高中數(shù)學(xué)教科書(shū)中探究?jī)?nèi)容的應(yīng)用策略

摘 要高中數(shù)學(xué)教科書(shū)中編制了眾多探究?jī)?nèi)容來(lái)促進(jìn)數(shù)學(xué)探究教學(xué)的開(kāi)展，教師在教學(xué)中可本著以下六條原則創(chuàng)造性地應(yīng)用探究?jī)?nèi)容，包括：依據(jù)探究主線來(lái)取舍教科書(shū)中探究?jī)?nèi)容；依據(jù)探究的“流暢性”來(lái)增加探究?jī)?nèi)容；依據(jù)“任務(wù)的明確性”來(lái)改編探索內(nèi)容；依據(jù)“教學(xué)的現(xiàn)實(shí)性”來(lái)創(chuàng)生探究?jī)?nèi)容；從數(shù)學(xué)本質(zhì)出發(fā)來(lái)引導(dǎo)學(xué)生探究；從數(shù)學(xué)的研究方法出發(fā)引導(dǎo)學(xué)生探究。這樣可以使探究?jī)?nèi)容的教學(xué)成為學(xué)生創(chuàng)造數(shù)學(xué)知識(shí)、掌握研究方法、領(lǐng)會(huì)數(shù)學(xué)本質(zhì)的過(guò)程。

關(guān)鍵詞高中數(shù)學(xué) 教科書(shū) 探究?jī)?nèi)容 使用 策略

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)稿）》明確指出“高中數(shù)學(xué)課程設(shè)立‘?dāng)?shù)學(xué)探究‘?dāng)?shù)學(xué)建模等學(xué)習(xí)活動(dòng)，為學(xué)生形成積極主動(dòng)的、多樣的學(xué)習(xí)方式進(jìn)一步創(chuàng)造有利的條件”。依據(jù)課程標(biāo)準(zhǔn)編寫(xiě)的人教A版高中數(shù)學(xué)教科書(shū)，在教科書(shū)章節(jié)正文及附錄部分編寫(xiě)了眾多探究?jī)?nèi)容（正文中的觀察、思考、探究與附錄中的閱讀與思考、探究與發(fā)現(xiàn)、信息技術(shù)應(yīng)用、實(shí)習(xí)作業(yè)等欄目），面對(duì)教科書(shū)中的這一新生事物，教師的教學(xué)既要能體現(xiàn)探究?jī)?nèi)容編寫(xiě)的教學(xué)意圖，又必須符合數(shù)學(xué)教學(xué)的規(guī)律與現(xiàn)實(shí)需求，這給教師教學(xué)帶來(lái)了巨大的挑戰(zhàn)。本文在深入分析教科書(shū)中探究?jī)?nèi)容的基礎(chǔ)上，基于數(shù)學(xué)探究教學(xué)的本質(zhì)及規(guī)律，提出教科書(shū)中探究?jī)?nèi)容的應(yīng)用策略。

