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    自適應(yīng)鄰域構(gòu)造流形學習算法及故障降維診斷*

    2017-01-09 05:49:08張曉濤唐力偉鄧士杰
    振動、測試與診斷 2016年6期
    關(guān)鍵詞:構(gòu)造方法流形降維

    張曉濤, 唐力偉, 王 平, 鄧士杰

    (軍械工程學院火炮工程系 石家莊,050003)

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    自適應(yīng)鄰域構(gòu)造流形學習算法及故障降維診斷*

    張曉濤, 唐力偉, 王 平, 鄧士杰

    (軍械工程學院火炮工程系 石家莊,050003)

    針對流形學習算法中近鄰構(gòu)造問題,提出一種自適應(yīng)鄰域構(gòu)造方法,該方法基于馬氏距離計算樣本間相似系數(shù),由相似系數(shù)均值確定初始近鄰數(shù),根據(jù)樣本高斯核概率密度估計調(diào)整近鄰數(shù),并將自適應(yīng)鄰域構(gòu)造方法用于改進的主成分分析聯(lián)合局部保持投景(principal component analysis-locality preserving projections,簡稱PCA-LPP)流形學習算法中。通過齒輪箱故障類型識別對其特征降維性能進行驗證,結(jié)果表明,自適應(yīng)鄰域PCA-LPP方法比傳統(tǒng)的k近鄰方法及原始無處理的特征識別率都高,可以達到94.67%。

    自適應(yīng); 鄰域; 高斯核概率估計; 流形學習; 故障診斷

    引 言

    流形學習算法是一類非常有效的非線性數(shù)據(jù)降維算法[1],在很多具體的流形學習算法實現(xiàn)中,諸如局部保持投影(locality preserving projection, 簡稱LPP)[2]、拉普拉斯映射(Laplacian eigenmap,簡稱LE)[3]都需要先構(gòu)造數(shù)據(jù)樣本近鄰圖。傳統(tǒng)的近鄰圖構(gòu)造主要是k近鄰和ε近鄰兩種方法[4],其主要缺點在于各個樣本的近鄰數(shù)需要人為經(jīng)驗確定,且所有樣本采用相同的近鄰數(shù),不能針對樣本自身的鄰域分布情況進行數(shù)據(jù)調(diào)整。自適應(yīng)鄰域的思想主要是基于樣本周圍一定范圍數(shù)據(jù)分布的情況,按照預設(shè)規(guī)則自動確定鄰域大小。目前常用的自適應(yīng)鄰域構(gòu)造思想主要基于歐氏距離或者余弦夾角距離計算相似系數(shù),并根據(jù)相似系數(shù)的分布設(shè)定閾值自適應(yīng)求取近鄰數(shù),這樣的方法多用于圖像處理及人臉識別研究中。Yang等[5]基于歐氏距離指數(shù)函數(shù)計算樣本相似系數(shù)。劉鳳連等[6]基于圖像歐氏距離導數(shù)計算樣本相似系數(shù)。黃璞等[7]采用樣本夾角余弦距離作為相似系數(shù)。三種方法在人臉識別研究中取得了良好的分類效果。李城梁等[8]將基于樣本切空間距離的自適應(yīng)鄰域方法應(yīng)用于機械故障信號特征提取,故障分類正確率得到明顯提升。

    自適應(yīng)鄰域構(gòu)造方法能夠有效避免人為選擇近鄰范圍的隨意性,具有更好的樣本局部非線性流形特征表達能力。筆者提出一種自適應(yīng)鄰域構(gòu)造方法,基于馬氏距離相似系數(shù)均值及樣本高斯核概率密度估計調(diào)整自適應(yīng)獲得樣本近鄰數(shù),并將自適應(yīng)鄰域構(gòu)造方法應(yīng)用于PCA-LPP流形學習算法,通過齒輪箱故障信號特征向量降維識別驗證了自適應(yīng)鄰域PCA-LPP方法的有效性。

