數(shù)學(xué)教材研讀的三個視角

范艷華

一個教師的專業(yè)成長水平，其首要的衡量標(biāo)準(zhǔn)是教師的“教材把握力”，而這項(xiàng)能力的高低取決于教師對教材研讀的深度和廣度。在日常聽課及與教師的課后交流中，筆者發(fā)現(xiàn)很多教師不知教材應(yīng)該如何研讀，課前的研讀常常只是看一下教材上的課時內(nèi)容，然后找一些教學(xué)設(shè)計(jì)的參考資料，截取一些“成功做法”拼拼湊湊就成了一節(jié)課的教學(xué)預(yù)案。課中，對于學(xué)生生成的問題常常措手不及。課后與其評課交流時問及本課的一些核心概念、知識結(jié)構(gòu)體系以及某個教學(xué)環(huán)節(jié)背后的設(shè)計(jì)意圖時，無法回答。因此，提高對教材的研讀能力是當(dāng)前廣大一線教師的一個重要課題，教師在課前可以從編者、學(xué)生、教師三個視角，對教材進(jìn)行“三線相融”式的研讀。在此基礎(chǔ)上，對教材進(jìn)行二次開發(fā)，對教學(xué)素材作出選擇，設(shè)計(jì)有效教學(xué)方案，引導(dǎo)學(xué)生理解和運(yùn)用數(shù)學(xué)知識，發(fā)展數(shù)學(xué)思維。

一、編者視角，把握數(shù)學(xué)知識的生長之線

小學(xué)數(shù)學(xué)教材中每一課時的知識內(nèi)容，都不是一個獨(dú)立的存在，而是處在所屬的整體知識結(jié)構(gòu)之中，各知識版塊之間有著相互關(guān)聯(lián)、逐步深入的內(nèi)在聯(lián)系。在對每一課時內(nèi)容進(jìn)行研讀時，首先要從整體上把握教材的編排結(jié)構(gòu)，厘清這一課時內(nèi)容在所屬知識體系中所處的地位，了解知識發(fā)生的過程、產(chǎn)生的背景和背后蘊(yùn)涵的思想方法，進(jìn)而把握本知識內(nèi)容的生長主線。這樣，才能在預(yù)設(shè)教學(xué)時知道從哪里開始，又可以延伸至哪個層面。下面以蘇教版《數(shù)學(xué)》六年級上冊“整數(shù)除以分?jǐn)?shù)”這一課時內(nèi)容的研讀為例來談一談。

1.教材的編排脈絡(luò)

對于教材的編排脈絡(luò)，主要厘清相關(guān)知識在本套教材中的分布及各部分之間的關(guān)系，以及各部分知識在教學(xué)時需要達(dá)成的教學(xué)目標(biāo)。

教材在安排這部分內(nèi)容時，應(yīng)遵循由易到難、循序漸進(jìn)的原則。編排順序分兩塊，一是計(jì)算法則的教學(xué)，順序?yàn)椋悍謹(jǐn)?shù)除以整數(shù)、整數(shù)除以分?jǐn)?shù)、分?jǐn)?shù)除以分?jǐn)?shù)；二是實(shí)際問題：分?jǐn)?shù)除法應(yīng)用題、兩步計(jì)算、分?jǐn)?shù)乘除混合運(yùn)算。

先教學(xué)分?jǐn)?shù)除以整數(shù)，再教學(xué)一個數(shù)除以分?jǐn)?shù)。在教學(xué)一個數(shù)除以分?jǐn)?shù)時，又是先教學(xué)整數(shù)除以分?jǐn)?shù)，再教學(xué)分?jǐn)?shù)除以分?jǐn)?shù)。整數(shù)除以分?jǐn)?shù)，安排了兩個例題，例題2是整數(shù)除以幾分之一，例題3是整數(shù)除以幾分之幾。這樣安排，能使學(xué)生在不斷探索新知識的過程中逐步完善對分?jǐn)?shù)除法計(jì)算方法的理解，通過自主活動歸納并總結(jié)出分?jǐn)?shù)除法的計(jì)算方法。

2.知識的生長脈絡(luò)

