讓思維貫通教學讓學習真正發(fā)生
——以“直線與圓的位置關系”高三復習課為例

談雅琴

（江蘇省梁豐高級中學 215600）

數(shù)學是強調(diào)思維的科學，培養(yǎng)學生的思維能力，是數(shù)學教育的重要目標之一，也是新課程標準的基本理念.如何有效培養(yǎng)學生的思維能力、提升數(shù)學核心素養(yǎng)，讓思維貫通教學，讓學習真正發(fā)生，是數(shù)學課堂教學研究的重要問題.

下面以筆者在江蘇省第9屆中學數(shù)學教學高級論壇上開設的一節(jié)高三復習公開課“直線與圓的位置關系”為例說明，授課班級是2013屆徐州三中高三（6）班.貴刊2017年第1期“思維主導，彰顯數(shù)學教學本色——基于直線與圓的位置關系的案例分析”一文中的教學片段2，即筆者公開課上的教學實錄，筆者贊同該文作者的觀點.

本節(jié)課的主要復習內(nèi)容是直線與圓的位置關系及其判定方法，直線與圓中的定量分析（弦長、切線長、求切線方程等），初步研究有關最值問題.采取了導學案的形式，設計了一個基礎訓練題和三個例題，學生課前先思先做，筆者課前翻閱學生的導學案了解學情，并從中挑選出了典型，用于課堂上呈現(xiàn)給大家討論.在技術(shù)的支持上，采用了實物投影，將學生在導學案上的書寫，實時呈現(xiàn)在大家的面前，從學生的角度展開課堂活動，更貼近于學生，充分顯示學生的主體性.

1 立足基礎，注重能力導向的學習型課堂建設

首先，數(shù)學是需要基礎的，缺乏基礎的能力是脆弱的，缺乏基礎的方法是脆弱的，缺乏基礎的教學是脆弱的.在重視基礎前提下的能力培養(yǎng)，才是真正意義上的發(fā)展能力的教學.在數(shù)學課堂上，必備知識和基礎知識具有其特殊的意義，重視基礎，才能更好的發(fā)展學生的能力.

本節(jié)高三復習課，從直線與圓位置關系的基礎知識出發(fā)，設計了一個基礎訓練題（2012重慶理科改編）：直線m x-y+3=0與圓C：x2+y2=16的位置關系是………….

學生得出答案并不難.重點是要引導學生：你能想到幾種判斷的方法？筆者從學生課前導學案上已發(fā)現(xiàn)D-R法、Δ法、直線上定點（0，3）在圓內(nèi)三種方法，課上進行了實物投影展示交流.并繼續(xù)追問學生：直線與圓有哪些位置關系？如何判斷它們的位置關系？

教師通過對學生解答的點評，引導學生從幾何角度、代數(shù)角度、關注直線方程特征圖形特點，來進行思考歸納，提煉出直線與圓的位置關系及其三種判斷思維方法，這樣的處理既來源于學生的既定思考，又層層遞進，提升了學生的思維水平.

數(shù)學教學是數(shù)學思維活動的教學.接下來的例題設計，一是沒有將重點放在運算上面，在導學案的設計上，以相同的背景設計多題，用相同的直線m x-y+3=0和圓x2+y2=16，分別考查了位置關系的判斷、相交弦長問題等知識點，營造了一源多枝的生生不息的生態(tài)課堂.如此，學生不必每題都頗費周折去計算，而是重在思考問題的關鍵，優(yōu)化了課堂結(jié)構(gòu)，節(jié)省了課堂用時，使得學生可以將思維解放出來，在課堂上更好的實施探究，培養(yǎng)能力.二是從基本知識和方法出發(fā)，逐步引申拓展，重點放在直線與圓的相交和相切方面的定量分析（弦長、切線長、求切線方程等），初步研究有關最值問題.通過豐富的一題多解與變式訓練，使得基礎知識得到鞏固，數(shù)學思想方法得以充分滲透，學生的探索能力得到進一步提升，在學生面前打開一扇更為豐富多彩的數(shù)學思維之窗.