一、依據(jù)探究主線來(lái)取舍探究?jī)?nèi)容

所謂探究主線指的是統(tǒng)領(lǐng)并推進(jìn)課堂探究活動(dòng)的線索。探究主線往往與數(shù)學(xué)探究過(guò)程相一致。高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)中指出的數(shù)學(xué)探究過(guò)程包括“觀察分析數(shù)學(xué)事實(shí)，提出有意義的數(shù)學(xué)問(wèn)題，猜測(cè)、探求適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)結(jié)論或規(guī)律，給出解釋或證明”[1]，往往要經(jīng)歷“提出問(wèn)題、尋找證據(jù)、得到猜想、進(jìn)行論證”的四個(gè)緊密相扣且邏輯遞進(jìn)的環(huán)節(jié)[2]。因此數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程中探究?jī)?nèi)容的選取必須緊緊圍繞該數(shù)學(xué)對(duì)象的特征，并且符合探究四環(huán)節(jié)的遞進(jìn)關(guān)系，而不應(yīng)有并列的枝節(jié)以影響學(xué)生的思維聚焦。如必修1“指數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)”正文中設(shè)計(jì)了三個(gè)探究?jī)?nèi)容，共有兩個(gè)探究主題：指數(shù)函數(shù)概念的建構(gòu)和指數(shù)函數(shù)性質(zhì)的探尋。前者是探究?jī)?nèi)容一的意圖，而后者則是探究?jī)?nèi)容二、三的指向，其中探究?jī)?nèi)容二事實(shí)上為采取紙筆作圖方式獲得探究?jī)?nèi)容三所需的研究對(duì)象提供了方法支持。然而教科書(shū)在本節(jié)附錄的信息技術(shù)應(yīng)用欄目“借助信息技術(shù)探究指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)”中，給出了獲得探究?jī)?nèi)容三所需要的研究對(duì)象的另外一種辦法——借助信息技術(shù)輔助作圖，如果教師教學(xué)選用該信息技術(shù)應(yīng)用探究?jī)?nèi)容，則探究?jī)?nèi)容二中的問(wèn)題二就多余了?？梢?jiàn)，教科書(shū)在探究?jī)?nèi)容的設(shè)計(jì)上會(huì)有并行的探究線索，教師教學(xué)中可以根據(jù)探究主線與方法對(duì)探究?jī)?nèi)容進(jìn)行一定的取舍，使得課堂的探究能夠集中于突破教學(xué)的重難點(diǎn)。

二、依據(jù)探究的“流暢性”來(lái)增加探究?jī)?nèi)容

所謂探究“流暢性”強(qiáng)調(diào)的是學(xué)生要能依據(jù)已有的經(jīng)驗(yàn)自主得出探究?jī)?nèi)容的探究思路。如前所述，探究?jī)?nèi)容之間必須有遞進(jìn)的邏輯關(guān)系，這一方面意味著探究?jī)?nèi)容之間不能是簡(jiǎn)單的重復(fù)，另一方面也揭示著探究?jī)?nèi)容之間有著一定的邏輯上的跨度。但是鑒于已有學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)導(dǎo)致的我國(guó)高中學(xué)生數(shù)學(xué)探究意識(shí)淡薄、數(shù)學(xué)探究技能薄弱和數(shù)學(xué)探究方法缺失，如果探究?jī)?nèi)容邏輯上的跨度太大，那么將會(huì)導(dǎo)致學(xué)生對(duì)探究無(wú)從下手。為此，教師在教學(xué)中應(yīng)根據(jù)學(xué)生情況，對(duì)數(shù)學(xué)邏輯跨度較大或?qū)W生把握困難的探究?jī)?nèi)容，通過(guò)增加探究任務(wù)來(lái)縮小探究邏輯上的跨度，讓學(xué)生能夠窺見(jiàn)探究的邏輯與思路。如必修1“函數(shù)的奇偶性”課題中第33頁(yè)的觀察欄目，作為本課題中的第一個(gè)探究?jī)?nèi)容，其僅給出兩個(gè)函數(shù)圖像讓學(xué)生觀察后回答問(wèn)題“這兩個(gè)函數(shù)圖像之間有什么共同特征？”隨后給出函數(shù)值對(duì)應(yīng)表的任務(wù)，要求學(xué)生通過(guò)列表數(shù)據(jù)的觀察獲得解析式規(guī)律。教科書(shū)設(shè)計(jì)了利用函數(shù)三種語(yǔ)言靈活轉(zhuǎn)換來(lái)建構(gòu)概念的探究線索，然而，這一線索的獲得對(duì)于剛學(xué)過(guò)函數(shù)概念的學(xué)生而言，并不那么顯而易見(jiàn)。教科書(shū)中填表任務(wù)的提出顯得有些突兀，雖然教學(xué)中教師可以通過(guò)口頭提醒數(shù)形結(jié)合或者函數(shù)三種表示方法的轉(zhuǎn)化來(lái)啟發(fā)學(xué)生提出解決問(wèn)題的方案，但都會(huì)顯得不夠自然。教學(xué)中教師不妨在觀察欄目之前增加一個(gè)探究?jī)?nèi)容，請(qǐng)同學(xué)們畫(huà)出函數(shù)的圖像，按照已有的經(jīng)驗(yàn)，學(xué)生知道畫(huà)圖像需要列表、描點(diǎn)、連線這樣三個(gè)步驟，這樣該觀察欄目填表任務(wù)地提出就顯得順其自然了。事實(shí)上，通過(guò)添加該任務(wù)，教師以比較隱秘的方式提醒學(xué)生可利用數(shù)形結(jié)合思想將函數(shù)三種表示方法進(jìn)行聯(lián)系和轉(zhuǎn)化，這比用口頭語(yǔ)言告訴學(xué)生的高明之處在于可以讓學(xué)生主動(dòng)自發(fā)地聯(lián)系已有的認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)，自己獲得探究思路。

