“中國(guó)”“美國(guó)”“巴西”數(shù)學(xué)教材“比和比例”內(nèi)容的比較研究

李 鵬

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“中國(guó)”“美國(guó)”“巴西”數(shù)學(xué)教材“比和比例”內(nèi)容的比較研究

李 鵬1，2

（1．惠州學(xué)院數(shù)學(xué)系，廣東惠州 516007；2．中國(guó)教育科學(xué)研究院，北京 100088）

選取中國(guó)、美國(guó)、巴西的6年級(jí)較主流數(shù)學(xué)教材，比較教材中“比和比例”的相關(guān)章節(jié)．3個(gè)國(guó)家教材的問(wèn)題定位、認(rèn)知需求問(wèn)題的分布和結(jié)構(gòu)均較為相似，組織方式均為螺旋式非線性，很少涉及信息技術(shù)運(yùn)用和數(shù)學(xué)史情境．對(duì)于“比和比例”的內(nèi)容應(yīng)從學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)持續(xù)發(fā)展的角度給予關(guān)注．對(duì)于教材編寫(xiě)中問(wèn)題情境的設(shè)計(jì)，可以適度增加不同主題間數(shù)學(xué)情境問(wèn)題所占比重，對(duì)于開(kāi)放式、半開(kāi)放式問(wèn)題的設(shè)計(jì)與相應(yīng)學(xué)段學(xué)生心理發(fā)展水平和已有知識(shí)經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)相匹配，尋求非數(shù)學(xué)情境問(wèn)題類(lèi)型的多樣化．3個(gè)國(guó)家的數(shù)學(xué)教材基于熟悉情境的問(wèn)題比例較高，基于陌生情境的反思式問(wèn)題占比偏低．

問(wèn)題情境；教材編寫(xiě)；比和比例；比較研究

1 研究背景

針對(duì)“比和比例”的教學(xué)國(guó)外已有多項(xiàng)研究，如Lesh等將比例看成“數(shù)與運(yùn)算”學(xué)習(xí)的最高要求，將其視為進(jìn)一步學(xué)習(xí)代數(shù)和其它主題的必要基礎(chǔ)，提出：當(dāng)學(xué)生能夠根據(jù)分?jǐn)?shù)、商、比例等表達(dá)形式的整體關(guān)系進(jìn)行推理的時(shí)候，他們就獲得了比例推理能力[1]．Spinillo將比例推理能力的發(fā)展看作是學(xué)生借助多維度策略實(shí)現(xiàn)的，認(rèn)為應(yīng)從第一學(xué)年發(fā)展比例推理[2]．也有研究者概括教材給出比例概念的方法后得出，解決比例問(wèn)題常用十字相乘法和求比例中未知項(xiàng)的方法[3]．

TIMSS、PISA等國(guó)際大型測(cè)評(píng)項(xiàng)目的結(jié)果表明：不同國(guó)家或地區(qū)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)業(yè)成績(jī)、學(xué)習(xí)興趣、態(tài)度、策略運(yùn)用等方面存在程度不同的差異．為探析背后的深層次原因，數(shù)學(xué)教育界日益關(guān)注不同國(guó)家的數(shù)學(xué)教材比較研究[4~9]．教材對(duì)數(shù)學(xué)的教學(xué)和學(xué)習(xí)有深刻影響，數(shù)學(xué)教育研究者關(guān)注的一個(gè)重要方面是教材如何呈現(xiàn)與當(dāng)前課程取向相關(guān)的關(guān)鍵性數(shù)學(xué)主題．對(duì)于基礎(chǔ)教育階段各國(guó)視為核心概念的“比和比例”，不同國(guó)家的數(shù)學(xué)教材是如何處理的？如何呈現(xiàn)相應(yīng)內(nèi)容更能幫助學(xué)生鞏固知識(shí)進(jìn)而使知識(shí)系統(tǒng)化？在組織學(xué)生學(xué)習(xí)活動(dòng)中發(fā)揮核心作用的問(wèn)題性質(zhì)如何？研究者以中國(guó)、美國(guó)和巴西3個(gè)國(guó)家較典型教材中的“比和比例”內(nèi)容進(jìn)行對(duì)比研究，以期為我國(guó)的小學(xué)數(shù)學(xué)教材編寫(xiě)和教學(xué)實(shí)踐提供借鑒．