    1 自適應(yīng)鄰域構(gòu)造方法

    設(shè)高維空間RD中存在數(shù)據(jù)集X=[x1,x2,…,xN],基于近鄰圖構(gòu)造相似矩陣S能夠用于多種流形學習算法,實現(xiàn)數(shù)據(jù)的降維處理。

    傳統(tǒng)的k近鄰構(gòu)造方法,基于樣本間的歐氏距離計算樣本相似性,每個樣本近鄰值相同,相似系數(shù)具體表達如下

    (1)

    k近鄰法存在兩點不足:a.所有樣本采用相同的近鄰數(shù),不能很好地適應(yīng)每個樣本的局部流形結(jié)構(gòu)特征;b.近鄰數(shù)的選擇沒有成熟的算法,常使用的交叉驗證方法存在效率低下等弊端。

    1.1 馬氏距離相似度衡量

    馬氏距離是一種基于數(shù)據(jù)協(xié)方差的距離描述,其定義為

    (2)

    其中:C為數(shù)據(jù)集X的協(xié)方差矩陣。

    馬氏距離對一切非奇異性線性變換具有不變性,不受特征量綱選擇的影響。馬氏距離與歐氏距離的對比如圖1所示,圖中虛線圓為歐氏距離等距線,實線橢圓為馬氏距離等距線。由圖1可以看出,馬氏距離的描述更符合數(shù)據(jù)真實的分布情況,僅當協(xié)方差矩陣C為單位矩陣時,馬氏距離與歐氏距離才會相等[9]。

    圖1 馬氏距離與歐氏距離Fig.1 Mahalanobis distance and Euclidean distance

    基于馬氏距離數(shù)據(jù)分布特征描述方面的優(yōu)勢,提出基于馬氏距離的樣本相似矩陣構(gòu)造方法,相似矩陣元素表達如下

    (3)

    其中:αij=exp(-dij/β);β為所有樣本之間馬氏距離均值的平方。

    1.2 核密度估計調(diào)整

    樣本近鄰構(gòu)造時,空間中密集分布的樣本局部特征往往較為相似。對樣本xi來講,其附近區(qū)域其他樣本出現(xiàn)的概率密度越大,表示與其具有相似局部特征的樣本越多,則xi對應(yīng)的樣本近鄰數(shù)應(yīng)該大一些。據(jù)此提出將高斯核密度估計(Gauss kernel density estimation,簡稱GKDE)[10]用于近鄰圖構(gòu)造,對基于相似系數(shù)均值Mi的自適應(yīng)近鄰結(jié)果進行修正調(diào)整。

    高斯核密度估計是一種非參數(shù)概率密度估計方法,能夠在樣本分布先驗知識未知的情況下,根據(jù)樣本自身信息估計總體分布概率密度。高維空間RD中樣本xi的鄰域概率密度高斯核估計為

    (4)

    (5)

    其中:floor表示數(shù)據(jù)向負無窮大方向取整。

    通過式(5)可知,當xi附近數(shù)據(jù)樣本分布密度大時,該點的近鄰數(shù)自動調(diào)整增大,當其附近數(shù)據(jù)分布稀疏時,近鄰數(shù)自動調(diào)整減小。

    1.3 自適應(yīng)鄰域構(gòu)造流程及特性

    圖2 自適應(yīng)鄰域構(gòu)造流程Fig.2 Flow chart of adaptive neighborhood selection

    自適應(yīng)鄰域構(gòu)造方法最終得到的相似矩陣S一般情況下是非對稱的,主要包含以下幾種情況:

    2) 與第1假設(shè)相同,當樣本xi和xj互相不為近鄰時,相似系數(shù)αij=αji=0,相似矩陣S對稱;

    自適應(yīng)鄰域構(gòu)造方法與傳統(tǒng)k近鄰方法都是為了表達數(shù)據(jù)樣本局部結(jié)構(gòu)的相似性,主要不同為:

    1) k近鄰方法基于歐氏距離計算樣本相似系數(shù),自適應(yīng)鄰域構(gòu)造方法基于馬氏距離計算相似系數(shù),能夠更好地考慮樣本分布特性;

