論二項式定理在高中數(shù)學中的應(yīng)用

王志紅 ●

江西省贛州市于都中學(342300)

論二項式定理在高中數(shù)學中的應(yīng)用

王志紅 ●

江西省贛州市于都中學(342300)

二項式定理是高中數(shù)學非常重要的部分，也是高中數(shù)學的一個難點.體會二項式定理的解題思想，理解二項式定理的概念，并且通過對二項式定理的學習來求解系數(shù)求和，以及通項式的求解.本文主要闡述二項式定理的一些基本知識及其相關(guān)解題技巧，希望給學生在高中數(shù)學解題上帶來幫助.

二項式定理;高中數(shù)學;二項式系數(shù);賦值法

一、利用二項式定理的概念求解

例1 對任意實數(shù)x，如果有x3=a0+a1(x-2)+a2(x-2)2+a3(x-2)3,那么a2的值為( ).

A．3 B.6 C.9 D.12

答案：B.

①項數(shù)：共有n+1項；

③每一項的次數(shù)是一樣的，即為n次，展開式根據(jù)a的降幕排列，b的升幕排列進行展開.

二、利用二項式定理的通項求常數(shù)項

A．-40 B．-20 C．20 D．40

答案:D.

點評 二項展開式中常數(shù)項的求解一般是根據(jù)二項式的通項的表達式，并讓表達式的未知數(shù)的指數(shù)為零，此時通項中前面的系數(shù)即為要求的常數(shù)項.

三、賦值法在二項式定理中的應(yīng)用

令x=-1,則有a0+a1+…+an=0①，令x=1,則有a0-a1+a2-a3+…+(-1)nan=2n②.

將①-②得：2(a1+a3+a5+…)=-2n,∴a1+a3+a5+…=-2n-1.

由題意得-2n-1=-256=-28，∴n=9.

點評 對于二項式表達式中的a,b取值不固定，因為表達式是一個恒等式，根據(jù)這一特點，可以將a,b取一些特定的數(shù)，比如-1，0,1，具體的賦值由問題而定.此題將變量取為-1,1再兩式相減，在對表達式進行錯位相消，從而得到所需要n的數(shù)值.

四、利用二項式定理進行近似計算

例4 2015年國內(nèi)生產(chǎn)總值(DFP)達到676708億元，比上年增長6.9%.如果“十三·五”期間(2016年～2020年)每年的國內(nèi)生產(chǎn)總值都按此年增長率增長，那么到“十三·五”末我國國內(nèi)生產(chǎn)總值約為____.

故填910172億元.

五、利用二項式定理求解余數(shù)或整除

例5 求4851除以 7 的余數(shù).

因此,4851除以 7 的余數(shù)是6.

點評 利用二項式定理求解余數(shù)或整除問題，一定要把除數(shù)作為要展開的變量，然后把展開的表達式進行提取公因式.

綜上所述，二項式定理是高中數(shù)學解題中的一個難點，但也是高考重要的考點，利用好二項式定理這一工具，可幫助中學生解決高中數(shù)學許多重要的知識.由于二項式定理讓問題化繁為簡，所以，中學生務(wù)必將二項式定理熟練掌握，將其靈活運用到解題上.本文只是對二項式定理解題進行初步研究，在以后實踐教學中還將繼續(xù)，希望給廣大學生學習上帶來幫助.

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1008-0333(2016)34-0030-01