2 教材選取和研究問(wèn)題

選擇“比和比例”內(nèi)容進(jìn)行比較主要基于其在3個(gè)國(guó)家的基礎(chǔ)教育數(shù)學(xué)課程中扮演重要角色．中國(guó)國(guó)家數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)將“比和比例”作為義務(wù)教育第二學(xué)段課程內(nèi)容的核心要素，基于分?jǐn)?shù)、百分?jǐn)?shù)的相關(guān)內(nèi)容學(xué)習(xí)比和比例，在學(xué)習(xí)過(guò)程中注重實(shí)際問(wèn)題的解決和函數(shù)思想的滲透[10]．巴西與中國(guó)同為“金磚國(guó)家”重要成員，其課程文件表明：學(xué)生在4、5年級(jí)需要先學(xué)習(xí)有理數(shù)和百分?jǐn)?shù)，在此基礎(chǔ)上，6、7年級(jí)再學(xué)習(xí)比例大小的相應(yīng)內(nèi)容[11]．美國(guó)并無(wú)官方課程，但其數(shù)學(xué)課程設(shè)置的國(guó)際影響力巨大，NCTM頒布的系列課程文件體現(xiàn)出，其課程逐漸呈現(xiàn)統(tǒng)一化趨勢(shì)．文件將比例視為相互關(guān)聯(lián)數(shù)與代數(shù)、圖形與幾何其它主題的核心概念，并從第一學(xué)年開(kāi)始通過(guò)學(xué)習(xí)模式和規(guī)律、真分?jǐn)?shù)、小數(shù)和百分?jǐn)?shù)為理解比例概念提供準(zhǔn)備[12~13]．

研究選取3個(gè)國(guó)家較常見(jiàn)的6年級(jí)數(shù)學(xué)教材：中國(guó)的人教版[14]，巴西的Matemática hoje é feita assim[15]和美國(guó)的Orlando Math[16]，針對(duì)各教材中的“比和比例”內(nèi)容進(jìn)行具體研究，重點(diǎn)關(guān)注如下方面：

（1）各國(guó)教材逐步發(fā)展比例概念的呈現(xiàn)方式；

（2）例題和練習(xí)等教材問(wèn)題的認(rèn)知需求水平、結(jié)構(gòu)和情境設(shè)計(jì)的具體情況；

（3）教材的主要異同點(diǎn)．

3 研究方法

研究針對(duì)3個(gè)國(guó)家的6年級(jí)數(shù)學(xué)教材，整合了總體分析框架和問(wèn)題分析框架，主要運(yùn)用內(nèi)容分析法進(jìn)行分析并借鑒了PISA框架對(duì)認(rèn)知需求水平、問(wèn)題結(jié)構(gòu)及情境的分類(lèi)．總體分析框架關(guān)注一般化層面，如教材所用語(yǔ)言的可理解性、內(nèi)文插圖的性質(zhì)和作用、章節(jié)結(jié)構(gòu)、信息技術(shù)運(yùn)用和數(shù)學(xué)史的呈現(xiàn)．問(wèn)題分析框架從認(rèn)知需求、問(wèn)題結(jié)構(gòu)和情境設(shè)計(jì)等維度關(guān)注了“比和比例”主題的相應(yīng)內(nèi)容，如比例概念是如何呈現(xiàn)的、預(yù)備概念是如何提供的、問(wèn)題提出的主要觀念和策略等．

參照PISA框架，研究者將認(rèn)知需求水平分為再現(xiàn)、聯(lián)結(jié)、反思3個(gè)層面[17]．再現(xiàn)式問(wèn)題屬于常規(guī)任務(wù)，涉及之前獲取且練習(xí)過(guò)的知識(shí)的運(yùn)用，一般較為簡(jiǎn)單且不要求論證；對(duì)問(wèn)題的解釋直接單一，趨向于簡(jiǎn)單層次的結(jié)構(gòu)化，僅在熟悉情境中呈現(xiàn)．聯(lián)結(jié)式問(wèn)題要求建立推理、程序或計(jì)算之間的關(guān)系或鏈條，要求學(xué)生達(dá)到一定程度的解釋論證水平；它們包含對(duì)簡(jiǎn)單解釋的尋求，往往擁有聯(lián)系緊密的結(jié)構(gòu)并在學(xué)生較熟悉的情境中呈現(xiàn)．反思式問(wèn)題更為復(fù)雜，要求進(jìn)行高水平的解釋推理和尋求包含若干步驟的系統(tǒng)化解法，多要求進(jìn)行書(shū)面表達(dá)和較詳細(xì)的論證；結(jié)構(gòu)多為開(kāi)放或半開(kāi)放式，通常在較陌生的情境中呈現(xiàn)．

