內(nèi)容分布與認(rèn)知要求雙重視角下數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)比較研究——基于“中國”“美國”“新加坡”小學(xué)初中學(xué)段之比較

康玥媛

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內(nèi)容分布與認(rèn)知要求雙重視角下數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)比較研究——基于“中國”“美國”“新加坡”小學(xué)初中學(xué)段之比較

康玥媛

（天津師范大學(xué)教師教育學(xué)院，天津 300387）

選取在國際上有代表性的美國及亞洲的新加坡與中國的小學(xué)及初中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)為研究對象，從內(nèi)容分布與認(rèn)知要求兩個(gè)維度進(jìn)行編碼比較研究．主要研究結(jié)果顯示三國數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)分別呈現(xiàn)如下特征：中國在內(nèi)容維度上，幾何內(nèi)容擁有的認(rèn)知要求最多，在認(rèn)知要求維度上最重視數(shù)學(xué)推理，并且數(shù)學(xué)推理主要是以幾何內(nèi)容為主要載體的；美國和新加坡在內(nèi)容維度上，數(shù)與代數(shù)擁有最多而豐富的各類認(rèn)知要求，在認(rèn)知要求維度上兩國均十分重視“問題解決”，美國還重視“關(guān)聯(lián)”類認(rèn)知要求．

數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)；內(nèi)容分布；認(rèn)知要求；國際比較

1 研究問題

數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)無疑是數(shù)學(xué)課程改革、數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)施以及考試評價(jià)的重要核心綱領(lǐng)性政策文件．當(dāng)前，世界很多國家未必有在全國廣泛使用的教科書，但世界主要國家均已頒布全國統(tǒng)一的數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)[1]．因此，對國際間的數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行比較研究最具有可比性和代表性．關(guān)于數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)的已有研究更多的是聚焦于數(shù)學(xué)知識和課程內(nèi)容及其組織與編排[2~4]．有針對具體內(nèi)容領(lǐng)域的研究，比如嚴(yán)卿等人對函數(shù)內(nèi)容進(jìn)行了比較研究[5]，又如劉長明等人對空間與圖形內(nèi)容進(jìn)行了比較[6]．另外，也有對數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)中所重視的學(xué)生素養(yǎng)進(jìn)行比較研究的[7]．然而，數(shù)學(xué)內(nèi)容標(biāo)準(zhǔn)的描述是離不開認(rèn)知要求的，但鮮有研究課程標(biāo)準(zhǔn)中的內(nèi)容標(biāo)準(zhǔn)是如何規(guī)定學(xué)生應(yīng)達(dá)到哪些認(rèn)知要求的．研究者將數(shù)學(xué)課程內(nèi)容與認(rèn)知要求這兩個(gè)維度相結(jié)合，進(jìn)行交互式研究，探索不同國家數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)中，在不同內(nèi)容主題下的認(rèn)知要求分別是如何設(shè)置的，各個(gè)內(nèi)容領(lǐng)域所承載的認(rèn)知要求是何種類型的及其重視程度如何．

2 研究設(shè)計(jì)及概念界定

2.1 研究思路與方法

在進(jìn)行跨文化的數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)比較研究時(shí)，需要注意國際比較研究的一個(gè)很重要的目的是為本國的教育服務(wù)．分析框架要結(jié)合本土數(shù)學(xué)課程特征開發(fā)相應(yīng)的研究編碼、分析框架，處理好統(tǒng)一性和獨(dú)特性的問題[8]．因此，研究者采用定性與定量相結(jié)合的研究方法，在定制分析框架時(shí)首先考慮中國數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)內(nèi)容領(lǐng)域以及認(rèn)知要求的特點(diǎn)以及中國數(shù)學(xué)課程改革要研究的熱點(diǎn)問題．具體的步驟如下．第一步，通過文獻(xiàn)研究確定編碼體系：通過研究已有文獻(xiàn)，以及與專家學(xué)者共同討論、反復(fù)修訂的基礎(chǔ)上，以教育目標(biāo)分類學(xué)為理論依據(jù)，將課程目標(biāo)根據(jù)不同類型和層級進(jìn)行分類，構(gòu)建適合中國數(shù)學(xué)課程研究的編碼體系，目的是建立一個(gè)統(tǒng)一的“標(biāo)尺”來衡量研究對象，以便進(jìn)行比較和統(tǒng)計(jì)分析．第二步，實(shí)施編碼：在進(jìn)行編碼的過程中，為了保證編碼過程的準(zhǔn)確以及可重復(fù)、可驗(yàn)證性，依據(jù)第一步中已建立的統(tǒng)一的編碼框架，利用NVivo 10.0質(zhì)性分析工具對各國數(shù)學(xué)課標(biāo)文本內(nèi)容實(shí)施編碼．第三步，統(tǒng)計(jì)分析、得出結(jié)論：借助NVivo軟件完成統(tǒng)計(jì)和分析、報(bào)表等工作，統(tǒng)計(jì)編碼的數(shù)據(jù)結(jié)果，最后進(jìn)行分析，結(jié)合各國數(shù)學(xué)教育背景及課標(biāo)內(nèi)容得出結(jié)論．

