環(huán)肋圓柱殼臥置狀態(tài)下的重力變形分析

劉東，張岳林，陳武

1中國人民解放軍91404部隊，河北秦皇島066001

2海軍駐上海江南（造船）集團有限責(zé)任公司軍事代表室，上海201913

環(huán)肋圓柱殼臥置狀態(tài)下的重力變形分析

劉東1，張岳林1，陳武2

1中國人民解放軍91404部隊，河北秦皇島066001

2海軍駐上海江南（造船）集團有限責(zé)任公司軍事代表室，上海201913

為了研究潛艇耐壓殼體合攏階段端口處在自身重力作用下產(chǎn)生的變形，基于板殼理論的有矩理論和無矩理論，推導(dǎo)環(huán)肋圓柱殼自由端變形的簡單計算公式，計算結(jié)果與有限元仿真結(jié)果進行了比較，驗證了公式的可靠性。結(jié)果表明：當(dāng)?shù)撞亢喼У谋”趫A柱殼受到自身重力影響時，自由端變形量與圓柱殼內(nèi)半徑的四次方成正比，與壁厚的二次方成反比；對于懸臂圓柱殼，重力載荷對自由端面的圓度影響不大，隨著自由端與固支端的距離增大自由端變形量呈非線性遞增趨勢，且增加速率逐漸增大。隨著圓柱殼內(nèi)半徑增加，自由端變形量逐漸降低，當(dāng)圓柱殼內(nèi)半徑是縱向長度的0.75倍時，自由端變形量達(dá)到最小，此后，隨著圓柱殼內(nèi)半徑增加而逐漸增大。研究結(jié)果可為環(huán)肋圓柱殼臥置狀態(tài)下的重力變形計算和加強措施提供參考。

環(huán)肋圓柱殼；重力變形；結(jié)構(gòu)力學(xué)；彈性力學(xué)；板殼理論；無矩理論

0 引 言

20世紀(jì)40年代以來，造船模式大致經(jīng)歷了4個階段，包括按功能/系統(tǒng)組織生產(chǎn)、按區(qū)域/系統(tǒng)組織生產(chǎn)、按區(qū)域/階段/類型組織生產(chǎn)以及按區(qū)域/階段/類型一體化組織生產(chǎn)，最后階段的造船模式又稱為現(xiàn)代造船模式［1-4］，該模式有利于加強船舶工業(yè)企業(yè)管理、縮短造船周期、提高建造效率及現(xiàn)代化管理水平，從而被國內(nèi)外造船界公認(rèn)為當(dāng)今最先進的造船模式。但是，隨著現(xiàn)代造船模式的興起，在傳統(tǒng)造船模式中沒有出現(xiàn)過的問題也逐漸顯現(xiàn)。以潛艇建造為例，作為典型環(huán)肋圓柱殼的耐壓殼體在合攏施工階段均處于臥置狀態(tài)，按照總段模塊化建造要求，很多設(shè)備在組裝前已經(jīng)安裝到位，臥置的圓柱殼在自身重力作用下會產(chǎn)生變形。當(dāng)變形超出一定范圍后，將對耐壓殼體大合攏階段的裝配造成影響，例如，在殼體的橢圓度較大時強行裝配圓柱殼圈會產(chǎn)生較大應(yīng)力，嚴(yán)重時可能產(chǎn)生裂紋，造成安全隱患。

目前，解決該問題的通常做法是在圓柱殼的端部設(shè)置內(nèi)部支撐結(jié)構(gòu)，以避免臥置狀態(tài)下因自身重力作用及其他載荷原因引起變形。但按模塊化設(shè)備安裝施工的需要，部分圓柱殼的端部不能設(shè)置支撐結(jié)構(gòu)，為了提高圓柱殼結(jié)構(gòu)的安全性、總段合攏施工效率以及保證建造質(zhì)量，需要先預(yù)報處于臥置狀態(tài)下的圓柱殼在自身重力和設(shè)備等其他載荷的影響下產(chǎn)生的變形量，進而提出相應(yīng)的解決措施。