三、依據(jù)“任務(wù)的明確性”來(lái)改編探究?jī)?nèi)容

所謂“任務(wù)的明確性”即探究?jī)?nèi)容教學(xué)中必須讓學(xué)生明確自己應(yīng)該在探究中做什么和如何做。有些教師、學(xué)者反映探究教學(xué)只是課堂上熱鬧，其實(shí)學(xué)生是在討論與教學(xué)無(wú)關(guān)的內(nèi)容，從而對(duì)探究式教學(xué)法提出了批判。研究發(fā)現(xiàn)，由于教師設(shè)計(jì)的任務(wù)或教學(xué)指導(dǎo)語(yǔ)對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)不明確，學(xué)生不知道自己該做什么、該怎么做，才可能會(huì)在課堂上討論與教學(xué)無(wú)關(guān)的話(huà)題。如必修2“傾斜角與斜率”課題中第83頁(yè)的思考欄目：“日常生活中，還有沒(méi)有表示傾斜程度的量？”其意在使得斜率的提出顯得有一定的依據(jù)，然而這個(gè)欄目如果直接在課堂上呈現(xiàn)給學(xué)生來(lái)探究的話(huà)，學(xué)生往往很難自己想到“坡度”這個(gè)概念，即這個(gè)內(nèi)容的探究對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)并不明確。不妨轉(zhuǎn)換成問(wèn)：“日常生活中，我們遇到過(guò)哪些與傾斜程度相關(guān)的事情？”學(xué)生能回想到：“爬坡、爬樓梯的時(shí)候，與傾斜程度相關(guān)，坡或者樓梯越陡即傾斜程度越大越費(fèi)力。”教師可以接著問(wèn)：“那么我們用什么量來(lái)刻畫(huà)這個(gè)坡面或樓梯的傾斜程度呢？”再引導(dǎo)學(xué)生體會(huì)傾斜角由于工具的缺乏是不好測(cè)量的，而距離好測(cè)量，從而引入坡度的概念。相較于教材上的思考欄目，這樣做可能會(huì)有更好的效果，一方面使得學(xué)生能明確知道自己在探究中該做什么——即回想生活中與傾斜程度相關(guān)的事情，另一方面能讓探究與學(xué)生的生活真正聯(lián)系起來(lái)，事實(shí)上，這也更能讓學(xué)生體會(huì)解決數(shù)學(xué)問(wèn)題與解決生活中問(wèn)題的一致性（因在實(shí)際生活中測(cè)角度沒(méi)有方便的工具，而測(cè)距離則輕而易舉），從而滲透化歸的數(shù)學(xué)思想方法。