2.2 研究對象

研究對象為中國、美國及新加坡3個(gè)國家最新頒布的、使用范圍較廣的小學(xué)及初中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)[1]．具體為：中國教育部于2012年頒布的《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》[9]；美國選取的是2010年由全美州長協(xié)會與美國各州首席學(xué)校官員理事會聯(lián)合推出的《統(tǒng)一核心州數(shù)學(xué)標(biāo)準(zhǔn)（Common Core State Standards for Mathematics）》[10]；新加坡采用的是新加坡教育部2006年修訂、2007年正式實(shí)施的《數(shù)學(xué)教學(xué)大綱（小學(xué)）》[11]（Mathematics Syllabus -Primary）及《中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)大綱》[12]（Secondary Mathematics Syllabuses）．

2.3 認(rèn)知要求的概念界定

Stein, Smith[13]以及Stein, M. K., Smith, M. S., Henning- sen, M. A., Silver, E. A.[14]將認(rèn)知要求（cognitive demand）定義為“學(xué)生參與并完成某項(xiàng)任務(wù)或活動所需要思維的種類和水平”，并將認(rèn)知要求分為記憶、無聯(lián)系的程序、有聯(lián)系的程序和做數(shù)學(xué)4種水平．TIMSS 2007以及Porter在課程一致性的研究當(dāng)中，也均采用了“認(rèn)知要求”的提法[15]．在研究了以上界定的基礎(chǔ)上，研究者提出的“認(rèn)知要求（cognitive demand）”是指學(xué)生習(xí)得某些知識或參與并完成某項(xiàng)任務(wù)所需要的知覺、記憶、思維等活動的類型和水平．認(rèn)知要求與課程內(nèi)容共同構(gòu)成了課程標(biāo)準(zhǔn)中的內(nèi)容標(biāo)準(zhǔn)．

2.4 編碼體系的設(shè)計(jì)

借鑒布盧姆多層級系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)體系，研究者將編碼模型設(shè)計(jì)為多層級、多指標(biāo)的二維編碼體系，分為內(nèi)容和認(rèn)知要求兩個(gè)維度．

2.4.1 數(shù)學(xué)內(nèi)容維度

為了便于跨國比較，在綜合了各個(gè)國家數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)所劃分的數(shù)學(xué)內(nèi)容領(lǐng)域的基礎(chǔ)之上，選取中小學(xué)數(shù)學(xué)課程中主要的幾類數(shù)學(xué)知識作為分類指標(biāo)，將數(shù)學(xué)內(nèi)容分為以下6個(gè)領(lǐng)域：數(shù)與運(yùn)算；代數(shù)；測量；幾何；統(tǒng)計(jì)與概率；其它．其中，有些內(nèi)容不屬于前5類的，都統(tǒng)一歸為“其它”一類．比如，有些國家的“綜合實(shí)踐活動”、“思考活動”等內(nèi)容都?xì)w為“其它”．

