基于CDIO的概率統(tǒng)計(jì)實(shí)驗(yàn)研究

沈小芳

（武昌首義學(xué)院，湖北 武漢 430064）

基于CDIO的概率統(tǒng)計(jì)實(shí)驗(yàn)研究

沈小芳

（武昌首義學(xué)院，湖北 武漢 430064）

基于CDIO模式，從實(shí)驗(yàn)內(nèi)容的改進(jìn)、形式的轉(zhuǎn)變兩個(gè)方面對(duì)概率統(tǒng)計(jì)的實(shí)驗(yàn)進(jìn)行了研究和探討，以提高概率統(tǒng)計(jì)的工程應(yīng)用能力，特別是概率統(tǒng)計(jì)知識(shí)的運(yùn)用能力、實(shí)踐動(dòng)手能力和解決實(shí)際問題的建模能力。

CDIO；概率統(tǒng)計(jì)；Matlab；數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)

CDIO是構(gòu)思（Conceive）、設(shè)計(jì)（Design）、實(shí)施（Implement）、與運(yùn)行（Operate）的縮寫，此教育模式是麻省理工學(xué)院、瑞典皇家工學(xué)院等大學(xué)經(jīng)過多年探索形成的國際工程教育改革的最新成果。CDIO旨在培養(yǎng)學(xué)生綜合應(yīng)用能力，將學(xué)科導(dǎo)向改變?yōu)轫?xiàng)目導(dǎo)向，將應(yīng)試教育轉(zhuǎn)變?yōu)閼?yīng)用能力教育，變強(qiáng)調(diào)知識(shí)的嚴(yán)謹(jǐn)性為注重項(xiàng)目訓(xùn)練的完整性［1］。筆者在CDIO工程教育模式的指導(dǎo)下，結(jié)合概率統(tǒng)計(jì)自身的特點(diǎn)，從教學(xué)內(nèi)容、教學(xué)形式2個(gè)方面對(duì)《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》的課堂教學(xué)進(jìn)行了研究和探討。

1 教學(xué)內(nèi)容的改進(jìn)

1.1 精選多樣化例題，開展課堂討論

CDIO教育模式強(qiáng)調(diào)培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，學(xué)習(xí)興趣的加強(qiáng)無疑會(huì)激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的動(dòng)力，而學(xué)習(xí)的動(dòng)力則是學(xué)生進(jìn)行主動(dòng)學(xué)習(xí)的內(nèi)驅(qū)力。在概率統(tǒng)計(jì)里趣味性的例子比比皆是，精選貼近現(xiàn)實(shí)生活的例題，以激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，讓學(xué)生在解決具體問題的過程中具有成就感。最后教師可以對(duì)學(xué)生討論進(jìn)行總結(jié)，給以合理的解答。比如在講授“古典概型”加法公式時(shí)，引入下面這個(gè)例子。

問題提出：“三個(gè)臭皮匠，頂個(gè)諸葛亮?！闭?qǐng)通過概率原理加以論證。

問題假設(shè)：假設(shè)諸葛亮解決問題的概率為0.8，3個(gè)臭屁匠獨(dú)立解決問題的概率為

且每個(gè)人解決問題是相互獨(dú)立的。

問題求解：3個(gè)臭皮匠至少有1個(gè)能解決問題的概率可由加法公式求解：

即3個(gè)聰明的臭皮匠解決問題的可能性超過了80%，和諸葛亮解決問題的概率差不多。

學(xué)生通過思考解決問題的過程，加深對(duì)加法定理的理解，由于研究的問題耳熟能詳，研究背景樸素，對(duì)學(xué)生的認(rèn)知觸動(dòng)也是非常顯著的。

1.2 開展案例教學(xué)，培養(yǎng)建模能力

CDIO教育模式注重學(xué)生的工程建模能力的培養(yǎng)。《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》是從實(shí)際生產(chǎn)中產(chǎn)生的一門應(yīng)用性學(xué)科，它來源于實(shí)際又服務(wù)于實(shí)際。因此，采取案例教學(xué)法，重視理論聯(lián)系實(shí)際，可以使教學(xué)過程充滿活力，學(xué)生在課堂上能接觸到大量的實(shí)際問題，可以提高學(xué)生綜合分析和解決實(shí)際問題的能力。比如在講授二項(xiàng)分布時(shí)，為了加深學(xué)生對(duì)知識(shí)的理解，以“盥洗室問題”為實(shí)例。