在圓柱殼中，為了得到應(yīng)力狀態(tài)的近似解，計算時，可取圓柱殼端部變形的平均值作為計算值［5］，而主曲率半徑變化通?？梢院雎圆挥嫞?］。

對圓柱殼進行非線性分析，必須考慮以下2個問題：第一，建立能正確描述結(jié)構(gòu)非線性特性的基本方程［7-8］；第二，方程組建立后，尋求簡單、有效的求解方法。目前，圓柱殼非線性問題的求解方法主要有2種，即半解析法和數(shù)值法。半解析法指在求解控制方程的過程中引入部分解析解或解析函數(shù)；解析法指在求解球—環(huán)—錐組合殼體結(jié)構(gòu)時，取薄膜解和邊緣力作用下有矩解的和來表示各殼段的內(nèi)力，并利用邊界條件，得到結(jié)構(gòu)應(yīng)力的解析式［9］。龔良貴等［10］基于卡門假設(shè)和板殼理論，建立了球?qū)ΨQ變形下完整球殼非線性彎曲的控制方程。鄭衍雙等［11］為了研究局部缺陷對球殼破壞壓力的影響，開展了14個鋁球殼和4個鋼球殼的模型試驗，并得到球殼破壞一般為局部現(xiàn)象的試驗結(jié)果。

在圓柱殼的幾何、物理模型及重力載荷引入某些簡化假設(shè)的基礎(chǔ)上，本文采用經(jīng)典板殼理論中的有矩理論和無矩理論，對環(huán)肋圓柱殼在自身重力作用下的變形及其影響因素進行研究分析。

1 理想圓柱殼的自重變形

圖1所示為處于臥置狀態(tài)下有底部簡支的理想圓柱殼。圖中：A為圓柱殼上任意位置的截面，A0，A1，A2分別為X軸正向、Z軸負(fù)向和Z軸正向截面一部分；U1，U2，ω0分別為A1，A2，A0截面在各自方向上的變形，mm；P為支撐點，R為圓柱殼內(nèi)半徑，mm。對于A截面：X=Rcosφ，Z=Rsinφ。M0，M1為作用于圓柱殼任意截面A的彎矩，而作用于圓柱殼任意截面A的垂直力對彎矩M的影響很小，可忽略不計；M2為第一象限A2至A的圓柱殼自身重力作用于A截面的彎矩；圓柱殼底部支撐平臺對右半側(cè)圓柱殼的反作用力傳遞到截面A0的值為P/2。

圖1 底部簡支的理想圓柱殼［12］Fig.1 Ideal cylindrical shell with bottom simplesupported boundary condition［12］

設(shè)圓柱殼位于第一象限的部分于A0截面處固定，在M2作用下，A2分別向下和向左位移，并按下式計算M2。

式中：F為圓柱殼截面面積，mm2；γ為圓柱殼重度，N/mm3；φ為計算點與X軸正向的夾角，（°）。

對于圓柱殼下半圓的第四象限，設(shè)第四象限的圓柱殼于A0截面處固定，則在平臺對右半側(cè)圓柱殼向上的反作用P和第四象限圓柱殼向下的自身重力共同作用于任意截面A的彎矩M1作用下，A1向左上方位移。第一象限圓柱殼的自身重力作用于A0截面的值是P/2，并按下式計算M1：

則

即作用于圓柱殼任意截面A的彎矩相等。

以第四象限為例，計算彎矩M值。令ε0=0，ω=-RM/EI，其中：ε0為線應(yīng)變，mm；ω為角應(yīng)變，rad；E為圓柱殼材料的彈性模量，MPa；I為截面慣性矩，mm4。

A0和A1兩個截面的夾角在圓柱殼自身重力作用下發(fā)生變化，其中

求解得到彎矩后，圓柱殼在自身重力作用下垂直方向變形量U指的是垂直位置的圓柱殼內(nèi)半徑在垂直方向的減少量。第四象限A1點在垂直方向向上的位移U1

由此，垂直位置的圓柱殼內(nèi)半徑在垂直方向的減少量U

式中：ρ為材料密度，kg/m3；g為重力加速度，m/s2。

2 懸臂圓柱殼的自重變形

板殼理論是19世紀(jì)末基于基爾霍夫—樂甫（Kirchhoff-Love）假設(shè)建立起來的。根據(jù)板殼理論，如果殼體的幾何形狀和表面載荷都是連續(xù)可微函數(shù)，則殼體處于無彎矩的應(yīng)力狀態(tài)，即稱之為板殼的無矩理論。

如圖2所示，q1，q2，q3為圓柱殼所受載荷q0分別在縱向、環(huán)向及法向的分量；FT1，F(xiàn)T2和FT12=FT21分別為縱向拉壓力、環(huán)向拉力及平錯力，則柱殼的無矩理論平衡方程和彈性方程分別由式（8），式（9）給出。

圖2 圓柱殼的無矩理論示意圖Fig.2 Schematic of non-moment theory of cylindrical shell

式中：u，v，w為圓柱殼中面內(nèi)各點的縱向、環(huán)向及法向位移，mm；α，β分別為圓柱殼縱向、環(huán)向長度，mm，δ為圓柱殼厚度，mm；μ為泊松比。