分?jǐn)?shù)除以整數(shù)，從例題÷2，分子能被除數(shù)整除，到“試一試”÷3，分子不能被除數(shù)整除，初步得出除以一個整數(shù)，就是求這個整數(shù)的幾分之一是多少，即用分?jǐn)?shù)乘這個整數(shù)的倒數(shù)。在此基礎(chǔ)上，再自然生長到整數(shù)除以分?jǐn)?shù)，由整數(shù)除以幾分之一到整數(shù)除以幾分之幾，通過畫圖直觀的過程，得出整數(shù)除以分?jǐn)?shù)等于乘除數(shù)的倒數(shù)。最后得出一個數(shù)除以分?jǐn)?shù)的計(jì)算方法：甲數(shù)除以乙數(shù)（0除外），等于甲數(shù)乘乙數(shù)的倒數(shù)。

3.不同版本的對比與啟發(fā)

分?jǐn)?shù)除以整數(shù)，人教版、蘇教版、北師大版三個版本的教材都是通過圖形直觀的方式，讓學(xué)生理解算理得出算法。在直觀的基礎(chǔ)上，逐漸將學(xué)生的思維由除法轉(zhuǎn)向乘法，特別是北師大版教材，在教學(xué)了÷2之后，有意安排了÷3，因?yàn)榍罢呖梢詮恼麛?shù)除法意義的角度，用分子先除以2，后者則不同，分子4不能被3整除，由此可讓學(xué)生感知前者的局限性，自然就將學(xué)生的思維引向乘法。對于接下來的整數(shù)除以分?jǐn)?shù)，三種版本的教材盡管依然采取直觀的形式，但是顯然已采用半抽象的線段或者直條模型，北師大版教材則利用長方形的寬一定，長與面積的變化關(guān)系，讓學(xué)生理解算理，進(jìn)而得出算法。

通過比較研讀三種版本的教材，可以看出，分?jǐn)?shù)除法的教學(xué)，因?yàn)橄鄬φ麛?shù)除法抽象許多，因此在教學(xué)時先讓學(xué)生經(jīng)歷直觀的操作活動或者圖形的觀察，從整數(shù)除法的角度使之自然生長過來。在此基礎(chǔ)上，逐步引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)聯(lián)想和推理，最后通過比較歸納，得出分?jǐn)?shù)除法的通用法則。

二、學(xué)生視角，探尋數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的思維之線

對教材的深度研讀，除了從編者“排”的視角解讀，更需要從學(xué)生“學(xué)”的視角，深入把握教材，探尋學(xué)生學(xué)習(xí)這一知識內(nèi)容時的思維之線。

1.學(xué)生認(rèn)知的起點(diǎn)

對一節(jié)課的學(xué)習(xí)，學(xué)生認(rèn)知起點(diǎn)的確定尤為重要。學(xué)生已有的認(rèn)知基礎(chǔ)是什么？認(rèn)知水平如何？通過本節(jié)內(nèi)容的教學(xué)讓學(xué)生在哪些方面獲得發(fā)展？學(xué)生有沒有和本節(jié)知識相關(guān)的生活經(jīng)驗(yàn)？這些都需要教師在課前搞清楚。以蘇教版《數(shù)學(xué)》四年級上冊“角的度量”為例。本節(jié)內(nèi)容中學(xué)生的已有知識經(jīng)驗(yàn)是對角的概念的認(rèn)識，知道角的大小指的是角的兩邊叉開的大小。學(xué)生的數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)是會畫出一個角，會用重疊的方法比較兩個角的大小，會用直尺度量線段的長度。學(xué)生的認(rèn)知起點(diǎn)是“如何來度量兩邊叉開的大小”。因此，教材一開始先讓學(xué)生用熟悉的數(shù)學(xué)工具三角板上的角進(jìn)行度量，能量出這個角和三角板上的角的大小關(guān)系，但是不知道這個角到底有多大，然后引出量角器。此外，有的學(xué)生還會用直尺去試著量兩邊之間的距離。因此在研讀之后的教學(xué)設(shè)計(jì)中，需要讓學(xué)生由已有經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，自然過渡到用量角器量角。

2.學(xué)生認(rèn)知的轉(zhuǎn)折點(diǎn)

