從直覺(jué)思維看“以圖代證”的是與非

嚴(yán)亞強(qiáng)

（蘇州大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院 215006）

“直覺(jué)就是直觀(guān)感覺(jué)，是沒(méi)有經(jīng)過(guò)思考和分析推理的觀(guān)點(diǎn)，是意識(shí)的本能反應(yīng).數(shù)學(xué)最初的概念都是基于直覺(jué).數(shù)學(xué)在一定程度上就是在問(wèn)題解決中得到發(fā)展的，問(wèn)題解決也離不開(kāi)直覺(jué).數(shù)學(xué)直覺(jué)思維是具有意識(shí)的人腦對(duì)數(shù)學(xué)對(duì)象（結(jié)構(gòu)及其關(guān)系）的某種直接領(lǐng)悟和洞察.直覺(jué)思維可以從兩種意義上去理解.一方面，直覺(jué)思維是在豐富的知識(shí)與經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)上，在短時(shí)間內(nèi)直觀(guān)把握事物的本質(zhì)，瞬間作出判斷的思維形式；另一方面，直覺(jué)思維是靈感思維，或稱(chēng)‘頓悟’思維，靈感思維是經(jīng)過(guò)長(zhǎng)期思維瞬時(shí)頓悟，是思維信息迅速轉(zhuǎn)化和急劇重組，形成新的信息系統(tǒng)，從而使思維出現(xiàn)新的突破……直覺(jué)思維不但要依托扎實(shí)、全面的知識(shí)背景，而且要依靠教師敏銳的眼光去發(fā)現(xiàn)、去捕捉并長(zhǎng)期不懈地培養(yǎng)，才能不斷閃現(xiàn)奇異的光芒.”[1]以上論述摘自趙光禮《數(shù)學(xué)素養(yǎng)新思維》一書(shū).直覺(jué)思維是我們提倡的“用數(shù)學(xué)的方式思考問(wèn)題”的重要數(shù)學(xué)素養(yǎng).在培養(yǎng)創(chuàng)新型人才的社會(huì)要求下，這種思維能力顯得彌足珍貴.

“以圖代證”，顧名思義是指在數(shù)學(xué)上用圖示代替推理論證的證明方式，被公認(rèn)為是“不嚴(yán)格”的證明方式.但即使是不嚴(yán)格，作者認(rèn)為，也有可取和不可取之分.例如中小學(xué)里的圓面積公式都是以圖代證進(jìn)行處理的，高中數(shù)學(xué)中涉及零點(diǎn)定理時(shí)的函數(shù)“連續(xù)性”是以圖代證處理的.由于極限概念“說(shuō)來(lái)話(huà)長(zhǎng)”，用以圖代證的方式就顯得很合理.但如果為了證明一類(lèi)問(wèn)題的正確性，而用一個(gè)特殊圖形來(lái)說(shuō)明，例如在證明“在定義區(qū)間上導(dǎo)數(shù)大于零的函數(shù)必是單調(diào)遞增函數(shù)”時(shí)畫(huà)一條特殊曲線(xiàn)，或在證明“有兩條豎直對(duì)稱(chēng)軸的函數(shù)必是周期函數(shù)”時(shí)用一個(gè)圖像“如圖所示”，就是不合理的.這里再給一個(gè)難以“以圖代證”的例子.

例1已知點(diǎn)A為直線(xiàn)l：x+2y-4=0上任意一點(diǎn)，點(diǎn)C（2，4），以AC為直角邊作直角三角形ABC，其中AB=AC（A，B，C按順時(shí)針排列），求的最小值.

圖1

解析我們知道函數(shù)的最大最小值必在區(qū)間的端點(diǎn)或區(qū)間內(nèi)的某個(gè)特殊位置取得，若令點(diǎn)A向直線(xiàn)l的上方或下方運(yùn)動(dòng)到足夠“遠(yuǎn)”處，則夾角是銳角是個(gè)很大的數(shù)，所以的最小值必在離原點(diǎn)“不太遠(yuǎn)”的某個(gè)特殊點(diǎn)取得，如果貿(mào)然猜側(cè)這個(gè)點(diǎn)是O C與直線(xiàn)l的交點(diǎn)，就會(huì)出錯(cuò).這時(shí)借助嚴(yán)格推理就不可避免.事實(shí)上，讓取得最小值的A點(diǎn)坐標(biāo)是.正確的解法是：

設(shè)A點(diǎn)坐標(biāo)為（x，y），則（2-x，4-y），因是向量繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)θ=90°所得，所以，從而），.上式的最小值是以C（2，-1）為圓心的一簇圓的半徑的平方減5的最小值，當(dāng)然在圓與直線(xiàn)l相切時(shí)取得這個(gè)最小值，C（2，-1）到直線(xiàn)l的距離為，所以即為所求.

下面一例的特點(diǎn)恰恰相反，它需要依靠直覺(jué)而排除嚴(yán)格證法.