圖3所示為假設(shè)全長為l的某個各向同性材料的懸臂圓柱殼。圖中，左、右兩端分別為固支端和自由端。

圖3 懸臂圓柱殼示意圖Fig.3 Schematic of antilever cylindrical shell

取圓柱殼截面中點O為坐標(biāo)原點，由于對稱性，只對圓柱殼縱向長度α的正向進行計算，載荷q0及其在3個方向上單位面積載荷分量分別為：q0=ρδg,q1=0,q2=q0sinφ,q3=-q0cosφ，由式（8）第3式可得環(huán)向拉力FT2。

其中，R為β的函數(shù)，代入式（8）第2式，得

對式（11）進行積分后得到FT12=2q0(l-α)sinφ，其中，積分后產(chǎn)生的常數(shù)分別由2個邊界條件確定，即自由邊：FT1=FT12=FT21=0；固定邊：u=v=0。

將2個邊界條件代入式（8）第1式得到：

然后，對圓柱殼縱向長度α進行積分可得到：

將式（13）代入式（9）第1式積分，得到法向位移u

再將式（14）代入式（9）第3式，得到環(huán)向位移v

為了簡化考慮，記

最后，將式（15）代入式（9）第2式，得到法向位移w。

2.1 自由端變形隨α的變化

采用上述理論方法，計算圓柱殼不同縱向長度α?xí)r的自由端頂點的變形，同時進行有限元仿真，并與理論值進行比較，研究自由端變形隨α變化的規(guī)律。采用大型有限元軟件ABAQUS進行求解，不考慮非線性修正。選取4種不同縱向長度α與圓柱殼內(nèi)半徑R的比值，且δ=0.01R。對模型施加g=9 800 m/s2的重力載荷，得到表1所示兩種方法的計算結(jié)果，以及圓柱殼自由端變形云圖（圖4）和自由端變形隨α變化的曲線（圖5）。

圖4 有限元仿真的自由端變形云圖Fig.4 Contours of free end deformation by finite element analysis

圖5 自由端變形隨α變化曲線Fig.5 Curve of free end deformation range changing withα

由表1和圖4可知，本文計算結(jié)果和采用ABAQUS軟件仿真解較為接近，相對誤差控制在3%以內(nèi)，自由端變形量隨α增大而呈非線性遞增趨勢，且增加速率逐漸增大，說明自由端與固支端的距離是影響自由端變形的重要因素。由圖5也可以看出，距固支端較近的位置無明顯變形。在實際工程中，應(yīng)盡量增加支撐墩木的數(shù)量以避免自由端與固支端距離過大。本文計算結(jié)果相較于有限元解偏大，主要是因為有限元仿真使用了4節(jié)點線性縮減積分單元（S4R），采用完全積分單元有望使計算結(jié)果更加精確。

表1 自由端變形隨α變化的計算結(jié)果比較Table 1 Results comparison of free end deformation changing with α

2.2 自由端變形隨δ的變化

由板殼理論可知，薄壁殼體問題僅適用于壁厚小于1/20內(nèi)半徑的情況。為了建立一系列壁厚大范圍變化的懸臂圓柱殼模型，仿真時將圓柱殼的壁厚δ控制在其內(nèi)半徑的1/20以內(nèi)。選取4種不同壁厚δ與內(nèi)半徑R的比值。對模型施加g=9 800 m/s2重力載荷，得到表2所示2種方法的計算結(jié)果，以及圓柱殼自由端變形隨δ變化的曲線（圖6）。

由表2和圖6可知，隨著δ增大，自由端變形未發(fā)生變化，這與自由端變形的表達(dá)式是一致的。由u，v，w的表達(dá)式可知，各式中均含有q0=Eδ項，而q0=ρδg，消去δ可以發(fā)現(xiàn)自由端變形是一個與δ無關(guān)的值。根據(jù)有限元仿真結(jié)果，隨著δ增大，自由端變形呈線性略微減小的趨勢。這是由于圓柱殼壁厚增大改變了模型的剛度，與實際情況相符，說明隨著δ增大，本文計算結(jié)果的精度逐漸變差，但與有限元解的相對誤差控制在2%以內(nèi)，滿足工程實際需求?；跀?shù)值法引入修正系數(shù)有利于提高計算結(jié)果精度。

表2 自由端變形隨δ變化的計算結(jié)果比較Table 2 Results comparison of free end deformation changing withδ