2.4.2 認(rèn)知要求維度

美國心理學(xué)家布盧姆（B. S. Bloom）提出的教育目標(biāo)分類學(xué)理論，將教育目標(biāo)分為認(rèn)知領(lǐng)域、情意領(lǐng)域和動作技能領(lǐng)域3個(gè)主要領(lǐng)域．其中，認(rèn)知領(lǐng)域劃分為記憶（回憶）、理解、應(yīng)用、分析、評價(jià)、創(chuàng)造6種水平[16]．TIMSS 2007課程比較的認(rèn)知領(lǐng)域被分為識記、應(yīng)用和推理3類[17]．PISA的測試中的數(shù)學(xué)過程維度是數(shù)學(xué)能力形成和發(fā)展的過程、解決問題的過程，包括利用數(shù)學(xué)語言的能力、建模的能力和數(shù)學(xué)化的能力．

基于上述模型，同時(shí)參考了所要研究的各國數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)中普遍、重點(diǎn)提出的能力要求，提出認(rèn)知要求維度的分類為：A.識記；B.程序性操作；C.表達(dá)；D.數(shù)學(xué)推理；E.非程序性問題解決；F.關(guān)聯(lián)；G.其它．體現(xiàn)了對學(xué)生從最簡單、最基本的認(rèn)知要求到復(fù)雜的、高級的認(rèn)知要求層級分類．具體解釋如下：

（1）識記（Knowing）主要包括識別、知道、了解、記憶等低水平要求．為了使框架模型的應(yīng)用性、操作性更強(qiáng)，不便做過細(xì)的劃分，只將這些習(xí)得性認(rèn)知要求都?xì)w為識記部分．

（2）程序性操作（Performing Routine Procedures）主要是指按照一定有規(guī)可循的步驟執(zhí)行程序，解決程序性的常規(guī)技能性問題．比如進(jìn)行計(jì)算、解方程等操作．

（3）表達(dá)（Communicating）．此項(xiàng)指標(biāo)不僅有學(xué)生應(yīng)用語言進(jìn)行交流、解釋、表達(dá)的含義，而且包括學(xué)生用字母表示數(shù)、用數(shù)據(jù)表示幾何圖形、用圖表展示描述統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)等數(shù)學(xué)內(nèi)部知識間的溝通．總之，是用某種形式去表示、說明、描述數(shù)學(xué)知識．

（4）數(shù)學(xué)推理（Mathematical Reasoning）主要包括解釋、證明、推導(dǎo)、探究、探索、發(fā)現(xiàn)等．

（5）問題解決（Non-routine Problem Solving）這里的問題解決必須是沒有指導(dǎo)的、創(chuàng)造性的應(yīng)用各種方法、策略綜合地解決一些開放式數(shù)學(xué)問題或?qū)嶋H應(yīng)用問題，也包括創(chuàng)造性地提出問題、綜合分析問題等．

（6）聯(lián)系（或關(guān)聯(lián)）（Making Connections）包括數(shù)學(xué)內(nèi)部知識之間的聯(lián)系，數(shù)學(xué)與其它學(xué)科之間跨學(xué)科的聯(lián)系，以及聯(lián)系實(shí)際問題，即將數(shù)學(xué)知識與校外生產(chǎn)、日常生活的相聯(lián)系．

3 內(nèi)容分布與認(rèn)知要求雙重視角下的編碼研究結(jié)果

根據(jù)建立的統(tǒng)一編碼指標(biāo)，對中國、美國及新加坡3個(gè)國家的數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)施內(nèi)容分布與認(rèn)知要求兩個(gè)維度的編碼，并對編碼結(jié)果進(jìn)行頻數(shù)分析．

3.1 中國數(shù)學(xué)課標(biāo)內(nèi)容分布與認(rèn)知要求頻數(shù)分析及特征

中國數(shù)學(xué)課標(biāo)小學(xué)（第一學(xué)段）及初中（第二、三學(xué)段）“內(nèi)容主題——認(rèn)知要求”兩個(gè)維度的分布情況，頻數(shù)結(jié)果如表1所示．

表1 基于統(tǒng)一編碼的中國數(shù)學(xué)課標(biāo)雙向細(xì)目表

為了便于更好地觀察二維分布情況，將表1中頻數(shù)轉(zhuǎn)化為二維曲面圖，二維曲面圖中不同顏色代表不同的數(shù)值范圍，20條為一個(gè)刻度單位，如圖1所示．二維曲面圖展示出了7類認(rèn)知要求水平是如何分布在6類內(nèi)容主題上的，二維曲面圖可以大體反映出不同內(nèi)容主題對不同認(rèn)知要求的重視程度．