問題提出：宿舍樓的盥洗室在用水高峰時(shí)，老是需要排隊(duì)等待，學(xué)生意見很大。學(xué)校領(lǐng)導(dǎo)把他作為一道數(shù)學(xué)問題，希望學(xué)生從理論上，給出一個(gè)合理的解決方案。

問題分析：引導(dǎo)學(xué)生調(diào)查研究收集資料，宿舍樓有500名學(xué)生，盥洗室有50個(gè)水龍頭，用水高峰約2 h（120 min），每名學(xué)生用水時(shí)間平均12 min，等待時(shí)間不長(zhǎng)（最多12 min），但經(jīng)常等待實(shí)在惱人，同學(xué)們的要求合情合理，希望100次用水中，需要等待的次數(shù)不超過5～10次。

問題假設(shè)：1）樓上（下）的學(xué)生可以到樓下（上）用水，不必再按樓層調(diào)查人數(shù)。500名學(xué)生隨機(jī)地用這50個(gè)龍頭。2）同學(xué)們的要求是概率值，因此歸結(jié)為概率問題。從條件中找概率：一名學(xué)生在盥洗室（用水）的概率為0.1（12/120）。3）增加水龍頭是最簡(jiǎn)單最實(shí)際的解決辦法，安裝多少個(gè)水龍頭才能既能緩解學(xué)生的用水緊張，又不造成浪費(fèi)。

問題求解：出現(xiàn)在盥洗室的學(xué)生超過50人就要等待，學(xué)生數(shù)是變化的，而且是隨機(jī)的，最好的辦法是用隨機(jī)變量來描述。

第1步數(shù)學(xué)化：設(shè)X是某時(shí)刻用水的學(xué)生數(shù)，利用所學(xué)的知識(shí)，獨(dú)立的500人，單個(gè)用水的概率是0.1，現(xiàn)在是X人用水，類似于獨(dú)立實(shí)驗(yàn)序列，因此用二項(xiàng)分布比較適合，故設(shè)X服從二項(xiàng)分布，n為500，P為0.1。

第2步計(jì)算：關(guān)心不需要等待（X<50）的概率：

這是一個(gè)初步的模型，是一個(gè)二項(xiàng)分布問題，可以按二項(xiàng)分布來計(jì)算。由于n很大（n=500），直接用二項(xiàng)分布計(jì)算太復(fù)雜，因此利用二項(xiàng)分布的2種簡(jiǎn)化近似公式（泊松分布和正態(tài)分布）來計(jì)算：

λ值太大，利用泊松分布來近似計(jì)算并不理想。因而考慮用正態(tài)分布來近似會(huì)更方便，計(jì)算得

所以用X～N（50，45）來近似計(jì)算。即所要的結(jié)果為P（X<50）為0.5，說明學(xué)生等待的概率為0.5，相當(dāng)于每2次用水就有1次等待，數(shù)據(jù)很有說服力。

第3步改進(jìn)方案：如果將水龍頭增加到x個(gè)，則等待概率為

學(xué)生們希望這個(gè)概率是0.05～0.1，即當(dāng)P為0.05時(shí)，查正態(tài)分布表得到x為61.28；當(dāng)P為0.1時(shí)，查正態(tài)分布表得到x為58.6，說明水龍頭的個(gè)數(shù)在59～62個(gè)時(shí)學(xué)生等待的概率比較合理。

通過此問題的解決，讓學(xué)生體會(huì)到了自己動(dòng)手收集、分析數(shù)據(jù)、建立模型、解決實(shí)際問題的樂趣，讓學(xué)生經(jīng)歷較系統(tǒng)的數(shù)據(jù)處理全過程，在此過程中學(xué)習(xí)一些數(shù)據(jù)處理的方法，并運(yùn)用所學(xué)知識(shí)和方法去解決實(shí)際問題，提高了學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)的能力。

