培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)來說是一個很好的切入點，也是一個良好的機會.

三、優(yōu)化教學(xué)過程，培養(yǎng)學(xué)生的主體意識

在運算教學(xué)中，要重視從激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣人手，努力提高學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性和主動性.激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣的方式并不在于過多地求新求奇，而主要在于教學(xué)內(nèi)容要在適應(yīng)學(xué)生現(xiàn)有水平基礎(chǔ)上達(dá)到最近發(fā)展區(qū)水平，使教學(xué)具有啟發(fā)性.通過挖掘數(shù)學(xué)中的美來啟迪學(xué)生的心靈，也是吸引學(xué)生自覺鉆研數(shù)學(xué)的一個重要方面.

這是一個三角計算求值的問題，試圖通過三角恒等變換達(dá)到考查運算能力的目的.主要體現(xiàn)在如何選擇公式，如何確定運算方向，怎樣設(shè)計運算路徑，從合理進行運算的角度來考查運算能力.

到此運算的方向基本確定.

運算能力的主要標(biāo)識不在運算的本身，而是運算方向的確定和運算路徑的設(shè)計，來自于對問題的深刻理解.運算目標(biāo)在運算過程中起到了十分重要的作用.沒有運算目標(biāo)的指引，合理的運算路徑就很難形成.

教學(xué)過程中，常態(tài)性地利用問題引領(lǐng)學(xué)生積極動腦思考分析解決問題，一方面，鍛煉培養(yǎng)學(xué)生敏銳的觀察力，良好的閱讀能力，使其思維活躍，反應(yīng)敏捷，推理迅速而簡明，邏輯思維、發(fā)散思維、直覺思維達(dá)到一個較高水平，思維具有深刻性、獨創(chuàng)性、靈活性.另一方面，通過數(shù)學(xué)語言的學(xué)習(xí)與運用；能夠清晰地用數(shù)學(xué)語言表達(dá)自己的思維過程.重視數(shù)學(xué)交流和數(shù)學(xué)運用，能把數(shù)學(xué)的觀點、方法運用到其他學(xué)科（如物理、化學(xué)等）和日常生活與社會生產(chǎn)實踐中去，并把數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中獲得的知識、經(jīng)驗與方法遷移到其他學(xué)科的學(xué)習(xí)中，促進其他學(xué)科的發(fā)展.這便是培養(yǎng)提高學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的目的所在.

四、引導(dǎo)學(xué)生反思，提升運算品質(zhì)

引導(dǎo)學(xué)生進行運算解題后的反思，是進一步優(yōu)化數(shù)學(xué)思維品質(zhì)，培養(yǎng)數(shù)學(xué)素養(yǎng)的重要舉措.對運算的過程和結(jié)果進行評估和研判，也是學(xué)生運算能力的一種.這一過程既是對學(xué)生運算品質(zhì)的全面性進行培養(yǎng)，也是學(xué)生對自己思維活動的再認(rèn)識的過程.

圖2

本題的思路不難確定，由PA⊥PF知點P（x0，y0）在以線段AF為直徑的圓上，將此圓方程與橢圓方程聯(lián)立，可解得點P坐標(biāo)，然后再求半徑FP，證明FP與點F到右準(zhǔn)線的距離相等即可.

①②聯(lián)立，如果不假思索消去y并整理成

（b2-a2）-a（2a-c）x0+a3c-a2b2=0，下一步無論十字相乘法或是求根公式，都可能得不到理想的結(jié)果.

此時，就應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生對過程進行反思，解題目標(biāo)是什么？思路是什么？從而促使學(xué)生再一次對兩個研究對象進行深入的觀察和思考，挖掘新特征，調(diào)整運算，達(dá)成目標(biāo).

以AF為直徑的圓與橢圓除點P這個公共點外，還有另一個公共點A，那么①②聯(lián)立整理成x0的二次方程中就一定會有“x0+a”這個因子.

消y2，b2x+a［2-（x+a）（x-c）］-a2b2=0，

000

即b（2-a2）=a（2x0+a）（x0-c），有=0，

課堂上，許多學(xué)生解題思路是清楚的，目標(biāo)是明確的，卻往往陷于“復(fù)雜”的運算當(dāng)中不能自拔.學(xué)生處在欲進不得欲罷不能之時，教師引導(dǎo)其深挖信息，走出困境，此時學(xué)生收獲的不僅僅是解題技能的提高，更是思維水平的提升和數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣的激揚.這樣的反思過程強化了理性思考，有效促使了學(xué)生對運算的認(rèn)知理解，提高了學(xué)生自覺通過提高思維水平來達(dá)到提高運算水平的認(rèn)識，數(shù)學(xué)素養(yǎng)也會隨之提高.

總之，高三復(fù)習(xí)過程中要把培養(yǎng)學(xué)生的運算能力列為明確的教學(xué)目標(biāo)，輔之以相應(yīng)的教學(xué)素材和教學(xué)設(shè)計.要把學(xué)生運算能力的培養(yǎng)滲透到每節(jié)課、每道題中.任何一道精心編擬的數(shù)學(xué)試題，均蘊涵著運算的通性通法或者是在數(shù)學(xué)思想方法基礎(chǔ)上所表現(xiàn)出來的合理、簡捷的運算方式.如果注意滲透、適時講解、反復(fù)強調(diào)，貫穿于整個高三復(fù)習(xí)的始終，學(xué)生就會深入于心，形成良好的運算心理、意識和品質(zhì)，數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng)才會得到有效落實.