圖1 基于統(tǒng)一編碼的中國數(shù)學(xué)課標(biāo)二維曲面圖

以上結(jié)果顯示，中國數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)內(nèi)容分布及相應(yīng)的認(rèn)知要求呈現(xiàn)以下特征：（1）所有內(nèi)容分布上，“關(guān)聯(lián)”類認(rèn)知要求均較少，僅有14項(xiàng)認(rèn)知要求，數(shù)量最少．（2）“識記”、“程序性操作”、“表達(dá)”、“數(shù)學(xué)推理”、“問題解決”這5類認(rèn)知要求在所有內(nèi)容主題上都有較多分配，但低水平的認(rèn)知要求要明顯多于高水平的認(rèn)知要求．（3）“幾何”內(nèi)容非常受重視，“識記”、“程序性操作”、“表達(dá)”、“數(shù)學(xué)推理”和“問題解決”這5類認(rèn)知要求都在“幾何”內(nèi)容上有較多要求，共有160項(xiàng)認(rèn)知要求，數(shù)量最多．（4）在“數(shù)與運(yùn)算”和“代數(shù)”內(nèi)容上，也十分重視“識記”、“程序性操作”、“表達(dá)”、和“問題解決”，但沒有“幾何”內(nèi)容的要求數(shù)量多．另外，“代數(shù)”內(nèi)容比“數(shù)與運(yùn)算”內(nèi)容更加重視“數(shù)學(xué)推理”這一高水平認(rèn)知要求．

3.2 美國數(shù)學(xué)課標(biāo)內(nèi)容分布與認(rèn)知要求頻數(shù)分析及特征

美國小學(xué)及初中數(shù)學(xué)課標(biāo)“內(nèi)容主題——認(rèn)知要求”兩個(gè)維度的分布情況，數(shù)據(jù)結(jié)果如表2所示．

表2 基于統(tǒng)一編碼的美國數(shù)學(xué)課標(biāo)雙向細(xì)目表

根據(jù)美國數(shù)學(xué)課標(biāo)編碼后數(shù)據(jù)繪制出二維曲面圖，圖中不同顏色代表不同的數(shù)值范圍，15條為一個(gè)刻度單位，如圖2所示．

圖2 基于統(tǒng)一編碼的美國數(shù)學(xué)課標(biāo)二維曲面圖

通過雙向細(xì)目表及二維曲面圖可知，美國數(shù)學(xué)課標(biāo)內(nèi)容分布及認(rèn)知要求呈現(xiàn)以下特征：（1）美國數(shù)學(xué)課標(biāo)對于“數(shù)學(xué)推理”類認(rèn)知要求極少，僅有11項(xiàng)，數(shù)量最少．（2）“識記”、“程序性操作”、“表達(dá)”、“問題解決”和“關(guān)聯(lián)”這5類認(rèn)知要求在“數(shù)與運(yùn)算”、“代數(shù)”、“測量”和“幾何”4部分內(nèi)容上都有較多分配，但低水平的認(rèn)知要求均多于高水平的認(rèn)知要求．（3）在“數(shù)與運(yùn)算”內(nèi)容上，非常重視“識記”、“程序性操作”和“表達(dá)”低水平認(rèn)知要求．（4）“幾何”內(nèi)容比較重視低水平“程序性操作”類認(rèn)知要求．（5）“統(tǒng)計(jì)與概率”內(nèi)容只停留在低水平的認(rèn)知要求上，缺乏高水平的“數(shù)學(xué)推理”、“問題解決”和“關(guān)聯(lián)”這3類認(rèn)知要求．

3.3 新加坡數(shù)學(xué)課標(biāo)內(nèi)容分布與認(rèn)知要頻數(shù)分析及特征

新加坡小學(xué)及初中數(shù)學(xué)課標(biāo)“內(nèi)容主題——認(rèn)知要求”兩個(gè)維度的頻數(shù)結(jié)果如表3所示．