2 教學(xué)形式的轉(zhuǎn)變

2.1 采用多媒體教學(xué)

多媒體教學(xué)與傳統(tǒng)的教學(xué)法相比有著不可比擬的優(yōu)勢(shì)。一方面，由于概率統(tǒng)計(jì)例題字?jǐn)?shù)較多，抄題很費(fèi)時(shí)間。制作多媒體課件，教師有更多的精力對(duì)內(nèi)容進(jìn)行詳細(xì)地分析和講解，增加與學(xué)生的互動(dòng)，增加課堂信息量。比如在概率部分，把幾個(gè)重要的離散型隨機(jī)變量、連續(xù)型隨機(jī)變量的分布率、概率密度、期望、方差等列成表格；在統(tǒng)計(jì)部分，將正態(tài)總體均值和方差的置信區(qū)間，假設(shè)檢驗(yàn)問題的拒絕域列成表格形式，其中所涉及到的重要統(tǒng)計(jì)量的分布密度函數(shù)用圖形表示出來，通過讓學(xué)生先了解圖形的特點(diǎn)，再結(jié)合分位數(shù)的有關(guān)知識(shí)，找出其中的規(guī)律，理解其含義及聯(lián)系，加深了學(xué)生對(duì)概念的理解及方法的運(yùn)用，以便更容易記住和求出置信區(qū)間和假設(shè)檢驗(yàn)問題的拒絕域。對(duì)于教材中的重點(diǎn)、難點(diǎn)、復(fù)習(xí)課、習(xí)題課等都制作成多媒體課件形式，配以適當(dāng)?shù)暮诎逖菟憬虒W(xué)，這樣既能延續(xù)一貫的聽課方式，發(fā)揮教師的主導(dǎo)作用，又能充分體現(xiàn)學(xué)生的認(rèn)知主體作用。另一方面，多媒體教學(xué)適時(shí)用Matlab生動(dòng)形象的演示，可將一些抽象內(nèi)容直觀地反映出來，使學(xué)生更容易理解。比如在講授概率的概念時(shí)，會(huì)講到“頻率是概率的近似值”，“概率是頻率的極限值”，引入Matlab程序，模擬拋硬幣試驗(yàn)，經(jīng)過不同次數(shù)拋硬幣看頻率的數(shù)值波動(dòng)變化，通過圖像結(jié)果讓學(xué)生深刻理解這一概念。Mat?lab程序設(shè)計(jì)如下：

程序的運(yùn)行結(jié)果如圖1所示。

圖1 拋硬幣試驗(yàn)頻率與概率偏離圖

又如在學(xué)習(xí)二維正態(tài)分布時(shí)，對(duì)于二維正態(tài)分布的密度函數(shù)曲面圖像，如果只靠板書和口頭講解是很難了解到其空間形狀，通過Matlab軟件編寫如下程序：

得到如圖2所示立體圖形，二維正態(tài)分布的密度函數(shù)曲面圖像完美直觀展示，這樣學(xué)生對(duì)相關(guān)參數(shù)的作用有了直觀的印象，加深學(xué)生對(duì)于公式的理解，激發(fā)學(xué)生的空間想象思維。

2.2 開設(shè)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)課

CDIO教育模式主張用問題啟發(fā)學(xué)生思維，讓學(xué)生在實(shí)踐中去發(fā)現(xiàn)問題解決問題，從中獲得經(jīng)驗(yàn)和技能。數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)主要是以計(jì)算機(jī)數(shù)學(xué)軟件的應(yīng)用為平臺(tái)，結(jié)合數(shù)學(xué)模型，模擬實(shí)驗(yàn)環(huán)境進(jìn)行的教學(xué)模式，可以使用這些軟件來解決有較大數(shù)據(jù)量和較強(qiáng)應(yīng)用性的概率或統(tǒng)計(jì)方面的案例。

實(shí)驗(yàn)案例1：中心極限定理的驗(yàn)證實(shí)驗(yàn)