圖6 自由端變形隨δ變化曲線Fig.6 Curve of deformation range changing withδ

2.3 自由端變形隨R的變化

根據(jù)實際情況，本文選取內(nèi)半徑R分別為2 000，3 000，4 000，5 000，6 000 mm的環(huán)肋圓柱殼，并選取與5種不同縱向長度α的比值，對模型施加g=9 800 m/s2的重力載荷，經(jīng)計算后，得到如表3所示兩種方法的計算結(jié)果，以及自由端變形隨R變化的曲線（圖7）。

表3 自由端變形隨R變化的計算結(jié)果比較Table 3 Results comparison of free end deformation changing withR

圖7 自由端變形隨R變化曲線Fig.7 Curve of deformation range changing withR

由圖7可知，隨著圓柱殼內(nèi)半徑增大，自由端變形逐漸減小，當(dāng)R=0.75α?xí)r，自由端變形量達(dá)到最小，之后隨著R增大而逐漸增大。結(jié)合圖4自由端變形云圖可知，無論無矩理論解，還是有限元仿真解，自由端上方變形和下方變形都是相似的，即重力載荷并未大幅度改變圓柱殼的圓度。在研究自由端變形隨R變化時，本文解相較于有限元解偏大，相對誤差1%左右。

3 算例分析

以圖8所示的環(huán)肋圓柱殼為研究對象，計算端面變形。該圓柱殼為某潛艇艙段仿真圖，艙段全長10 000 mm，肋骨間距100 mm，肋骨尺寸圓柱殼內(nèi)半徑4 500 mm，材料密度ρ=7 850 kg/m3，彈性模量E=210 GPa，泊松比μ=0.3，后2個參數(shù)可以反映艙段合攏處圓柱殼的剛度。對于支撐結(jié)構(gòu)的剛度，由于本文主要目的在于研究需要合攏的2個端面的變形差，即使支撐結(jié)構(gòu)發(fā)生較大變形，2個端面支撐結(jié)構(gòu)的變形也基本一致，2個端面變形差還是主要取決于圓柱殼自身重力作用，故邊界條件為底部簡支。

圖8 環(huán)肋圓柱殼模型Fig.8 Model of stiffened cylindrical shell

在計算環(huán)肋圓柱殼端面變形時，引入了2個假設(shè)條件：外板厚度相對于肋骨腹板較小，將外板重量施加在腹板上，基于有矩理論計算腹板的自重變形；肋骨變形后為端面提供固支的邊界條件，則該問題變成基于無矩理論計算懸臂圓柱殼的自由端變形，求解2個變形量的代數(shù)和，即得到端面變形。

肋骨變形

自由端變形

端面變形

4 結(jié) 論

本文對環(huán)肋圓柱殼臥置狀態(tài)下的重力變形進行了分析，得到以下結(jié)論：

1）對于理想圓柱殼底部簡支情況，有矩理論表明，在自身重力作用下，圓柱殼垂直位置的內(nèi)半徑在垂直方向減少量隨內(nèi)半徑增大而增大，隨厚度增大而減小，變形量基本上與內(nèi)半徑的四次方成正比，與厚度的二次方成反比。

2）對于設(shè)置有固支端和自由端的懸臂圓柱殼情況，無矩理論表明，自由端變形量隨圓柱殼內(nèi)半徑增大而減小，隨厚度增大而減小，同一端面各點的變形量大致相同，即重力載荷對自由端面的圓度影響不大。

3）根據(jù)本文計算分析，懸臂圓柱殼自由端變形數(shù)量級較小，在工程實際中，橫艙壁剛度較大，可近似提供固支邊界條件，說明橫艙壁對自由端變形影響很大。

4）本文在使用有限元建模時采用了4節(jié)點線性縮減積分單元，而使用非線性完全積分單元能否提高精度是下一步研究的方向。

［1］ 楊江軍.總裝化造船在新型企業(yè)中的應(yīng)用研究［D］.上海：上海交通大學(xué)，2008.

［2］ 許月仲.北方某船廠現(xiàn)代造船模式主流程優(yōu)化實施方案研究［D］.哈爾濱：哈爾濱工程大學(xué)，2007.

［3］ 王承文.現(xiàn)代造船模式研究［D］.哈爾濱：哈爾濱工程大學(xué)，2006.

［4］ 孔祥昆.現(xiàn)代造船模式與方法分析研究［D］.哈爾濱：哈爾濱工程大學(xué)，2009.

［5］ 王安穩(wěn)，郭日修.錐—環(huán)—柱結(jié)合殼的應(yīng)力和穩(wěn)定性［J］.中國造船，1995（3）：54-61. WANG A W，GUO R X.Stress and stability of cone-toroid-cylinder complex shells［J］.Shipbuilding of China，1995（3）：54-61（in Chinese）.