表3 基于統(tǒng)一編碼的新加坡數(shù)學(xué)課標(biāo)雙向細(xì)目表

二維曲面圖如圖3所示，其中不同顏色代表不同的數(shù)值范圍，20條為一個(gè)刻度單位．

圖3 基于統(tǒng)一編碼的新加坡數(shù)學(xué)課標(biāo)二維曲面圖

由以上結(jié)果可知，新加坡數(shù)學(xué)課標(biāo)內(nèi)容及相應(yīng)認(rèn)知要求的特征有：（1）新加坡數(shù)學(xué)課標(biāo)認(rèn)知要求豐富，這主要體現(xiàn)在：首先，總數(shù)多，共有456項(xiàng)，明顯多于中國和美國；另一方面，認(rèn)知要求分布廣泛，各個(gè)內(nèi)容主題都有不同類型的認(rèn)知要求．（2）“識記”、“程序性操作”、“表達(dá)”和“問題解決”這4類認(rèn)知要求在“數(shù)與運(yùn)算”、“代數(shù)”、“測量”、“幾何”、“統(tǒng)計(jì)與概率”所有內(nèi)容上都有較多分配，但低水平的認(rèn)知要求仍要多于高水平的認(rèn)知要求．（3）欠缺“數(shù)學(xué)推理”和“關(guān)聯(lián)”這兩類認(rèn)知要求．（4）認(rèn)知要求中，更重視“識記”和“程序性操作”．（5）認(rèn)知要求中，最重視“問題解決”類認(rèn)知要求，并且集中在“數(shù)與運(yùn)算”、“代數(shù)”、“測量”和“統(tǒng)計(jì)與概率”這些內(nèi)容上．新加坡數(shù)學(xué)課標(biāo)編碼過程中，“其它”類認(rèn)知要求主要是由一些只規(guī)定了學(xué)習(xí)內(nèi)容而沒有規(guī)定需達(dá)到的認(rèn)知水平的標(biāo)準(zhǔn)所組成的．

4 討論及啟示

通過已有研究結(jié)果，可以得出中國、美國、新加坡3國的數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)共同特征是：低水平類認(rèn)知要求（識記、程序性操作、表達(dá)）總數(shù)明顯多于高水平類認(rèn)知要求（數(shù)學(xué)推理、問題解決、關(guān)聯(lián)）總數(shù)．這一普遍特征是符合學(xué)習(xí)規(guī)律的，學(xué)習(xí)的過程必定是由簡單認(rèn)知逐漸過渡到復(fù)雜認(rèn)知的過程，高水平認(rèn)知要求的習(xí)得與掌握必定是以低水平認(rèn)知要求的熟練掌握為基礎(chǔ)的．因此，在接下來的研究中，主要討論的是各國所重視的高水平的認(rèn)知要求有哪些？分布于哪些數(shù)學(xué)內(nèi)容之上？

（1）中國幾何內(nèi)容獨(dú)占鰲頭，數(shù)學(xué)推理鐘情幾何．

在中國數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)中，對“幾何”內(nèi)容主題的認(rèn)知要求總數(shù)最多．對比之下，美國和新加坡兩國的數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)中，認(rèn)知要求最多的均集中在“數(shù)與運(yùn)算”這部分內(nèi)容主題上．說明中國對于幾何內(nèi)容各個(gè)類型和層次的認(rèn)知要求的掌握是極為強(qiáng)調(diào)和重視的；而美國和新加坡更為重視“數(shù)與運(yùn)算”內(nèi)容的各類認(rèn)知要求．

在中國數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)“幾何”內(nèi)容中，最重視的高水平認(rèn)知要求是“數(shù)學(xué)推理”．同時(shí)，“數(shù)學(xué)推理”類認(rèn)知要求半數(shù)以上是對于“幾何”內(nèi)容的要求．說明中國數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)中，一方面，對于“幾何”內(nèi)容更為重視培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)推理的能力；另一方面，“數(shù)學(xué)推理”能力的培養(yǎng)主要是通過“幾何”這一內(nèi)容載體而實(shí)現(xiàn)的．與中國相比，美國和新加坡的數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)對數(shù)學(xué)推理的認(rèn)知要求明顯低于中國．