2 立足互動，注重引發(fā)深度學習的課堂建設

所謂“深度學習”（deeper learning），是指在真實復雜的情境中，學生運用所學的本學科知識和跨學科知識，運用常規(guī)思維和非常規(guī)思維，將所學的知識和技能用于解決實際問題，以發(fā)展批判性思維、創(chuàng)新能力、合作精神和交往技能的認知策略.“深度學習”與傳統(tǒng)的外部灌輸、被動接受等“淺層學習”相比具有明顯特征.比如，深度學習具有立足于真實情境的問題解決、側(cè)重于高階思維能力的學習評價、基于綜合思維的整合性學習、突出深度思辨的思維指向等特征.

有挑戰(zhàn)，有思辨，才有深度.課堂注重思維互動，可以促進深度學習，是培養(yǎng)學生思維能力的有效途徑.

例題1（1）（2009江蘇18改編）直線l：mx-y+3=0被圓C：x2+y2=16截得的弦長為，求直線l的方程.（2）（2009全國卷Ⅱ理科16改編）若AC和BD是圓C：x2+y2=16的兩條相互垂直的弦，垂足為E（0，3），則四邊形ABCD面積的最大值是………….

這是有關直線與圓的相交問題.對例1（2），學生普遍得到的答案有兩種，和23.對不少學生出現(xiàn)的錯解，課堂上沒有置若罔聞，而是請學生說出該解的思維起點與過程，原來是通過合情推理，猜想運動中的一個特殊情況獲得的.教師贊成其中合理的思維成分，比如直覺思維、合情推理，但是形缺數(shù)時少入微，結(jié)果是最大還是最小，并不能確定.之后教師請做對的同學展示直接做法，及時幫助學生摒棄不嚴謹?shù)南敕?，有效避免類似問題的再現(xiàn).

生1：①若kAC不存在，則，那么

②若kAC存在，則設lAC：y=k x+3，那么，

即k2=1即k=±1時等號成立，

故，四邊形ABCD面積的最大值是23.

生2：①同生1，

當k=0時；

生3：作OM⊥BD，ON⊥AC，令OM=a，ON=b，則a2+b2=OE2=9，

即SABCD≤23，當且僅當a=b時，等號成立.

教師引導學生分析其中的處理細節(jié)，最后發(fā)現(xiàn)錯解原來是最小值.在完成學習任務的過程中，學生不僅獲得了正確結(jié)論，更重要的是產(chǎn)生了問題和質(zhì)疑.通過分享、考證，解題之后的開放性思考，思維的火花反復碰撞.在課堂教學過程中，學生是思維的主體，教師是思維的主導，應避免教師單純講解、單向傳授的模式，要展示師生思維過程和思考過程，進行充分的交流與真實的碰撞.教師科學合理的引導，學生合作互動交流，使得課堂思維活躍，教學方式靈動，知識的展示、方法的提煉和思想的挖掘，也更加地厚重精當.更加突出學生的主體性.

數(shù)學教學的一個重要目的是發(fā)展學生的數(shù)學思維.數(shù)學課堂教學的有效性和學習深度如何，主要體現(xiàn)在對學生產(chǎn)生的思維影響.深度教學應該是基于高質(zhì)量問題的教學、基于思辨的教學、基于微探究的研究性教學.這樣才有利于培養(yǎng)問題解決能力、批判性思維能力、深度分析的能力和創(chuàng)新能力.

3 立足創(chuàng)新，注重學科核心素養(yǎng)培養(yǎng)的課堂建設

2014年4月教育部印發(fā)《關于全面深化課程改革落實立德樹人根本任務的意見》，啟動了以核心素養(yǎng)為指向的新一輪課程改革，研究制定了各學段學生發(fā)展的核心素養(yǎng)體系.就數(shù)學學科而言，研究表明，數(shù)學核心素養(yǎng)包含數(shù)學抽象、邏輯推理、數(shù)學建模、數(shù)學運算、直觀想象、數(shù)據(jù)分析等六個方面.核心素養(yǎng)離不開知識和技能，但單純的知識和技能又不等于素養(yǎng)，只有在復雜的開放性情境中，運用知識和技能解決實際問題，才是核心素養(yǎng).學科教學活動是學科核心素養(yǎng)培養(yǎng)的主要途徑.

