積分邊值條件下一類發(fā)展包含的可解性

程 毅，康 悅，吳 睿

(1. 渤海大學 數(shù)理學院, 遼寧 錦州 121013; 2. 空軍航空大學 基礎(chǔ)部, 長春 130022 )

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積分邊值條件下一類發(fā)展包含的可解性

程 毅*,1，康 悅1，吳 睿2

(1. 渤海大學 數(shù)理學院, 遼寧 錦州 121013; 2. 空軍航空大學 基礎(chǔ)部, 長春 130022 )

本文討論了一類發(fā)展包含y′(t)+By∈F(t,y)在積分邊值條件下解的存在性問題，這里B為有界線性算子，F(xiàn)(t,y)是一個集值函數(shù). 本文分別運用連續(xù)選擇定理和Leray-Schauder定理證明了當F(t,y)在凸與非凸兩種情況下解的存在性.

發(fā)展方程；集值函數(shù)；連續(xù)

0 引言和預(yù)備知識

近年來，關(guān)于積分邊值條件下發(fā)展方程的可解性問題一直是國內(nèi)外研究的熱點內(nèi)容之一，并且產(chǎn)生了許多優(yōu)秀的研究成果〔1-4，7-10〕. 然而對于積分邊值條件下發(fā)展包含的可解性問題,相關(guān)結(jié)果卻很少. 因此，本文研究了在積分邊值條件下一類發(fā)展包含y′(t)+By∈F(t,y)的可解性問題，其中B為有界線性算子，F(xiàn)(t,y)是一個集值函數(shù). 下面介紹本文中需要的符號及基本概念.

記

這里y′表示y的導(dǎo)數(shù).C2π,V1,2(L,RN)是Banach空間，其范數(shù)分別為

設(shè)[L,∑]是可度量的Lebesgue空間，Y是可分的Banach空間.

令M?Y的閉集,y∈Y,則y到集合M的距離定義為

d(y,M)=inf{|y-m|:m∈M}.

定義 Pf(Y)={M?Y:非空閉集}，令F:L→Pf(Y)是一個集值函數(shù). 對于任意的z∈Y,當且僅當t→d(z,F(t))=inf{‖z-y‖:y∈F(t)}是可測的，F(xiàn)是可測的. 對于集值函數(shù)G:L→2Y{φ}，如果GrG={t,y}:y∈(t)}∈∑×N(Y),這里N(Y)是Y的Borel σ-域，則稱函數(shù)G:L→2Y{φ}的圖像是可測的. 對于?M,N∈Pf(Y).(Pf(Y),h) 是完備的度量空間. 在Pf(Y)上定義廣義度量為“Hausdorff度量”，記作

令X,Z是Hausdorff拓撲空間，G:X→2Z{φ}.G(·)為上半連續(xù)，若對于任意的C?Z是閉的且是非空的，那么G-(C)={x∈X:G(x)∩C≠φ}(G+(C)={x∈X:G(x)?C}在X內(nèi)是閉的.

證明:首先考慮下面的柯西問題：

(1)

其中λ∈RN. 易知，問題(1)有唯一解，可表示為

(2)

對(2)兩邊同時取積分得

(3)

(4)

存在. 故將(4)代入(2)可得唯一解為

(5)

在(5)兩邊同時取范數(shù)得

其中M1,M2為某一常數(shù). 故存在一個常數(shù)C>0使得‖y‖2≤C‖f‖2，即證明完畢.

1 主要研究結(jié)果

考慮下面微分包含問題：

(6)

這里B是從RN→RN的有界線性算子，F(xiàn):L×RN→2RN是一個集值函數(shù).

定義 1.1如果函數(shù)y∈V1,2(L,RN)，對于?w∈RN和幾乎所有的t∈L,并且存在函數(shù)f(t)∈F(t,y(t))滿足：〈y′(t),w〉+〈By,w〉=〈f(t),w〉，則稱y是問題(6)的解.

接下來證明當F是非凸值函數(shù)時問題(6)解的存在性. 需要如下假設(shè)：

G1:F:L×RN→RN是一個集值函數(shù)且是緊值的，并滿足：

(i)(t,y)→F(t,y)是圖像可測的；

(ii)對于幾乎所有的t∈L,y→F(t,y)是下半連續(xù)的；

定理1.1 假設(shè)G1成立，則問題(6)存在解y∈V1,2(L,RN).

證明：對于?y∈V1,2(L,RN)，記Ky=y′+By，則K:V1,2(L,RN)→K2(L,RN)是一個線性算子. 通過引理1.1，解的先驗估計以及V1,2(L,RN)→K2(L,RN)是緊嵌入， 得到K:V1,2(L,RN)→K2(L,RN)是一一映射，又K是線性連續(xù)算子，因此我們有K-1:K2(L,RN)→V1,2(L,RN)是一個連續(xù)算子. 由于V1,2(L,RN)是緊嵌入K2(L,RN)，故K-1:K2(L,RN)→K2(L,RN)是全連續(xù)的.

接下來，設(shè)Q:K2(L,RN)→2K2(L,RN)是一個多值Nemitsky算子. 其定義為Q(y)={w∈K2(L,RN):w(t)∈F(t,y(t))}. 由文獻〔5〕定理3.1得，Q(·)是可分解非空閉集，且下半連續(xù).