問(wèn)題結(jié)構(gòu)分為3類(lèi)：封閉、半開(kāi)放、開(kāi)放．封閉問(wèn)題清晰給出目標(biāo)和條件；開(kāi)放問(wèn)題要求學(xué)生在個(gè)人理解的基礎(chǔ)上給出更進(jìn)一步的規(guī)范化假設(shè)、目標(biāo)和條件；半開(kāi)放問(wèn)題介于兩者之間．

如“航模小組有男生14人，女生8人，男、女生人數(shù)的比是（）:（）．”即屬于封閉、再現(xiàn)式問(wèn)題．“根據(jù)家庭成員年齡、收入（題目提供了具體數(shù)字）等方面的信息，尋找合適的量，寫(xiě)出這些量之間的比”屬于半開(kāi)放式問(wèn)題．“還能在生活中發(fā)現(xiàn)哪些信息？會(huì)用比來(lái)表示這些信息中各個(gè)量之間的關(guān)系嗎？”屬于開(kāi)放式、反思式問(wèn)題．“根據(jù)老鼠每分鐘心跳約500次，大象每分鐘心跳次數(shù)約是老鼠的，約是貓的，計(jì)算貓的每分鐘心跳（ ）次．”屬于聯(lián)結(jié)式問(wèn)題．

對(duì)問(wèn)題情境所作的分類(lèi)仍主要參照PISA框架，涉及數(shù)學(xué)內(nèi)部或非數(shù)學(xué)的兩大類(lèi)．非數(shù)學(xué)情境共分6個(gè)子類(lèi)：日常生活情境（包括個(gè)體化情境或與學(xué)生日常生活直接相關(guān)的情境）、學(xué)校情境（在學(xué)校環(huán)境下進(jìn)行的活動(dòng)和過(guò)程）、專(zhuān)業(yè)情境（與學(xué)生將來(lái)可能從事的職業(yè)活動(dòng)相關(guān)）、社會(huì)生活情境（社區(qū)和社會(huì)生活相關(guān)的問(wèn)題）、其它知識(shí)領(lǐng)域的情境（如來(lái)自物理、地理、體育等學(xué)科的問(wèn)題）、虛擬情境（虛構(gòu)情境描繪的問(wèn)題）．?dāng)?shù)學(xué)內(nèi)部情境指缺乏明確非數(shù)學(xué)要素的情境．如果數(shù)學(xué)內(nèi)部情境指明了其它章節(jié)的概念，就稱(chēng)之為跨主題問(wèn)題；否則認(rèn)為是同一主題內(nèi)部問(wèn)題．

4 研究結(jié)果

4.1 總體情況

對(duì)3個(gè)國(guó)家的所選教材進(jìn)行分析，可以發(fā)現(xiàn)一些共同特征和個(gè)性化特征．

如各教材的封面除了用相應(yīng)語(yǔ)言文字指明是數(shù)學(xué)教材外，與數(shù)學(xué)沒(méi)有實(shí)質(zhì)聯(lián)系；教材語(yǔ)言較為清晰簡(jiǎn)明，充分考慮了相應(yīng)學(xué)段學(xué)生的理解認(rèn)知能力；采用了改變字體顏色與大小等不同手段讓學(xué)生關(guān)注需要學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)概念、公式、性質(zhì)；很少提及信息技術(shù)或計(jì)算器的使用．普遍通過(guò)圖片闡述問(wèn)題，這些圖片都以某種方式密切聯(lián)系將要或已提出的問(wèn)題．其中，美國(guó)和巴西的教材圖片很少顯示與解法有關(guān)的信息；中國(guó)教材中的圖片對(duì)于解法有一定程度的提示，尤其是教材正文中用以引出新知識(shí)的圖片．

中國(guó)和美國(guó)的教材在關(guān)于比例的章節(jié)中都沒(méi)有提及數(shù)學(xué)史．巴西的教材在介紹相似三角形概念時(shí)涉及了相關(guān)數(shù)學(xué)史．在名為T(mén)ales e a piramide（泰勒斯和金字塔）的小節(jié)中，介紹了在約2?700年前，數(shù)學(xué)家泰勒斯是如何利用三角形的相似性及相似比得到Quéops金字塔高度的．