學(xué)生在學(xué)習(xí)這部分知識內(nèi)容時新舊轉(zhuǎn)折處在哪里？通過什么方式讓學(xué)生自然將新知識納入到已有的認(rèn)知系統(tǒng)，進(jìn)行同化？還是以“角的度量”為例，這是學(xué)生在第二學(xué)段學(xué)習(xí)“角的認(rèn)識”中的一個重要內(nèi)容，是區(qū)別于長度、面積、重量等的另一個維度的測量知識內(nèi)容。學(xué)生的認(rèn)知轉(zhuǎn)折點(diǎn)在于：原來對線段長度的度量只要用直尺順著線段起點(diǎn)到終點(diǎn)直線方向測量即可，然而角的度量工具不再是直的，而是一個半圓形的工具，度量的方法除了關(guān)注點(diǎn)還要關(guān)注線，即所謂的“二合一看”，學(xué)生經(jīng)歷一個“由直向曲”的轉(zhuǎn)折點(diǎn)。因此，在設(shè)計(jì)教學(xué)時首先要讓學(xué)生仔細(xì)觀察、了解量角器的構(gòu)造特點(diǎn)，特別是量角器上與0刻度線構(gòu)成的角的度數(shù)在刻度圈上是內(nèi)圈還是外圈，這是準(zhǔn)確量角的關(guān)鍵所在。

3.學(xué)生認(rèn)知的困難點(diǎn)

本節(jié)課的知識內(nèi)容對學(xué)生而言學(xué)習(xí)難點(diǎn)是什么？用什么方法幫學(xué)生突破難點(diǎn)？“角的度量”這一課內(nèi)容中，學(xué)生的認(rèn)知困難點(diǎn)在量角的時候如何區(qū)分內(nèi)外圈的刻度。為了突破這個難點(diǎn)，各版本的教材都有所側(cè)重。如北師大版和人教版教材，在引進(jìn)量角器之前，都設(shè)計(jì)了1°角的認(rèn)識，即將圓平均分成360份，其中1份所對的角的大小為1°，然后在1°角的基礎(chǔ)上讓學(xué)生找出30°、50°、60°、90°、120°、180°……

這樣的設(shè)計(jì)，主要是讓學(xué)生在觀察由1°角累積成其他角的過程中動態(tài)地感知角的大小變化過程，從而便于學(xué)生在量角器上也能準(zhǔn)確地找到不同度數(shù)的角。另外，無論是人教版、北師版還是蘇教版教材中，在引進(jìn)量角器、認(rèn)識量角器的環(huán)節(jié)，都設(shè)有讓學(xué)生在量角器上找出一些指定度數(shù)的角，以此為學(xué)生在量角時候的“二合一看”做好準(zhǔn)備。

三、教師視角，求索數(shù)學(xué)教學(xué)的主導(dǎo)之線

在梳理清了教材的知識生長脈絡(luò)以及學(xué)生學(xué)的思維脈絡(luò)之后，就需要在教材和學(xué)生之間架起一條教師“導(dǎo)”的主線，也就是如何讓學(xué)生能在原有認(rèn)知基礎(chǔ)之上自然地學(xué)習(xí)新知，又如何在教師的引導(dǎo)之下順利突破認(rèn)知難點(diǎn)，進(jìn)而讓學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識的同時使其數(shù)學(xué)思維得到較好的發(fā)展。以蘇教版《數(shù)學(xué)》三年級下冊“長方形的面積計(jì)算”為例來談一談。

1.新舊知識思維無痕對接

“長方形的面積計(jì)算”是平面圖形面積計(jì)算教學(xué)的起始課，是以后進(jìn)行平行四邊形、三角形、梯形及圓等平面圖形面積計(jì)算方法學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)。 “長方形的面積計(jì)算”是緊接著“面積的意義及面積單位”知識的學(xué)習(xí)編排的，因此學(xué)生學(xué)習(xí)“長方形的面積”的基礎(chǔ)是對面積意義的理解，而面積概念的出現(xiàn)是學(xué)生認(rèn)識事物從一維空間走向二維空間的開始。

因此，教學(xué)的起點(diǎn)處教師可以引導(dǎo)學(xué)生的思維從一維向二維生長。如可以先讓學(xué)生回憶如何測量一條線段的長度，在此基礎(chǔ)上由線段動態(tài)鋪出一個長方形的平面，讓學(xué)生思考如何知道這個長方形面積，進(jìn)而讓學(xué)生通過面積單位測量出長方形的面積，理解面積的大小就是看這個平面圖形中一共包含著幾個面積單位。