幾何內(nèi)容一直是各國數(shù)學(xué)教育關(guān)注的焦點(diǎn)，也是歷次課程改革的焦點(diǎn)．?dāng)?shù)學(xué)推理是幾何課程中需要培養(yǎng)的非常重要的一種能力，但發(fā)展推理能力只是幾何課程的目標(biāo)之一，并不是幾何課程的全部目標(biāo)．幾何當(dāng)中的證明為推理能力的培養(yǎng)提供了載體和方法途徑，但除了證明，在幾何課程中還應(yīng)重視發(fā)展學(xué)生的幾何直觀、空間觀念、想象力、猜想、非正式的推理等多樣化的能力．另外，數(shù)學(xué)推理的要求并不僅僅限于幾何的內(nèi)容，而應(yīng)該體現(xiàn)在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和生活的各個(gè)領(lǐng)域[18]．在數(shù)與代數(shù)、統(tǒng)計(jì)與概率、綜合與實(shí)踐等其它數(shù)學(xué)內(nèi)容領(lǐng)域應(yīng)同樣加強(qiáng)發(fā)展學(xué)生的推理能力，通過不同的途徑和方法，使得學(xué)生所發(fā)展形成的推理能力是多樣的、全面的．

（2）美國重視數(shù)與運(yùn)算，“問題解決”“關(guān)聯(lián)”齊頭并進(jìn)，欠缺“數(shù)學(xué)推理”．

從編碼結(jié)果中可知，美國數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)非常重視數(shù)與運(yùn)算內(nèi)容，所具有的認(rèn)知要求總數(shù)最多，各種認(rèn)知要求類型均有涉及．

事實(shí)上，放眼國際，無論是美國，還是英國、澳大利亞、芬蘭及新加坡等國家，歷次數(shù)學(xué)課程改革，數(shù)與代數(shù)都被視為數(shù)學(xué)課程中最重要的組成部分[2]，也是其它數(shù)學(xué)內(nèi)容的基礎(chǔ)，“數(shù)”的內(nèi)容滲透在數(shù)學(xué)課程的各個(gè)領(lǐng)域．?dāng)?shù)與代數(shù)對于整個(gè)數(shù)學(xué)課程乃至跨學(xué)科、日常生活和工作都是至關(guān)重要的基礎(chǔ)．與之相比，對中國的啟示是應(yīng)該加強(qiáng)對數(shù)與代數(shù)內(nèi)容的廣度與深度，在數(shù)與代數(shù)領(lǐng)域加強(qiáng)各個(gè)類型的認(rèn)知要求，尤其是現(xiàn)在較為欠缺的高水平認(rèn)知要求，通過數(shù)與代數(shù)的內(nèi)容素材去發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)推理能力以及關(guān)聯(lián)的能力．改變當(dāng)前通過幾何訓(xùn)練數(shù)學(xué)推理能力這一單一途徑的現(xiàn)狀．

在高水平認(rèn)知要求中，與中國重視數(shù)學(xué)推理有所不同的是，美國非常重視“問題解決”和“關(guān)聯(lián)”，而且對二者的重視程度不分伯仲．從20世紀(jì)80年代開始，“問題解決”就是美國數(shù)學(xué)課程的核心要求．在美國，也有很多研究者及一線教師還將“問題解決”作為一種教學(xué)模式在課堂上實(shí)施[19]．然而，美國對于“數(shù)學(xué)推理”是較為欠缺的，尤其是“統(tǒng)計(jì)與概率”內(nèi)容只停留在低水平的認(rèn)知要求上，缺乏“數(shù)學(xué)推理”“問題解決”這樣的高水平認(rèn)知要求．

中國的數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)的課程理念也十分重視“問題解決”，尤其是在課程總目標(biāo)當(dāng)中著重提出了“增強(qiáng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)和提出問題的能力、分析和解決問題的能力”．但需要加強(qiáng)的是，在具體的內(nèi)容標(biāo)準(zhǔn)中，在各個(gè)領(lǐng)域的數(shù)學(xué)內(nèi)容中，對“問題解決”應(yīng)提出更多的、更有針對性的、明確的認(rèn)知要求，使課程理念落到實(shí)處[20~26]．