不同教材的章節(jié)組織模式較為類(lèi)似，所有教材都包括了不同復(fù)雜程度的課題引入、應(yīng)用和鞏固．巴西教材中的“比和比例”始于問(wèn)題化情境，通過(guò)卡通人物的對(duì)話(huà)對(duì)從情境中提煉出的問(wèn)題加以解決，之后給出一些題目讓學(xué)生練習(xí)．中國(guó)和美國(guó)教材的處理方式有一定的相似性：介紹新概念時(shí)多通過(guò)給出問(wèn)題情境及其解答呈現(xiàn)，并解釋了由例子引出的概念，最后呈現(xiàn)一系列練習(xí)，表現(xiàn)出了較強(qiáng)的綜合性；對(duì)于復(fù)習(xí)的必要性較為認(rèn)同，每一新階段的開(kāi)頭介紹若干常規(guī)問(wèn)題，以回顧之前學(xué)過(guò)的概念．中國(guó)教材的習(xí)題數(shù)量更多，類(lèi)型更為多樣，層次性和變式特征更加明顯，如“做一做”、“練習(xí)”、“整理與復(fù)習(xí)”等常規(guī)問(wèn)題和“自行車(chē)上的數(shù)學(xué)”等綜合性較強(qiáng)的問(wèn)題．

4.2 內(nèi)容分布和概念組織方面

4.2.1 不同教材比例內(nèi)容分布概要與處理方法

3個(gè)國(guó)家的教材均將“正比例”作為“比和比例”內(nèi)容的核心成分，但章節(jié)分布情況、相應(yīng)準(zhǔn)備概念不同，比例概念的組織方式亦有不同．

在巴西和美國(guó)的教材中，比例的學(xué)習(xí)以等式、模型及其性質(zhì)為基礎(chǔ)，與NCTM的建議相符．中國(guó)教材在強(qiáng)調(diào)對(duì)模式與關(guān)系進(jìn)行理解的同時(shí)，更加重視教學(xué)內(nèi)容的思想方法價(jià)值，比如正比例圖像中蘊(yùn)含的運(yùn)動(dòng)變化思想等．

不同教材使用的方法體現(xiàn)出了一些共性和差異．第一，3種教材均以比的概念作為“比和比例”部分的起始內(nèi)容，不同國(guó)家的教材編寫(xiě)者充分考慮了比的概念、分?jǐn)?shù)及其運(yùn)算在比例學(xué)習(xí)過(guò)程中發(fā)揮的根本作用．第二，3種教材都體現(xiàn)出了螺旋式方法，即在介紹“成正比例的關(guān)系或量”之后會(huì)以不同形式進(jìn)行回顧總結(jié)．第三，中國(guó)和巴西的教材介紹了比例的基本性質(zhì)而美國(guó)的教材并未明確提及相應(yīng)字眼．但中、巴介紹比例基本性質(zhì)的方式差別很大．巴西的教材在章節(jié)末尾用形式化、系統(tǒng)化的方式和嚴(yán)格邏輯演繹的程序推導(dǎo)出比例的基本性質(zhì)，即由得到，約分后得出．中國(guó)的教材則是在引入比例內(nèi)項(xiàng)和外項(xiàng)的概念后，給出一個(gè)具體比例2.4:1.6=60:40，并要求學(xué)生計(jì)算2.4′40和1.6′60，由兩個(gè)等式相等歸納出比例的基本性質(zhì)．美國(guó)的教材在“比和比例”章節(jié)開(kāi)頭就介紹了兩種尋求比例的方法，即通過(guò)通分化為同分母判斷比例是否相等的方法和“十字相乘法”，在例題解答過(guò)程中更為強(qiáng)調(diào)“十字相乘法”（如圖1）．這種“十字相乘法”在一定程度上將中國(guó)教材歸納比例基本性質(zhì)的過(guò)程和解比例的方法[14]糅合到了一起．

圖1 美國(guó)教材求解比例未知項(xiàng)的例子

4.2.2 對(duì)教材給出問(wèn)題的分析

不同國(guó)家教材中給出的問(wèn)題在認(rèn)知需求、結(jié)構(gòu)和情境等方面不盡相同（對(duì)各種問(wèn)題所屬類(lèi)型所占比例的確定，研究者邀請(qǐng)兩位數(shù)學(xué)教育工作者各自先行獨(dú)立進(jìn)行了確認(rèn)，結(jié)果體現(xiàn)出3人對(duì)于90%以上的問(wèn)題所作分類(lèi)相同，對(duì)分類(lèi)不同的部分經(jīng)過(guò)協(xié)商加以確定，詳見(jiàn)表1和表2）．