四、依據(jù)“教學(xué)的現(xiàn)實(shí)性”來(lái)創(chuàng)生探究?jī)?nèi)容

雖然我們必須承認(rèn)教科書(shū)中的探究?jī)?nèi)容有著特定的教學(xué)意圖，但不意味著探究?jī)?nèi)容的教學(xué)應(yīng)按照教科書(shū)的預(yù)設(shè)來(lái)進(jìn)行。所謂教學(xué)的現(xiàn)實(shí)性，其出發(fā)點(diǎn)為“教學(xué)是生成的，而不是預(yù)設(shè)的”，故探究?jī)?nèi)容應(yīng)符合教學(xué)的現(xiàn)實(shí)需求。依據(jù)教學(xué)的現(xiàn)實(shí)性來(lái)創(chuàng)生探究?jī)?nèi)容，強(qiáng)調(diào)的是依據(jù)教學(xué)實(shí)踐中的需求來(lái)對(duì)探究?jī)?nèi)容進(jìn)行創(chuàng)生。如必修3第96頁(yè)的實(shí)習(xí)作業(yè)，安排了一次調(diào)查研究，給出了兩個(gè)供學(xué)生參考的問(wèn)題：一在校中學(xué)生每周使用計(jì)算機(jī)時(shí)間的調(diào)查研究；二中學(xué)生物理成績(jī)與數(shù)學(xué)成績(jī)之間的相關(guān)關(guān)系。這是編寫(xiě)者的預(yù)設(shè)來(lái)由學(xué)生進(jìn)行自主探究的問(wèn)題，然而學(xué)生也許對(duì)這兩個(gè)問(wèn)題并不感興趣，反而可能會(huì)關(guān)心如穿越劇對(duì)中學(xué)生影響的問(wèn)卷調(diào)查、學(xué)生家庭購(gòu)物方式調(diào)查等等這類(lèi)問(wèn)題的探究。教學(xué)中不妨從問(wèn)題的提出開(kāi)始就完全由學(xué)生來(lái)完成，包括之后問(wèn)卷的設(shè)計(jì)、樣本的抽取方案、問(wèn)卷的發(fā)放回收統(tǒng)計(jì)、調(diào)查結(jié)果的分析與匯報(bào)，以真實(shí)實(shí)現(xiàn)小組互動(dòng)，使得探究活動(dòng)能符應(yīng)教學(xué)的現(xiàn)實(shí)需求，同時(shí)也提升探究的開(kāi)放水平。

五、從數(shù)學(xué)本質(zhì)出發(fā)來(lái)引導(dǎo)學(xué)生探究

恩格斯指出：“數(shù)學(xué)是研究現(xiàn)實(shí)世界中空間結(jié)構(gòu)和數(shù)量關(guān)系的科學(xué)?！边@個(gè)界定表明數(shù)學(xué)來(lái)源于人們的生產(chǎn)生活實(shí)踐，脫離不開(kāi)對(duì)現(xiàn)實(shí)世界中現(xiàn)象的研究和描述。事實(shí)上，數(shù)學(xué)描述的是現(xiàn)實(shí)世界中紛繁現(xiàn)象背后不變的規(guī)律，故“數(shù)學(xué)是研究變化中的不變關(guān)系或不變量的科學(xué)”這一表述也很好地揭示了數(shù)學(xué)的本質(zhì)。這兩種認(rèn)識(shí)背后則體現(xiàn)出數(shù)學(xué)形成過(guò)程中需要人的工作，從某種程度上說(shuō)，數(shù)學(xué)是一種人工制品，具有著屬人的特性。探究作為一種數(shù)學(xué)研究活動(dòng)的模擬，必須深刻體現(xiàn)并揭示數(shù)學(xué)的上述本質(zhì)。以必修2“線面平行判定定理”中書(shū)本翻頁(yè)模型的教學(xué)引導(dǎo)為例，解釋如何從數(shù)學(xué)的本質(zhì)出發(fā)來(lái)引導(dǎo)學(xué)生探究。在引入這個(gè)探究?jī)?nèi)容之前，教師可以對(duì)數(shù)學(xué)研究的本質(zhì)進(jìn)行一定的敘述；之后結(jié)合敘述請(qǐng)同學(xué)們觀察書(shū)本翻頁(yè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程，尋找其中的變與不變，為此可提出兩個(gè)問(wèn)題：?jiǎn)栴}一，運(yùn)動(dòng)過(guò)程中什么對(duì)象在變，什么對(duì)象沒(méi)有變？問(wèn)題二，運(yùn)動(dòng)過(guò)程中有哪些不變的關(guān)系？對(duì)于問(wèn)題一的解答，可啟發(fā)學(xué)生思考立體幾何的要素（線、面），對(duì)于問(wèn)題二的解答，則可啟發(fā)學(xué)生回顧立體幾何中的關(guān)系（線線關(guān)系、線面關(guān)系）。這樣，探究結(jié)論即線面平行判定定理猜想的得出可以是學(xué)生依據(jù)一定的數(shù)學(xué)研究方法，基于觀察與抽象現(xiàn)實(shí)世界中的現(xiàn)象來(lái)獲得，同時(shí)也揭示了數(shù)學(xué)研究對(duì)象的現(xiàn)實(shí)性以及變化中的不變性的特征。