    2) k近鄰方法所有樣本近鄰數(shù)需人為設(shè)置,自適應(yīng)近鄰構(gòu)造方法根據(jù)相似系數(shù)均值Mi確定樣本初始近鄰數(shù),并采用樣本分布概率密度調(diào)整近鄰數(shù);

    3) k近鄰方法所有樣本近鄰數(shù)均相等,自適應(yīng)近鄰構(gòu)造方法每個樣本的近鄰數(shù)不一定相等,且一般都不相等;

    4) k近鄰方法得到的相似矩陣S是對稱的,自適應(yīng)近鄰構(gòu)造方法得到的相似矩陣S一般不對稱。

    1.4 自適應(yīng)鄰域構(gòu)造實例

    采用26個隨機二維數(shù)據(jù)樣本,說明自適應(yīng)鄰域構(gòu)造方法的特點。采用自適應(yīng)鄰域構(gòu)造方法尋找樣本近鄰,以樣本點A(1,4)和點B(8.5,5)的近鄰求解進行說明,并給出k近鄰方法的對比,設(shè)定k=8。表1為自適應(yīng)近鄰求解過程中的參數(shù)及結(jié)果。圖3中4幅圖所示為原始26個樣本點及點A和點B的3種近鄰求解結(jié)果。

    表1 近鄰求解參數(shù)及結(jié)果

    圖3 點A和點B近鄰結(jié)果分布Fig.3 Neighborhood for point A and point B

    2 自適應(yīng)鄰域PCA-LPP流形學習算法

    自適應(yīng)鄰域構(gòu)造方法能夠用于多種基于近鄰圖構(gòu)造的流形學習算法,筆者將其應(yīng)用于一種結(jié)合主元分析與局部保持投影的PCA-LPP改進流形學習算法中,標準局部保持投影算法中相似矩陣S為對稱矩陣,其對稱性對算法的求解帶來很大便利。但自適應(yīng)鄰域構(gòu)造方法得到的相似矩陣S一般為非對稱矩陣,其在PCA-LPP中的求解推導如下。

    PCA-LPP流形學習目的在于將高維空間RD中的數(shù)據(jù)集X=[x1,x2,…,xN],通過投影矩陣W轉(zhuǎn)換投影到低維投影空間Rd(d

    PCA方法尋找數(shù)據(jù)分布方差最大的坐標系,其全局目標函數(shù)為

    (6)

    LPP是一種非線性局部流形保持投影算法,能夠保持投影前后數(shù)據(jù)樣本間的局部結(jié)構(gòu)相似,其局部目標函數(shù)為

    (7)

    其中:L′為拉普拉斯矩陣;Dii和Djj為對角陣,其元素為Dii=∑jsij,Djj=∑isij;D′=Dii+Djj;S′=S+ST;sij為相似系數(shù),構(gòu)成相似矩陣S;W為投影矩陣。

    PCA-LPP流形學習算法兼顧PCA的全局分布方差最大特性及LPP的局部流形保持特性,能夠全面刻畫數(shù)據(jù)的整體和局部特征,其全局目標函數(shù)為

    (8)

    其中:限定條件WTXD′XTW=I可消除隨機尺度因子的影響。

    在LPP局部目標函數(shù)中,自適應(yīng)鄰域構(gòu)造方法得到的相似矩陣S是非對稱矩陣,但局部目標函數(shù)Jl(W)中的矩陣L′是對稱矩陣,其證明如下。

    證明: ? 相似矩陣S

    ∵ Dii=∑jsij,Djj=∑isij均為對角陣

    ∴ Dii和Djj為對稱矩陣

    ∴ D′=Dii+Djj,S′=S+ST為對角對稱矩陣

    ∴ L′=D′-S′為對稱矩陣。

    自適應(yīng)鄰域構(gòu)造PCA-LPP算法的目標函數(shù)式(8)可以通過拉格朗日乘子法[11],將其轉(zhuǎn)化為有約束最大值問題,如式(9)所示