表1 三種教材給出的問(wèn)題認(rèn)知需求水平及結(jié)構(gòu)類(lèi)型

表2 三種教材給出的問(wèn)題情境類(lèi)型

在問(wèn)題認(rèn)知需求水平方面，聯(lián)結(jié)式問(wèn)題在3個(gè)國(guó)家的教材中占據(jù)優(yōu)勢(shì)地位，接下來(lái)是再現(xiàn)式問(wèn)題．中美教材的聯(lián)結(jié)式問(wèn)題占教材給出問(wèn)題的比例近似，巴西教材的聯(lián)結(jié)式問(wèn)題明顯占據(jù)首要地位，占其給出問(wèn)題數(shù)量的強(qiáng)．巴西教材的再現(xiàn)式問(wèn)題占比明顯低于中美．反思式問(wèn)題在3種教材中各自占比最低，其中中國(guó)教材的反思式問(wèn)題占比顯著低于另兩個(gè)國(guó)家．

在問(wèn)題結(jié)構(gòu)類(lèi)型方面，絕大多數(shù)問(wèn)題擁有封閉結(jié)構(gòu)．雖然開(kāi)放和半開(kāi)放結(jié)構(gòu)的問(wèn)題在教材中亦有出現(xiàn)，但占比很少．其中巴西和美國(guó)的半開(kāi)放問(wèn)題占比相當(dāng)，開(kāi)放問(wèn)題偶有出現(xiàn)；中國(guó)的半開(kāi)放問(wèn)題與開(kāi)放問(wèn)題占比相當(dāng)，均為5%．

在問(wèn)題情境類(lèi)型方面，3個(gè)國(guó)家教材的問(wèn)題情境類(lèi)型分布差異顯著．美國(guó)教材有83%的問(wèn)題屬于數(shù)學(xué)內(nèi)部情境，這與Li得出的美國(guó)教材強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)內(nèi)部情境的結(jié)果類(lèi)似[18]．中國(guó)教材的數(shù)學(xué)內(nèi)部情境問(wèn)題和非數(shù)學(xué)情境問(wèn)題基本相當(dāng)．巴西教材中58%的問(wèn)題屬于非數(shù)學(xué)情境問(wèn)題．在以數(shù)學(xué)內(nèi)部情境設(shè)計(jì)的問(wèn)題中，屬于同一數(shù)學(xué)主題內(nèi)部的概念探索在中美教材中占了大多數(shù)．非數(shù)學(xué)情境問(wèn)題中最為常見(jiàn)的子類(lèi)是社會(huì)生活范疇，中國(guó)教材中的日常生活情境范疇的問(wèn)題也較常見(jiàn)．

4.3 教材特征對(duì)教材編寫(xiě)理念和教學(xué)方法的反映

教材編寫(xiě)理念往往受到國(guó)家課程文件的規(guī)制或影響，有些甚至是決定性的．如巴西教材強(qiáng)調(diào)問(wèn)題提出的非數(shù)學(xué)情境，呈現(xiàn)了相當(dāng)多的認(rèn)知需求問(wèn)題，應(yīng)用了體現(xiàn)探究性的非正式方法，以在形式化前維持與學(xué)生的擴(kuò)展對(duì)話(huà)．這些特點(diǎn)與巴西課程文件的要求相符．美國(guó)教材則是部分特點(diǎn)與NCTM文件相符，如強(qiáng)調(diào)聯(lián)結(jié)、注意認(rèn)知需求問(wèn)題、強(qiáng)調(diào)模式和性質(zhì)的重要性等；但也有些特點(diǎn)與NCTM的指向不同，例如強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)內(nèi)部情境和再現(xiàn)式問(wèn)題的重要性．同時(shí)，教材頁(yè)數(shù)和問(wèn)題數(shù)量較多表明了編者期望教師利用教材為學(xué)生設(shè)計(jì)一個(gè)明確的學(xué)習(xí)方案，以引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)．

這給出了數(shù)學(xué)教材與課程文件強(qiáng)一致性和弱一致性的典型實(shí)例．教師需要考慮所教學(xué)生的族裔、已有文化背景和生活經(jīng)驗(yàn)等多方面的不同，客觀上要求教材提供更多的額外材料以方便教師設(shè)計(jì)不同的教學(xué)方案．美國(guó)教材的弱一致性可能出于對(duì)保證更多教師教學(xué)適應(yīng)性的考量．中國(guó)教材屬于與國(guó)家課程文件嚴(yán)格強(qiáng)一致性的情況，在“一綱一本”的傳統(tǒng)慣性等方面的影響下共性有余特色不足[19]．