六、從數(shù)學(xué)的研究方法出發(fā)引導(dǎo)學(xué)生探究

數(shù)學(xué)探究雖然比一般探究有著更高的靈活性，但是并不意味著探究不可操作。創(chuàng)造性的數(shù)學(xué)研究活動(dòng)可在一定原則指導(dǎo)下進(jìn)行，學(xué)生的數(shù)學(xué)探究活動(dòng)則更多依賴(lài)于數(shù)學(xué)探究的技能和數(shù)學(xué)研究的方法。高中數(shù)學(xué)必修系列和選修1、2系列雖有部分微積分、概率統(tǒng)計(jì)、算法的內(nèi)容，但主要處于初等數(shù)學(xué)階段，故而數(shù)學(xué)研究的方法包括一般方法和特殊方法。一般方法指的是一般科學(xué)研究中需要使用的方法，包括觀察與實(shí)驗(yàn)、分析與綜合、比較與分類(lèi)、抽象與概括、一般化和特殊化等[4～7]。特殊方法則指的是數(shù)學(xué)中特有的方法，如數(shù)形結(jié)合、化歸、模型化、公理化等[8～9]。如必修2“線面垂直的判定”中，折三角形紙片實(shí)驗(yàn)的目的就是要通過(guò)“實(shí)驗(yàn)”“抽象”出線面垂直判定定理?！俺橄蟆敝笍氖挛镏袇^(qū)分出個(gè)別的非本質(zhì)屬性特質(zhì)和共同的本質(zhì)屬性特質(zhì)，并舍棄個(gè)別的非本質(zhì)的屬性特質(zhì)而抽取出共同的本質(zhì)屬性的過(guò)程和方法，需要經(jīng)歷分離——抽取——簡(jiǎn)略三個(gè)階段。要完成該探究?jī)?nèi)容：首先要將該模型從整個(gè)教室環(huán)境中分離出來(lái)，成為研究的對(duì)象；然后需要忽略紙張可能有厚度、桌子可能不平從而三角形底邊沒(méi)有能完全與桌面貼合等等干擾因素，將這個(gè)空間模型放入理想狀態(tài)下來(lái)進(jìn)行考察，此時(shí)桌面可抽象為平面？琢，折過(guò)的兩段底邊抽象為平面內(nèi)相交的兩條直線a，b，折痕則抽象為平面？琢外的一條直線l，且l⊥a，l⊥b，平面？琢內(nèi)兩條直線a與b有一個(gè)交點(diǎn)，且有l(wèi)⊥？琢的感覺(jué)；最后需要對(duì)上述條件進(jìn)行一定的組織與表述，讓“l(fā)為平面？琢外一條直線，a與b為平面？琢內(nèi)兩條相交直線，”l⊥a，l⊥b成為條件，“l(fā)⊥？琢”成為結(jié)論，從而獲得線面垂直判定定理的猜想。教師在面對(duì)這些探究?jī)?nèi)容時(shí)，應(yīng)依據(jù)數(shù)學(xué)研究的方法來(lái)引導(dǎo)學(xué)生，讓學(xué)生經(jīng)歷抽象的三個(gè)階段，使學(xué)生探究真正觸及數(shù)學(xué)研究的本質(zhì)。

教師在選取和改編教科書(shū)中的探究?jī)?nèi)容時(shí)，要根據(jù)教學(xué)的實(shí)際需求，使得所選擇的探究?jī)?nèi)容既具有數(shù)學(xué)探究的味道，有一定探究的價(jià)值，也是學(xué)生能夠自主進(jìn)行的。而改編探究?jī)?nèi)容的時(shí)候應(yīng)以學(xué)生能自主發(fā)現(xiàn)探究思路為原則來(lái)進(jìn)行，讓學(xué)生的探究能夠觸及數(shù)學(xué)的本質(zhì)、能真正實(shí)現(xiàn)探究?jī)?nèi)容編制的意圖，并防止學(xué)者們指出的數(shù)學(xué)探究教學(xué)中的“滑過(guò)現(xiàn)象”“異化現(xiàn)象”“走秀”等等教學(xué)的不良傾向[10～12]。

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【責(zé)任編輯 郭振玲】