    (9)

    式(9)對W求導并置零可得

    (10)

    化簡式(10)可以得到

    (C-XL′XT)W=λXD′XTW

    (11)

    由式(11)可知,投影矩陣W的求解,實質(zhì)是廣義特征值求解問題,通過求取前d個最大特征值對應(yīng)的特征向量,從而得到投影矩陣W,投影后低維數(shù)據(jù)通過Y=WTX計算。

    由此可以得到自適應(yīng)鄰域PCA-LPP流形學習算法流程,如圖4所示。

    圖4 自適應(yīng)鄰域PCA-LPP算法流程Fig.4 PCA-LPP algorithm based on adaptive neighborhood

    3 齒輪箱故障特征降維分析

    流形學習算法在數(shù)據(jù)可視化以及故障特征降維識別中應(yīng)用廣泛[12-13],下面對自適應(yīng)鄰域PCA-LPP流形學習算法的性能進行驗證。

    采用齒輪箱故障實測聲發(fā)射信號對PCA-LPP的特征降維性能進行驗證。試驗中齒輪箱故障包括正常狀態(tài)、軸承內(nèi)圈故障、外圈故障、內(nèi)外圈復合故障及齒根裂紋故障5種模式,故障軸承為6206,安裝在中間傳動軸,故障齒輪為中間傳動軸大齒輪,一級傳動比為0.5,齒輪箱結(jié)構(gòu)原理及傳感器安裝如圖5所示。試驗中齒輪箱空負載運轉(zhuǎn),其輸入軸轉(zhuǎn)速為1 490 r/min。信號采集設(shè)備為北京軟島DS2-8A型全息聲發(fā)射信號分析儀,設(shè)置采集儀采樣頻率為1 MHz,采集儀硬件濾波參數(shù)為100 kHz~400 kHz帶通濾波,聲發(fā)射傳感器為聲華SR150M型,匹配40 dB前置放大器。每個數(shù)據(jù)樣本長度為1 s,每種故障模式對應(yīng)70個樣本,5種模式共350個樣本。

    對每個故障信號樣本進行db4小波包4層分解,重構(gòu)各子頻帶小波包系數(shù),得到16個子頻帶重構(gòu)分量,各子頻帶寬度為31.25 kHz,計算子頻帶信號能量,得到能量特征向量E=[E1,E2,…,E16],求取16個子頻帶信號的能量熵作為特征向量[8],能量熵的計算方法如下。

    (12)

    采用自適應(yīng)鄰域PCA-LPP方法對所提故障特征向量進行處理,并將降維后特征向量輸入支持向量機進行訓練識別,對比故障模式的分類識別性能,每個故障70個樣本中,40個用于訓練支持向量機分類器,30個用于樣本故障分類識別。

    3.1 自適應(yīng)鄰域PCA-LPP故障特征降維識別分析 齒輪箱故障聲發(fā)射信號的特征向量原始維度為16維,采用自適應(yīng)鄰域PCA-LPP對故障特征向量進行降維處理,降維后特征的維度范圍為3~15維,間隔為1。不同降維數(shù)的特征向量輸入支持向量機的整體故障識別率如圖6所示。由圖6可以看到,原始的16維特征向量經(jīng)降維處理,不同維度的特征向量對應(yīng)的故障辨識率有所不同。辨識率在5維以后出現(xiàn)明顯增高,當降維數(shù)d=8時,整體故障辨識率最高,達到94.67%。其中整體故障辨識率指各單項故障識別率的均值,表示4種故障類型正確識別的總數(shù)占150個測試樣本的比例。

    降維數(shù)d=8時,不同故障的辨識率如表2所示。由表2可知,各類故障模式中,齒根裂紋辨識率最高,因為齒根裂紋與其他幾種故障具有明顯不同,而復合故障辨識率最低,因為復合故障與內(nèi)、外圈故障具有相似特征成分。