中心極限定理［2］指的是N個(gè)獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量的和分布近似服從正態(tài)分布，設(shè)計(jì)隨機(jī)模擬實(shí)驗(yàn)來驗(yàn)證中心極限定理。Matlab程序如下：

圖3 中心極限定理驗(yàn)證試驗(yàn)結(jié)果

通過實(shí)驗(yàn)得到圖3，通過實(shí)驗(yàn)學(xué)生更深的認(rèn)識(shí)到中心極限定理的理論意義及其應(yīng)用價(jià)值。

實(shí)驗(yàn)案例2：線性回歸分析

為了測(cè)定刀具的磨損程度隨時(shí)間t的變化，每隔1 h一次刀具的厚度，得到數(shù)據(jù)如表1所示。

Matlab程序如下：

圖4 殘差分析圖

表1 刀具厚度與時(shí)間關(guān)系

殘存分析圖和回歸直線圖如圖4～5所示，通過概率統(tǒng)計(jì)實(shí)驗(yàn)不僅讓學(xué)生體會(huì)到應(yīng)用概率統(tǒng)計(jì)知識(shí)進(jìn)行數(shù)學(xué)建模的全過程，而且學(xué)生通過軟件的學(xué)習(xí)應(yīng)用，進(jìn)一步增強(qiáng)了數(shù)學(xué)理論應(yīng)用意識(shí)，這樣既豐富了學(xué)生的實(shí)踐活動(dòng)，又增強(qiáng)了學(xué)生的實(shí)踐動(dòng)手能力和解決實(shí)際問題的能力。

圖5 散點(diǎn)圖與回歸直線圖

3 結(jié)束語

概率統(tǒng)計(jì)教學(xué)要想在培養(yǎng)學(xué)生實(shí)踐能力和創(chuàng)新能力方面有所突破，必須打破單一的講授式教學(xué)形式，探索和嘗試新的教育模式，CDIO工程教育模式無疑是一個(gè)有益的嘗試?；贑DIO工程教育模式，概率統(tǒng)計(jì)教學(xué)在教學(xué)內(nèi)容上要從學(xué)生角度出發(fā)組織教學(xué)內(nèi)容，與時(shí)代發(fā)展接軌適時(shí)更新教學(xué)內(nèi)容，抓住學(xué)生的興趣點(diǎn)，啟發(fā)學(xué)生的創(chuàng)新思維，同時(shí)培養(yǎng)學(xué)生的建模能力；在教學(xué)形式上應(yīng)該采用豐富的教學(xué)手段，充分調(diào)動(dòng)學(xué)生的思維積極性，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情，培養(yǎng)其創(chuàng)新和實(shí)踐能力。

［1］Crawley E.重新認(rèn)識(shí)工程教育——國際CDIO培養(yǎng)模式與方法［M］.顧佩華，沈民奮，陸小華，譯.北京：高等教育出版社，2009：1-11.

［2］盛驟，謝式千，潘承毅.概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)［M］.4版.北京：高等教育出版社，2008：145.

［3］鄭喜英，孔波.基于Matlab的概率統(tǒng)計(jì)教學(xué)研究［J］.河南教育學(xué)院學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2014，23（1）：56-59.

［4］張冬梅，王幸剛，高雪芬.在概率統(tǒng)計(jì)教學(xué)中引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行研究性學(xué)習(xí)的若干措施［J］.教學(xué)研究，2015（2）：17-20+26.

Research on Experiment of Probability Statistics Based on CDIO

Shen Xiaofang
（Wuchang Shouyi University,Wuhan430064,China）

Based on CDIO,the experiment methods were investigated from the two aspects of the experi?mental content and the experiment pattern for the probability statistics in order to improve the engineer?ing application ability of probability statistics,especially the professional knowledge application ability, hands-on practical ability,and modeling ability for practical problem-solving.

CDIO;probability statistics;Matlab;mathematics experiment

O211

：A

：1008-5483（2016）04-0077-04

10.3969/j.issn.1008-5483.2016.04.018

2016-04-07

沈小芳（1979-），女，湖北隨州人，碩士，從事概率與數(shù)理統(tǒng)計(jì)研究。E-mail:914077819@qq.com