教材編寫(xiě)理念與教學(xué)的一般特征之間亦存在互動(dòng)共生關(guān)系．不同國(guó)家教材的呈現(xiàn)方式隱含了對(duì)教學(xué)方法的觀照．如巴西的教材以問(wèn)題情境為基礎(chǔ)，要求圍繞提出的問(wèn)題進(jìn)行討論以實(shí)現(xiàn)概念系統(tǒng)化．中國(guó)和美國(guó)的教材主要是要求學(xué)生理解已學(xué)習(xí)的例題及分析過(guò)程，進(jìn)而解決接下來(lái)提出的一系列問(wèn)題，其中絕大部分是再現(xiàn)式和聯(lián)結(jié)式問(wèn)題．教材體現(xiàn)的不同教學(xué)方法可能明示或暗示給學(xué)生不同的學(xué)習(xí)方法，進(jìn)而導(dǎo)致不同種類(lèi)學(xué)習(xí)活動(dòng)的產(chǎn)生．不同國(guó)家的一般教學(xué)特征也會(huì)對(duì)教材編寫(xiě)產(chǎn)生影響，如中國(guó)的數(shù)學(xué)教學(xué)對(duì)“基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能”的重視在教材編寫(xiě)中得到了充分體現(xiàn)，通過(guò)數(shù)量較多、類(lèi)型豐富的習(xí)題體現(xiàn)對(duì)學(xué)生理解和掌握“雙基”的要求．

5 啟 示

5.1 對(duì)教材內(nèi)容處理的啟示

“比和比例”作為初等教育階段最后的重要內(nèi)容，起著聯(lián)通“算術(shù)”與“代數(shù)”，貫穿“數(shù)量”到“關(guān)系”的作用．對(duì)于“比和比例”的內(nèi)容應(yīng)從學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)持續(xù)發(fā)展的角度給予關(guān)注，如通過(guò)介紹涉及比例大小關(guān)系的“比例系數(shù)”將中學(xué)要學(xué)習(xí)的函數(shù)概念與表示數(shù)據(jù)的表格運(yùn)用建立緊密聯(lián)系，初步滲透函數(shù)思想．研究所涉教材對(duì)于比例系數(shù)關(guān)注缺失，建議進(jìn)行相應(yīng)內(nèi)容的增加．

美國(guó)、巴西的教材將“比和比例”內(nèi)容在連續(xù)兩個(gè)章節(jié)中進(jìn)行呈現(xiàn)，而中國(guó)教材則是在6年級(jí)上、下冊(cè)分別呈現(xiàn)，由于不同國(guó)家教材涵蓋的教學(xué)內(nèi)容范疇有異，并不能簡(jiǎn)單判斷連續(xù)呈現(xiàn)或分別呈現(xiàn)哪種方式更為優(yōu)越．在教學(xué)內(nèi)容大致相同的情形下，哪種呈現(xiàn)方式更為優(yōu)越需要通過(guò)具體教學(xué)實(shí)驗(yàn)并結(jié)合教師尤其是“專(zhuān)家教師”的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)確定．

對(duì)于比例基本性質(zhì)的處理方式，巴西教材顯得嚴(yán)謹(jǐn)有余、具體不足．考慮到學(xué)生所處年齡階段和相應(yīng)認(rèn)知水平，中國(guó)教材采用由具體實(shí)例歸納性質(zhì)的方式是可取的，但邏輯性和嚴(yán)謹(jǐn)性的程度需要教師在教學(xué)過(guò)程中加以把握．教師在具體教學(xué)實(shí)踐中可以多給出幾個(gè)具體的比例，要求學(xué)生計(jì)算各自的外項(xiàng)積和內(nèi)項(xiàng)積，從中歸納出比例的基本性質(zhì)，實(shí)現(xiàn)“由多到一”的歸納，以提高學(xué)生對(duì)性質(zhì)歸納的認(rèn)同感，更充分地經(jīng)歷歸納推理的過(guò)程．

5.2 對(duì)問(wèn)題情境創(chuàng)設(shè)和問(wèn)題結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)的啟示