例2已知橢圓與圓C2：x2+y2=b2，若在橢圓C1上存在點(diǎn)P，使得由點(diǎn)P所作的與圓C2的兩條切線(xiàn)互相垂直，求橢圓C1的離心率的取值范圍.

圖2

解析因?yàn)辄c(diǎn)P離圓心“越近”，兩切線(xiàn)的張角就越大，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到接近上頂點(diǎn)N時(shí)，張角接近18 0°，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到右頂點(diǎn)M時(shí)，張角最小，所以“存在互相垂直的切線(xiàn)”當(dāng)且僅當(dāng)右頂點(diǎn)處的的張角2α≤90°，當(dāng)且僅當(dāng)，從而離心率

此題如果嚴(yán)格地推理，則復(fù)雜程度“不堪入目”，上面的過(guò)程可以說(shuō)是典型的“以圖代證”，不嚴(yán)格之處在于“當(dāng)點(diǎn)P從上頂點(diǎn)N處沿橢圓C1運(yùn)動(dòng)到右頂點(diǎn)M時(shí)，為什么切線(xiàn)間的夾角是一個(gè)連續(xù)變化的過(guò)程？”如果把這個(gè)問(wèn)題忽略，則上面的解析過(guò)程不失為十分精彩.

近年來(lái)，在參與中學(xué)評(píng)課時(shí)，或在審稿時(shí)，常常討論到類(lèi)似于下面例3的例題解法，因?yàn)檩o之以圖而遭到否定，原因是“以圖代證”，實(shí)在替人冤屈.

例3求的值域.

圖3

解如圖3所示，將y看作點(diǎn)A（1，2）到單位圓上C：x2+y2=1上動(dòng)點(diǎn)P（a，b）的連線(xiàn)A P的斜率.過(guò)點(diǎn)A作圓C的兩條切線(xiàn)：x=1和y-2=），所以斜率

這個(gè)解算不算正確？有的老師說(shuō)：如果在填空題中只為求答案，則沒(méi)有問(wèn)題，但若在解答題中，則有補(bǔ)上求切線(xiàn)的過(guò)程.

求切線(xiàn)的過(guò)程很簡(jiǎn)單，是這樣的：

若切線(xiàn)的斜率k存在，則設(shè)切線(xiàn)方程為y-2=k（x-1），由于原點(diǎn)O（0，0）到該直線(xiàn)的距離為1，即，立得，所以切線(xiàn)；另一切線(xiàn)斜率不存在，即.

但有的老師認(rèn)為個(gè)過(guò)程仍要“扣分”，因?yàn)榻柚藞D像；或者說(shuō)，用斜率代表一個(gè)代數(shù)式總歸是不可靠的.問(wèn)題在于“借助圖像”就一定屬于“以圖代證”了嗎？“以圖代證”的方法必不可取嗎？這第一個(gè)問(wèn)題屬于數(shù)學(xué)方法論問(wèn)題，第二個(gè)問(wèn)題屬于教學(xué)評(píng)價(jià)問(wèn)題.作者認(rèn)為本題的配圖，并不造成解題中的邏輯關(guān)聯(lián)，只是起到直觀(guān)中的輔助作用，證明過(guò)程中的每一步都可以用“純代數(shù)”的語(yǔ)言對(duì)應(yīng)解釋.但有了圖示，可以幫助省去很多解題步驟，何樂(lè)而不為？

1982年，著名數(shù)學(xué)家、數(shù)學(xué)教育家徐利治從認(rèn)識(shí)論的角度，通過(guò)深入考察數(shù)學(xué)思想發(fā)展史中的典型例子，以精確的數(shù)學(xué)語(yǔ)言提出了普遍數(shù)學(xué)中的“關(guān)系映射反演方法（Relationship Mapping Inversion）”，簡(jiǎn)稱(chēng)RMI方法，將人們自覺(jué)不自覺(jué)運(yùn)用的化歸思想上升到方法論的高度，可謂數(shù)學(xué)方法論的一大突破，其原理（如圖4所示）大致如下：

圖4

給定一個(gè)含有目標(biāo)原像x的關(guān)系結(jié)構(gòu)S，如果能找到一個(gè)可定映射φ，將S映入或映滿(mǎn)S*，則可從S*通過(guò)一定的數(shù)學(xué)方法把目標(biāo)映像x*=φ（x）確定出來(lái)，從而通過(guò)反演即逆映射φ-1把x=φ-1（x*）確定出來(lái).

RMI方法是分析、處理數(shù)學(xué)問(wèn)題的一種普遍方法，同時(shí)也屬于一般科學(xué)方法論性質(zhì)范疇的一種工作原則.它既可用來(lái)指導(dǎo)數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)、敘述數(shù)學(xué)知識(shí)和展開(kāi)數(shù)學(xué)理論，推動(dòng)數(shù)學(xué)研究的深入進(jìn)展，又可以處理具體數(shù)學(xué)問(wèn)題，化難為易，化繁為簡(jiǎn)，使問(wèn)題得到解決.[2]

在本題中，代數(shù)問(wèn)題找到了幾何上的一一對(duì)應(yīng)，幾何中解決了問(wèn)題反演到了代數(shù)范圍，從RMI方法的角度看毫無(wú)疑問(wèn)是正確的.幾何直觀(guān)的合利利用是直覺(jué)思維的可貴表現(xiàn)，而直覺(jué)思維是創(chuàng)造力的主要因素，我們都呼喚著要培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)造性思維、發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，但到了高考大棒面前，變得膽戰(zhàn)心驚、束手束腳.看來(lái)數(shù)學(xué)教育也期待著“思想解放”.