    圖6 不同降維數(shù)的故障識別率Fig.6 Fault identification rate of different dimensions

    故障類型齒根裂紋正常狀態(tài)內(nèi)圈故障外圈故障復合故障整體識別率%10096.6793.3393.3390.0094.67

    3.2 不同識別方法性能對比

    對文中的故障特征向量,將k近鄰PCA-LPP方法降維識別結(jié)果、基于歐氏距離的自適應(yīng)PCA-LPP方法降維識別結(jié)果以及原始特征向量不做任何處理的識別結(jié)果與3.1節(jié)的識別結(jié)果進行對比,k近鄰方法的最優(yōu)識別結(jié)果通過交叉驗證獲得。設(shè)置近鄰值k的變換范圍為5~30,間隔為1,降維數(shù)d的范圍為3~15,間隔為1,計算后得到k近鄰方法在k=17,d=7時獲得最高識別率?;跉W氏距離的自適應(yīng)PCA-LPP方法降維識別在降維數(shù)d=8時取得最高識別率。4種方法的識別率對比如表3所示。

    表3 3種情況識別率對比

    從表3可以看到,原始16維特征向量,不經(jīng)任何處理,直接進行支持向量機分類器的訓練和識別,其故障識別率最低,僅為53.33%,而采用流形學習算法降維之后,故障識別率明顯提升。對于同樣的PCA-LPP流形學習算法,不同的鄰域構(gòu)造方法帶來的降維效果差異較大。自適應(yīng)鄰域構(gòu)造方法降維后特征的故障識別率可達94.67%,而k近鄰方法降維后特征的故障識別率為86.67%。不同相似度衡量方法帶來的降維效果也不同,基于馬氏距離的相似度衡量最終故障識別率為94.67%,而基于歐氏距離的相似度衡量最終識別率卻為88.67%。原始特征向量維度高,其中包含故障特征的差異信息,但高維度同時包含過多的冗余信息,因此其故障識別率低。k近鄰方法對所有樣本采用相同的近鄰數(shù),對各樣本局部鄰域的描述不能做到分而劃之,基于歐氏距離的相似度衡量,對數(shù)據(jù)樣本的分布情況不能充分考慮,因此兩種方法特征向量的降維效果不如自適應(yīng)鄰域構(gòu)造方法,故其故障識別率低于自適應(yīng)鄰域PCA-LPP方法。

    4 結(jié)束語

    針對流形學習算法中近鄰圖的構(gòu)造問題,提出一種基于馬氏距離的相似矩陣元素計算。根據(jù)相似矩陣元素均值確定初始鄰域數(shù),并由數(shù)據(jù)樣本鄰域高斯核概率密度估計結(jié)果調(diào)整樣本近鄰數(shù),解決了自適應(yīng)構(gòu)造近鄰圖的問題。將自適應(yīng)鄰域構(gòu)造方法應(yīng)用于兼顧PCA與LPP二者特性的改進流形學習算法,并給出相應(yīng)的理論計算模型,證明了求解拉普拉斯矩陣的對稱性。通過齒輪箱故障聲發(fā)射信號16維能量熵特征的降維識別對自適應(yīng)鄰域PCA-LPP流形學習算法的性能進行驗證,結(jié)果表明故障特征降到8維時識別率最高,可以達到94.67%。對比研究表明,自適應(yīng)鄰域構(gòu)造PCA-LPP方法的降維識別性能優(yōu)于k近鄰PCA-LPP方法以及原始特征向量的識別率。

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    10.16450/j.cnki.issn.1004-6801.2016.06.027

    *國家自然科學基金資助項目(50775219)

    2014-11-12;

    2015-03-27

    TH165; TN911

    張曉濤,男,1987年5月生,博士生。主要研究方向為機械系統(tǒng)性能檢測與故障診斷。曾發(fā)表《基于SVD與Fast Kurtogram算法的滾動軸承故障診斷》(《振動與沖擊》2014年第33卷第10期)等論文。 E-mail:headic@163.com

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