問(wèn)題情境是引起懸念、激發(fā)學(xué)生求知欲望的教學(xué)起點(diǎn)，是組織學(xué)生“再創(chuàng)造”式學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的依托．3個(gè)國(guó)家的教材編寫(xiě)對(duì)此均給予了充分關(guān)切，如對(duì)數(shù)學(xué)內(nèi)部情境和外部情境均有涉及，外部情境覆蓋的類(lèi)型較為廣泛等．

基于對(duì)3個(gè)國(guó)家教材的分析，對(duì)于教材編寫(xiě)中問(wèn)題情境的設(shè)計(jì)，可以綜合考慮美國(guó)、巴西教材的做法，適度增加不同主題間數(shù)學(xué)情境問(wèn)題所占比重，對(duì)于開(kāi)放式、半開(kāi)放式問(wèn)題的設(shè)計(jì)與相應(yīng)學(xué)段學(xué)生心理發(fā)展水平和已有知識(shí)經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)相匹配，進(jìn)一步尋求非數(shù)學(xué)情境問(wèn)題類(lèi)型的多樣化，盡量貼近學(xué)生的生活實(shí)踐并做到與社會(huì)發(fā)展同步．

5.3 對(duì)認(rèn)知需求水平設(shè)計(jì)的啟示

3個(gè)國(guó)家的數(shù)學(xué)教材對(duì)于問(wèn)題認(rèn)知需求水平的要求略顯保守，基于熟悉情境的問(wèn)題均達(dá)到90%，基于陌生情境的反思式問(wèn)題所占比重偏低．小學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展水平處于具體運(yùn)演階段，進(jìn)行思維活動(dòng)時(shí)脫離不了具體的前提，但能夠賦予直觀活動(dòng)以運(yùn)演的結(jié)構(gòu)，用可逆和傳遞的方式加以組合[20]．熟悉情境可以為小學(xué)生提供思維活動(dòng)的具體前提，這是3個(gè)國(guó)家教材體現(xiàn)出的優(yōu)勢(shì)．但反思式問(wèn)題占比偏低可能導(dǎo)致小學(xué)生在面對(duì)陌生情境，需要自行組織知識(shí)、手段、經(jīng)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)和解決問(wèn)題時(shí)茫然失措，不利于思維能力的提升和創(chuàng)新意識(shí)的養(yǎng)成．這需要結(jié)合小學(xué)生認(rèn)知發(fā)展水平的特征加以彌補(bǔ)，適度增加反思式陌生情境的數(shù)量，同時(shí)提供有利于教師在教學(xué)過(guò)程中挖掘“具體前提”的資源，為反思式問(wèn)題情境發(fā)揮實(shí)效服務(wù)．

從教材比較的視角來(lái)看，研究者主要關(guān)注了教學(xué)內(nèi)容組織方式和問(wèn)題提出方面，對(duì)于教材處理方式和設(shè)計(jì)的問(wèn)題情境如何具體影響教學(xué)實(shí)踐，怎樣避免不良影響和達(dá)成良好初衷等均需進(jìn)一步的實(shí)證研究．在課程改革的大背景下，了解學(xué)生和教師如何使用不同版本不同類(lèi)型的教材，運(yùn)用于課堂實(shí)踐，尤其是學(xué)生學(xué)習(xí)過(guò)程中的“實(shí)踐性”教材提供了何種學(xué)習(xí)機(jī)會(huì)，值得進(jìn)行更進(jìn)一步的研討．同時(shí)，教材編寫(xiě)者需要適當(dāng)突破思維局限，在明確教材可能應(yīng)用范圍的前提下，從教材組織方式和問(wèn)題設(shè)計(jì)的認(rèn)知需求、結(jié)構(gòu)、情境等方面設(shè)計(jì)編寫(xiě)針對(duì)性和應(yīng)用性更強(qiáng)的教材，使得不同教材異彩紛呈的同時(shí)教師能夠“選有所依”，更方便地“用教材教”．

[1] Lesh R, Post T, Behr M. Proportional Reasoning [A]. In: Hiebert J, Behr M.[C]. Reston: NCTM e Lawrence Erlbaum, 1988.

[2] Spinillo A G. An historical Incursion into the Hidden Side of the Early Development of Equations [A]. In: Giménez J, Lins R C, Gómez B.[C]. Tarragona: Computer Engeneering Department, Universitat Rovira i Virgili, 1996.

[3] Shield M, Dole S.[R]. Proceedings of the Twenty-Fifth Annual Conference of the Mathematics Education Research Group of Australasia, Aukland, NZ: MERGA, 2002.