根據(jù)文獻〔6〕中連續(xù)選擇定理，對于集值函數(shù)F存在一個連續(xù)映射f:K2(L,RN)→K2(L,RN),使得f(y)∈F(t,y). 故可以將原問題轉(zhuǎn)化為如下不動點問題：y=K-1° f(y).我們利用Leray-Schauder替換定理證明這個不動點問題. 等價于考察集合W={y∈K2(L,RN):y=σK-1f(y),σ∈(0.1)}是有界集. 令y∈W，于是y=σK-1° f(y). 通過假設(shè)G1(iii)，得到

|f(y)|≤n(t)+c1|y|β.

即

由引理1.1，則存在常數(shù)c2>0，使得

‖y‖2≤c2‖f‖2.

故，我們有

(7)

由于0<β<1，則一定存在一個常數(shù)M>0，使得‖y‖2≤M.假設(shè)不存在，由(7)，得到

(8)

當‖y‖2充分大時，(8)的右端小于1，故假設(shè)不成立. 因此W在K2(L,RN)內(nèi)是有界集. 由于B是有界線性算子，從而存在一個常數(shù)c3>0，使得‖y‖1,2≤c3.根據(jù)Leray-Schauder替換定理，存在y∈V1,2(L,RN)，使y=K-1° f(y).，即y是問題(6)的解.

G2:F:L×RN→RN是集值函數(shù)且是緊凸值的，并滿足：

(i)(t,y)→F(t,y)是圖像可測的；

(ii)對于幾乎所有的t∈L,y→F(t,y)是閉圖像的；

定理1.2 如果假設(shè)G2成立，那么問題(6)存在解y∈V1,2(L,RN),而且解集在V1,2(L,RN)中是弱緊的.

證明：根據(jù)定理2.1，K-1:K2(L,RN)→K2(L,RN)全連續(xù)，多值Nemitsky算子Q:K2(L,RN)→2K2(L,RN)是非空閉凸的.

下面證明Q(·)從V1,2(L,RN)到K2(L,RN)w是上半連續(xù)的. 設(shè)Qα是K2(L,RN)的非空弱閉子集,則等價于證明集合Q-1(Qα)={y∈E(K):Q(y)∩Qα≠φ}是閉的. 假設(shè)在V1,2(L,RN)中,存在函數(shù)列{yn}n≥1?Q-1(Qα)，使得yn→y. 故存在收斂子序列，不防設(shè)為本身yn(t)→y(t). 設(shè)fn∈Q(yn)∩Qα,n≥1. 由假設(shè)G2(iii)和Dunford-Pettis定理，則在K2(L,RN)中fn弱收斂f. 因此，又對于幾乎所有的t∈L,得到

問題(6)等價如下不動點問題：

y∈K-1°Q(y).

由于K-1:K2(L,RN)→K2(L,RN)是全連續(xù)的，K-1°Q:K2(L,RN)→K2(L,RN)是上半連續(xù)的，且映有界集為相對緊集. 類似于定理2.1的證明

Γ1{y∈K-1(L,RN):y∈σK-1°Q(y),σ∈(0,1)}

是有界的. 根據(jù)集值Leray-Schauder替換定理，存在y∈V1,2(L,RN),使得y∈K-1°Q(y).顯然，y是問題(6)的解.

令SP是問題(6)的解集. 類似定理2.1的證明得到解的先驗估計. 故存在常數(shù)M>0,使|SP|=sup{‖u‖1,2:u∈SP}≤M. 由假設(shè)G2(iii)和Dunford-Pettis定理,假設(shè)在V1,2(L,RN)中yn→y. 故對幾乎所有的t∈L，有

從而y∈SP,因此SP在V1,2(L,RN)中是弱緊集. 證畢.

2 結(jié)論

對于微分發(fā)展包含y′(t)+By∈F(t,y)在積分邊值條件下解的存在性問題，本文證明了凸與非凸兩種情況下解的存在性. 當F是集值函數(shù)且是緊值時，假設(shè)G1成立，主要利用連續(xù)選擇定理和Leray-Schauder替換定理證明了微分包含(6)存在解y∈V1,2(L,RN)；當F是集值函數(shù)且是緊凸值時，假設(shè)G2成立，主要利用Dunford-Pettis定理證明了問題(6)存在解y∈V1,2(L,RN)且解集在V1,2(L,RN)中是弱緊的.

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Solvability for integral boundary value conditions of a class of evolution inclusions

CHENG Yi1, KANG Yue1, WU Rui2

(1. College of Mathematics and Physics, Bohai University, Jinzhou 121013, China; 2. Department of Foundation, Aviation University of Air Force, Changchun 130022, China)

This paper discusses the existence of solutions of evolution inclusionsy′(t)+B(y) ∈F(t,y), whereBis a bounded linear operater andF(t) is a multifunction under integral boundary value conditions. We apply continuous selection theorem and Leray-Schauder′s theorem respectively to prove the existence of solutions for the convex cases and nonconvex cases onF(t,y).

evolution equation; multifunction; continuous

2016-08-28.

國家自然科學基金項目(No:11401042, 11301541).

程毅(1981-),男,博士，副教授,主要從事微分動力系統(tǒng)方面的研究.

chengyi407@126.com.

O175. 14

A

1673-0569(2016)04-0299-05