這樣，就將學(xué)生的思維自然地從一維的“長度”領(lǐng)域引導(dǎo)到二維的“面積”領(lǐng)域。并且為后續(xù)長方形面積推導(dǎo)中的長、寬與所擺單位面積的小正方形個數(shù)之間的聯(lián)系做了很好的思維孕伏。

2.學(xué)導(dǎo)主線貫穿思維始終

長方形面積計(jì)算方法探究中的主線是幫助學(xué)生溝通一維長度屬性與二維平面屬性間的聯(lián)系，體現(xiàn)化歸思想，擴(kuò)展學(xué)生認(rèn)識圖形的基本視點(diǎn)，培養(yǎng)空間觀念。如計(jì)算一個長4厘米、寬3厘米的長方形的面積，已知的信息是線段的長度，而所求的問題則是圖形的面積，于是，學(xué)生需要把新問題作如下轉(zhuǎn)化：長4厘米，其實(shí)是說我們可以沿著長邊擺這樣的4個面積單位（此時的面積單位是1平方厘米的正方形），根據(jù)寬3厘米，又可以得到“擺這樣的3行”這一信息。這樣就得出了這個長方形的面積是12平方厘米。

此時“化歸”的思維過程，更多地指向面積本源，借助面積單位的特點(diǎn)，找到長度屬性與面積屬性之間的聯(lián)接點(diǎn)和對應(yīng)關(guān)系，從而解決新問題。而類似這樣的化歸，在后續(xù)長方體的體積計(jì)算教學(xué)中，引導(dǎo)學(xué)生從一維長度屬性、二維面積屬性擴(kuò)展到三維體積屬性的認(rèn)識時同樣適用。

基于以上的分析，教學(xué)設(shè)計(jì)中可以貫穿這樣一條主線：用單位面積的小正方形去鋪滿這個長方形，無論長和寬是多少，每排個數(shù)就是長所包含的單位長度個數(shù)，排數(shù)就是寬所包含的單位長度的個數(shù)。

3.認(rèn)知沖突引向思維深處

對于教材的研讀，除了要從知識內(nèi)容的本身展開，還需要深入到思維的深處，即要利用教材中的可延伸之處，激發(fā)學(xué)生的思維沖突，將學(xué)生的思維引導(dǎo)到更深之處。

在“長方形的面積計(jì)算”這一教學(xué)內(nèi)容中，當(dāng)學(xué)生推導(dǎo)得出長方形的面積計(jì)算公式之后，應(yīng)用公式求長方形的面積時，對于學(xué)生而言，并沒有思維的障礙和沖突，但在后繼的學(xué)習(xí)中，學(xué)生對于一維的變化引起的相應(yīng)的二維的變化之間的關(guān)系，比如長方形的長和寬都擴(kuò)大3倍，那么這個長方形的面積隨之?dāng)U大幾倍，學(xué)生往往會認(rèn)為和長度倍數(shù)一樣，面積也應(yīng)該擴(kuò)大3倍。對此，在進(jìn)行基本練習(xí)的基礎(chǔ)上，應(yīng)增設(shè)一個變式題：先讓學(xué)生畫一個面積是18平方厘米的長方形，然后讓學(xué)生憑著直覺推理思考：如果長方形的長和寬都乘以2，那么變化后的長方形的面積是多少平方厘米？許多學(xué)生會脫口而出，“是36平方厘米”。此時，就是一個很好的思維沖突處，教師可以讓學(xué)生在方格紙上先畫一畫，再觀察、計(jì)算變化后長方形的面積。這樣，學(xué)生經(jīng)過直觀操作與仔細(xì)思考，就可以清楚地理解二者之間的變化關(guān)系了。

教材是教學(xué)的主要資源，是教與學(xué)的重要憑借，而對于教材的研讀卻不能僅僅局限于教材文本，而應(yīng)站在數(shù)學(xué)學(xué)科本質(zhì)的高度，從教材的編者視角、學(xué)生學(xué)習(xí)思維的視角以及教師導(dǎo)學(xué)的視角，做到“三線相融”，以此為基礎(chǔ)，才能深入鉆研教法與策略，尋找教材、教師與學(xué)生之間的 “融合點(diǎn)”，才能把學(xué)生真正帶到知識和思維的更高處。

[責(zé)任編輯：陳國慶]