[4] 陸書(shū)環(huán)，張蕾．中日高中新課程數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容整合的比較研究[J]．?dāng)?shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2009，18（1）：67-70．

[5] 呂世虎，孫學(xué)敏．中國(guó)與新加坡初中數(shù)學(xué)教材中概率習(xí)題的比較研究[J]．?dāng)?shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2010，19（6）：70-73．

[6] 吳立寶．中澳數(shù)學(xué)教科書(shū)比較研究——以人教版和HMZ8年級(jí)教科書(shū)為例[J]．?dāng)?shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2013，22（2）：58-61．

[7] 周九詩(shī)，王延文．中英初中數(shù)學(xué)教科書(shū)的難易程度比較研究——以中國(guó)“人教版”和英國(guó)《數(shù)學(xué)連接》為例[J]．?dāng)?shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2013，22（3）：18-23．

[8] 蒲淑萍．“中國(guó)美國(guó)新加坡”小學(xué)數(shù)學(xué)教材中的“分?jǐn)?shù)定義”[J]．?dāng)?shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2013，22（4）：21-24．

[9] 朱雪芳，葉立軍．中國(guó)和澳大利亞高中數(shù)學(xué)微積分教材比較研究[J]．?dāng)?shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2014，23（2）：25-27．

[10] 中華人民共和國(guó)教育部．全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)稿）[M]．北京：北京師范大學(xué)出版社，2001．

[11] ?Ministério da Educa??o e Ciência.(5a a 8a series) [M]. Brasília: Ministério da Educa??o e Ciência, Secretaria de Educa??o Fundamental, 1998.

[12] ?NCTM.[M]. Reston: NCTM, 2000.

[13] ?NCTM.[M]. Reston: NCTM, 2006.

[14] 盧江，楊剛．義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書(shū)小學(xué)數(shù)學(xué)六年級(jí)（上、下）[M]．北京：人民教育出版社，2006．

[15] ?Lopes A J.(6.a série) [M]. S?o Paulo: FTD, 2000.

[16] ?Maletsky E, Askey R.[M]. Orlando: Harcourt Brace & Company, 2007.

[17] ?OECD.[M]. Paris: OECD, 2004.

[18] ?Li Y. A comparision of Problems that Follow Selected Content Presentations in American and Chinese Mathematics Textbooks [J]., 2000, 31(2): 234-241.

[19] 宋運(yùn)明，李明振，李鵬，等．小學(xué)數(shù)學(xué)教材例題編寫(xiě)特點(diǎn)研究[J]．課程·教材·教法，2014，（2）：47-51．

[20] 涂榮豹，王光明，寧連華．新編數(shù)學(xué)教學(xué)論[M]．上海：華東師范大學(xué)出版社，2011．

[責(zé)任編校：陳漢君]

Comparative Study on Ratio and Proportion in Grade 6 Mathematics Textbooksof Brazil, China and the United States

LI Peng1, 2

(1. Department of Mathematics, Huizhou University, Guangdong Huizhou 516007, China;2. National Institute of Education Sciences, Beijing 100088, China)

We selected the mainstream Grade 6 mathematics textbooks from three countries: Brazil, China and the United States, and compared the relevant chapters of ratio and proportion. It is found that the locations of problem, distributions and structures of cognition problems are much the same. The organizations are spiral and nonlinear. The information technology and history of mathematics situation are rarely involved. But the significant differences are as follows: the kinds of problems situations, the disposal ways of mathematics concepts and teaching methods. It puts forward proposals about writing of textbooks on contents processing, problem situations and need levels for cognition designing.

problem situation; writing of textbooks; ratio and proportion; comparative studies

G423.3

A

1004–9894（2016）06–0046–05

2016–07–20

教育部人文社科規(guī)劃基金項(xiàng)目——數(shù)學(xué)閱讀能力：結(jié)構(gòu)與發(fā)展研究（16YJA880056）；廣東省“十二五”教育科學(xué)規(guī)劃項(xiàng)目——教師教學(xué)行為與教學(xué)價(jià)值取向適切性研究（2013JK169）；惠州學(xué)院博士科研啟動(dòng)項(xiàng)目——新課程數(shù)學(xué)解題教學(xué)實(shí)踐反思研究（C513.0208）

李鵬（1980—），男，山東棗莊人，博士，副教授，中國(guó)教育科學(xué)研究院博士后，主要從事數(shù)學(xué)課程與教學(xué)論研究．