例題2（2010江蘇9）在平面直角坐標系xOy中，已知圓x2+y2=4上有且僅有四個點到直線12x-5y+c=0的距離為1，則實數(shù)c的取值范圍是________.思考：你能改編該問題的條件，重新編幾個題目嗎？并嘗試解答.

生：例2的處理，要先畫個圖，畫圓和直線.

師：畫哪條直線？

生：先畫經(jīng)過原點的直線12x-5y=0，這條直線符合題意.

師：怎么說明是符合的？能夠找到這四個點嗎？

生：可以，作與直線12x-5y=0距離為1的兩條平行線，與圓的四個交點即是.

師：還有哪些直線是符合題意的？你怎么找？

生：把直線平移，因為對稱，所以在一側(cè)平移，看直線平移到哪里，開始不符合題意.

引導學生觀察定圓與動直線的位置關系變化，利用圖形的形象關系產(chǎn)生對數(shù)量關系的直接感知與認識，借助幾何直觀和空間想象，幫助理解題意解決問題.素養(yǎng)中的直觀想象，在這里的表現(xiàn)形式有：利用圖形描述數(shù)學問題、利用圖形理解數(shù)學問題、利用圖形探索問題.這正是核心素養(yǎng)之直觀想象的教學方式體現(xiàn).數(shù)學家徐利治提到“重視直觀”，指出“只有當我能把直觀含義和直觀思路弄明白了，我才認為真正懂了”.

接下來沒有對例題提出具體的變式給學生練習與糾錯，而是拋出了較為靈活的問題：“你能改變問題的條件，重新編幾個題目嗎？”.當學生直接將條件的說法改變一下：“有且僅有3個點、2個點、1個點、0個點”，筆者并沒有就此作罷，而是引導學生再去改直線和圓.比如學生改成動圓定直線，改編題如下：

1.在平面直角坐標系xOy中，已知圓x2+y2=r2上有且僅有四個點到直線12x-5y+39=0的距離為1，則半徑r的取值范圍是…………….

2.在平面直角坐標系xOy中，已知圓（x-1）2+（y-2）2=r2上有且僅有四個點到直線12x-5y+39=0的距離為1，則半徑r的取值范圍是…………….

如此，學生的思維被發(fā)散，自信心被激活，通過生生交流、討論，學生的探究熱情被極大地激發(fā)，思維的廣度與深度、直觀想象和邏輯推理等學科素養(yǎng)得到了提高.

例題3（1）（必修2P102例2改編）自直線x-y+4=0上的點P（2，6）作圓C：x2+y2=4的切線，求切線方程，并求出切線長.（2）自直線x-y+4=0上任意一點P（x，y）作圓C：x2+y2=4的兩條切線，切點分別為A，B，以此為條件，有哪些問題可以研究？請你把問題編寫完整，并嘗試解答.

例3是組織學生編題的一個范例，組織學生從多角度編擬新題，讓學生體會到編擬數(shù)學試題的思維樂趣.把命題的編制過程納入到數(shù)學教學過程中，這是一個大膽創(chuàng)新，對高考數(shù)學復習具有特殊的現(xiàn)實意義，也是數(shù)學思維教學方式的有益嘗試.

一個好的問題能激發(fā)學生的思維進階.學生思維發(fā)展的一個重要標志，是能夠自主提出有意義有效的問題.“以此為條件，你認為有哪些問題可以研究？”的提出，為學生的思維打開了一扇更廣闊的大門.學生的思維發(fā)散開來，他們要對已知信息進行多方向、多角度的思考，不局限于既定的理解，從而提出新問題，探索新知識或發(fā)現(xiàn)多種結(jié)果.學生要回答這樣的問題，便要深入思考，調(diào)動他的一切經(jīng)驗與認知，提出新的問題，這比解題的思維層次更高.當學生的問題淺顯時，教師引導學生從其他的角度再想一想，引領學生站在一定的高度上看問題.在教師的引領下，學生提出了以下很好的問題：