（3）新加坡數(shù)與運(yùn)算要求最多，“問題解決”一枝獨(dú)秀．

新加坡的數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)與美國相似，數(shù)與代數(shù)內(nèi)容的認(rèn)知要求最多，而且類型最豐富；在高水平認(rèn)知要求中，“問題解決”類認(rèn)知要求顯著多于“數(shù)學(xué)推理”和“關(guān)聯(lián)”．說明新加坡與美國一樣，極其重視發(fā)展學(xué)生問題解決的能力．新加坡的中小學(xué)《數(shù)學(xué)教學(xué)大綱》[11，12]的結(jié)構(gòu)將“問題解決”放在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的中心位置（如圖4所示），數(shù)學(xué)教育目標(biāo)之一即是發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)思維和問題解決的能力，并將這些技能運(yùn)用在形成問題并解決問題的過程中．

圖4 新加坡中小學(xué)數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)框架

以上研究結(jié)果再一次印證了各國數(shù)學(xué)課程對于“問題解決”這一認(rèn)知要求極高的重視程度，對于這一焦點(diǎn)問題，無論是數(shù)學(xué)課程還是數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的實(shí)施都需要引起我們足夠的重視．其次，新加坡的《數(shù)學(xué)教學(xué)大綱》不僅重視基本概念和技能的學(xué)習(xí)，同時(shí)還強(qiáng)調(diào)學(xué)習(xí)的過程以及學(xué)習(xí)態(tài)度和元認(rèn)知，提出多角度、多元化的課程標(biāo)準(zhǔn)．這些特點(diǎn)值得中國借鑒．

5 結(jié) 語

由于各國的歷史文化不同、國情不同以及教育改革所面臨的問題、教育理念不同，各國的數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)之間存在差異是很正常的，就好比“世上沒有完全相同的兩片樹葉”一樣．如果沒有差異，千篇一律都是一致的面孔，那么也就失去了統(tǒng)計(jì)與比較的意義．因此，面對跨國比較研究所得出的差異，不必也不可能斷定孰是孰非、孰優(yōu)孰劣、一味的去效仿．進(jìn)行國際比較的意義在于，由于中國長期在一定的課程范式下，難免有些思維定勢，正如蘇軾的詩句“不識廬山真面目、只緣身在此山中”所言．需要站在更高、更廣的世界范圍內(nèi)，以國際視野一覽眾山小，要做的是立足本土，繼續(xù)保持中國數(shù)學(xué)教育的優(yōu)良傳統(tǒng)，同時(shí)又要緊跟國際，與時(shí)俱進(jìn)，給這些優(yōu)良傳統(tǒng)賦予新的時(shí)代內(nèi)涵．最后，研究者只是如實(shí)、客觀的獲得了各國數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)的實(shí)然狀況，得到了一些數(shù)據(jù)和差異，借此可以將別的國家作為一面鏡子，去更客觀地反思中國的課程，更好地了解自己，進(jìn)而取長補(bǔ)短、中西兼容，打造出世界級一流的、具有中國特色的優(yōu)質(zhì)數(shù)學(xué)課程．

[1] 曹一鳴．十三國數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)評介（小學(xué)、初中卷）[M]．北京：北京師范大學(xué)出版社，2012．

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[9] 中華人民共和國教育部．義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）[M]．北京：北京師范大學(xué)出版社，2012．

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[責(zé)任編校：陳漢君]

Comparative Study of Content and Cognitive Demands of Mathematics Curriculum Standards from China, US, and Singapore

KANG Yue-yuan

(College of Teacher Education, Tianjin Normal University, Tianjin 300387, China)

In this study, we select the mathematics curricula from China, US and Singapore. We code the curricula in the following two dimensions: content distribution and cognitive demands. China’s standards consist of a high proportion of geometry content, which outnumbers all the other content by an obvious margin. In the China’s standard, mathematical reasoning is very important among high-level cognitive demands. In the US and Singapore’s standards, number and algebra are more than other content. Problem solving is more important among high-level cognitive demands from the US and Singapore.

mathematics curriculum standard; content settings; cognitive demands; comparative study

G40-059.3

A

1004–9894（2016）06–0027–05

2016–08–20

全國教育科學(xué)“十二五”規(guī)劃2013 年度教育部青年專項(xiàng)課題——內(nèi)容分布與認(rèn)知要求雙重視角下的義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)國際比較研究——以數(shù)學(xué)課程為例（EHA130395）

康玥媛（1983—），女，天津人，副教授，博士，主要從事數(shù)學(xué)課程與教學(xué)研究．