［6］ 朱邦俊，王丹，萬正權(quán).端部球面艙壁應(yīng)力近似解析解［J］.船舶力學(xué)，2011，15（11）：1255-1263. ZHU B J，WANG D，WAN Z Q.An analytical solution for stresses of the end spherical bulkhead［J］.Ship Mechanics，2011，15（11）：1255-1263（in Chinese）.

［7］ SHEN X Q，LI K T，MING Y.The modified model of Koiter's type for nonlinearly elastic shell［J］.Applied Mathematical Modeling，2010，34（11）：3527-3535.

［8］ PAIMUSHIN V N.A theory of thin shells with finite displacements and deformations based on a modified Kirchhoff-Love model［J］. Journal of Applied Mathematics and Mechanics，2011，75（5）：568-579.

［9］ 黃旎，夏飛.球—環(huán)—錐組合殼在外壓下的強度計算方法評述［J］.艦船科學(xué)技術(shù)，2011，33（9）：7-10. HUANG N，XIA F.Discussion on the calculation methods of the strength of sphere-toroid-cone combined shells strength under external pressure［J］. Ship Science and Technology，2011，33（9）：7-10（in Chinese）.

［10］ 龔良貴，李情.修正迭代法求解球殼非線性彎曲問題［J］.江西科學(xué)，2010，28（2）：158-161. GONG L G，LI Q.Modified iteration method on nonlinear bending problem of spherical shell［J］. Jiangxi Science，2010，28（2）：158-161（in Chinese）.

［11］ 鄭衍雙，陸正福，張定武.均勻外壓下有幾何缺陷球殼的破壞壓力［J］.中國造船，1986（1）：50-60. ZHENG Y S，LU Z F，ZHANG D W.Collapse pressure of spherical shells with initial imperfections under uniform pressure［J］.Shipbuilding of China，1986（1）：50-60（in Chinese）.

［12］ 呂巖茂.薄壁筒體臥置狀態(tài)圓度的探索［J］.化學(xué)工業(yè)與工程技術(shù)，2004，25（1）：49-54.

Deformation analysis of horizontal stiffened cylindrical shells under the effects of gravity

LIU Dong1，ZHANG Yuelin1，CHEN Wu2

1 The 91404thUnit of PLA，Qinhuangdao 066001，China

2 Naval Military Representative Office in Jiangnan Shipyard（Group）Co.，Ltd.，Shanghai 201913，China

In order to study the deformation of submarine pressure hulls under the effects of gravity，a sim?ple calculation formula of the deformation of the free ends of stiffened cylindrical shells is derived based on moment theory and non-moment theory，and the calculated results are compared with the results of Finite Element Analysis（FEA）which tests the reliability of the formula.The results show that when a thin-wall cylindrical shell simply supported at the bottom is affected by its own gravity，the deformation degree at the free end is directly proportional to the fourth power of the inner diameter of the cylindrical shell，and in?versely proportional to the square of the wall thickness；for cantilever cylindrical shells，the gravity load has little effect on the roundness of the free end plane.With the nonlinear increase of distance between the free end and fixed supporting end，the increase rate increases gradually.With the increase of the inner di?ameter of the cylindrical shell，the deformation degree of the free end decreases gradually.When the inner diameter of the cylindrical shell is 0.75 times its longitudinal length，the deformation degree of the free end is at a minimum，then increases gradually as the inner diameter increases.The gravity deformation calcula?tion of ring stiffened cylindrical shells in a horizontal state and the strengthening measures can provide ref?erences for further study.

stiffened cylindrical shell；gravity deformation；structural mechanics；elastic mechanics；plate and shell theory；non-moment theory

U661.43

A

10.3969/j.issn.1673-3185.2017.01.011

2016-03-13

2016-12-28 15:43

劉東，男，1978年生，工程師。研究方向：艦船維修與管理工程張岳林（通信作者），男，1990年生，碩士，助理工程師。研究方向：艦船設(shè)計制造與維修工程。E-mail:zhangyuelin24@hotmail.com

http://www.cnki.net/kcms/detail/42.1755.TJ.20161228.1543.020.html期刊網(wǎng)址：www.ship-research.com

劉東，張岳林，陳武.環(huán)肋圓柱殼臥置狀態(tài)下的重力變形分析［J］.中國艦船研究，2017，12（1）：72-77. LIU D，ZHANG Y L，CHEN W.Deformation analysis of horizontal stiffened cylindrical shells under the effects of grav?ity［J］.Chinese Journal of Ship Research，2017，12（1）：72-77.