（1）求切線PA長的最小值；（2）求四邊形PAOB的面積的最值；（3）求AB中點的軌跡；（4）求AB的方程（切點弦）；（5）求∠APB的最大值；（6）求的最值；（7）求△PAB的外接圓的方程……

一個完整的數(shù)學思維過程是集中思維和發(fā)散思維這兩種思維方式的有機結(jié)合.在學生提出問題后，教師又引導學生逐個解決問題，這是在發(fā)散之后的集中，利于拓廣和發(fā)現(xiàn)數(shù)學知識與數(shù)學方法，生成各種知識鏈、方法鏈、命題鏈、思維鏈，培養(yǎng)學生的創(chuàng)造性思維能力和邏輯推理素養(yǎng).在解決問題的過程中，又有新的問題被提出和解決，下課的鈴聲雖已響起，但研究的熱情還在繼續(xù)膨脹，思維還在繼續(xù)，學習還在進行.

數(shù)學的核心是問題和解，完整的數(shù)學學習應包括學“問”與“答”兩方面，數(shù)學教學應把發(fā)展學生的問題意識和提出問題能力，作為數(shù)學教學的重要目標與學生學習數(shù)學的重要方法.教師創(chuàng)設探討情境、精心設計問題、引導學生分析問題、提出問題，有助于學生深刻理解數(shù)學知識方法之間的內(nèi)在聯(lián)系，明確思維方向，發(fā)展思維能力.

數(shù)學課堂要堅持立足基礎，注重能力導向；立足互動，注重引發(fā)深度學習；立足創(chuàng)新，注重學科核心素養(yǎng)培養(yǎng).這樣，有助于變被動學習為主動學習，真正實現(xiàn)自主、合作、探究的深度學習方式的轉(zhuǎn)變，讓思維貫通課堂教學，真正促進核心素養(yǎng)的培養(yǎng).

附：導學案簡案

【教學目標】

1.復習直線與圓的位置關系及其判定方法、直線與圓中的定量分析（弦長、切線長、求切線方程等），初步研究有關最值問題.

2.在問題情景中，感受“數(shù)”和“形”的對立統(tǒng)一，理解運用代數(shù)方法研究幾何問題這一解析法的本質(zhì)，同時體現(xiàn)靈活運用圓這個圖形的幾何特征.滲透函數(shù)與方程的思想、數(shù)形結(jié)合的思想、轉(zhuǎn)化化歸的思想.

3.引導學生獨立思考、合作交流，鼓勵學生提出問題，幫助學生提高學習數(shù)學的興趣和信心，培養(yǎng)學生的思維和創(chuàng)新意識.

【教學內(nèi)容】

一、判斷位置關系

基礎訓練（2012重慶理科 改編）直線m x-y+3=0與圓C：x2+y2=16的位置關系是__________.

你能想到幾種判斷的方法？請你都寫下來.

思考：直線與圓有哪些位置關系？如何判斷直線與圓的位置關系？

二、有關相交問題

例題1 （1）（2009江蘇18改編）直線l：mx-y+3=0被圓C：x2+y2=16截得的弦長為，求直線l的方程.

（2）（2009全國卷Ⅱ理科16改編）若AC和BD是圓C：x2+y2=16的兩條相互垂直的弦，垂足為E（0，3），則四邊形ABCD面積的最大值是…………….

例題2 （2010江蘇9）在平面直角坐標系xOy中，已知圓x2+y2=4上有且僅有四個點到直線12x-5y+c=0的距離為1，則實數(shù)c的取值范圍是…………….

思考：你能改編該問題的條件，重新編幾個題目嗎？并嘗試解答.

三、有關相切問題

例題3 （1）（必修2 P102例2改編）自直線x-y+4=0上的點P（2，6）作圓C：x2+y2=4的切線，求切線方程，并求出切線長.

（2）自直線x-y+4=0上任意一點P（x，y）作圓C：x2+y2=4的兩條切線，切點分別為A，B，以此為條件，有哪些問題可以研究？請你把問題編寫完整，并嘗試解答.