再看2016年的江蘇高考數(shù)學(xué)第19題.

例4已知函數(shù)f（x）=ax+bx（a＞0，b＞0，a≠1，b≠1）.（1）設(shè)a=2，.①求方程f（x）=2的根，②若對(duì)于任意x∈R，不等式f（2x）≥m f（x）-6恒成立，求實(shí)數(shù)m的最大值；（2）若0＜a＜1，b＞1，函數(shù)g（x）=f（x）-2有且只有1個(gè)零點(diǎn)，求ab的值.

解析此題的第（2）問(wèn)，一看便知.因，記，則g（x）在x0左側(cè)遞減、右側(cè)遞增，那么在有且僅有一個(gè)零點(diǎn)的條件下，這個(gè)零點(diǎn)必是使g（x）取了最小值的點(diǎn)x0，而顯然x=0正是它唯一的零點(diǎn)，那么必有g(shù)′（0）=0，從而ab=1.

有些標(biāo)準(zhǔn)解答上強(qiáng)調(diào)要用反證法證明x0=0，也有的解答還強(qiáng)調(diào)，不可直接用，必須改取特殊值證明其值很大（大于零）.有關(guān)函數(shù)的零點(diǎn)是近年高考的熱點(diǎn)，它的確是一類(lèi)可以集數(shù)形結(jié)合、化歸、函數(shù)、分類(lèi)討論四大數(shù)學(xué)思想方法于一身的良好題材，在江蘇，2012年18題、2013年20題、2014年13和19題、2015年13題、2016年19題都考了函數(shù)零點(diǎn)，但是我們?cè)谠u(píng)課研討中發(fā)現(xiàn)，一些老師明明教會(huì)了學(xué)生一些簡(jiǎn)單的極限，卻要警告學(xué)生“只能意味，不能寫(xiě)在解題過(guò)程里.”原因是怕引起“以圖代證”的誤會(huì)，特別是2016年的第19題的標(biāo)準(zhǔn)答案公布后，有的老師馬上很負(fù)責(zé)任地強(qiáng)調(diào)，“今年的零點(diǎn)問(wèn)題，凡不取特殊值（而寫(xiě)極限）的都會(huì)扣分”，原因是“今年的題目簡(jiǎn)單，會(huì)從嚴(yán)要求”.真是奇葩邏輯.

我們知道，教會(huì)學(xué)生取特殊的方向在于讓學(xué)生明白函數(shù)的走向，函數(shù)在“遠(yuǎn)處”的性質(zhì)就得依靠極限，老師們私下早已授予了這種方法，你說(shuō)當(dāng)x→+∞時(shí)誰(shuí)能不了解極限為+∞？極限思想和無(wú)窮大思想都是數(shù)學(xué)中的重要數(shù)學(xué)思想？中學(xué)生若能夠領(lǐng)會(huì)是一件好事，如果老師教會(huì)了學(xué)生又不允許學(xué)生寫(xiě)出來(lái)，屬不屬于對(duì)數(shù)學(xué)態(tài)度的一種扼殺？算不算對(duì)學(xué)生心智的一種摧殘？是不是很殘忍？如果我們的學(xué)生知道用來(lái)確定必有一個(gè)根，試問(wèn)錯(cuò)在哪兒？他（她）都知道是趨于正（負(fù)）無(wú)窮了，還用得著再找兩個(gè)特殊值嗎？你若要嚴(yán)格按課本上的定理?xiàng)l件推理，那么你教學(xué)生如何證明這些函數(shù)的“連續(xù)性”的？要知道連續(xù)性的證明一向都是“以圖代證”的.

對(duì)“以圖代證”的現(xiàn)象不能過(guò)于嚴(yán)苛，它隱含著直覺(jué)思維的火花，在教改進(jìn)行時(shí)的今天，不應(yīng)繼續(xù)回避對(duì)“以圖代證”作出評(píng)價(jià)，而應(yīng)該發(fā)展教學(xué)評(píng)價(jià)機(jī)制，讓學(xué)生的直覺(jué)思維獲得張揚(yáng).事實(shí)上，一味強(qiáng)調(diào)嚴(yán)格證明，也是對(duì)數(shù)學(xué)思想的片面理解.弗賴(lài)登塔爾提出的“嚴(yán)謹(jǐn)性原則”正是強(qiáng)調(diào)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)南鄬?duì)性、層次性、時(shí)代性，只有這樣，才能通過(guò)“數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)”原則，達(dá)到“數(shù)學(xué)化”和“再創(chuàng)造”的數(shù)學(xué)教育水準(zhǔn).