量綱分析以及應(yīng)用

孫博華

(開(kāi)普半島技術(shù)大學(xué)機(jī)械工程系，開(kāi)普敦 南非7535)

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量綱分析以及應(yīng)用

孫博華

(開(kāi)普半島技術(shù)大學(xué)機(jī)械工程系，開(kāi)普敦 南非7535)

本文系統(tǒng)介紹了量綱分析方法和如何使用量綱分析的六步法，通過(guò)幾個(gè)典型應(yīng)用(點(diǎn)源爆炸、管流阻力和黏性流體中小球運(yùn)動(dòng))展示了量綱分析的普適性.

量綱;π定律;相似性

0 引言

隨著人類對(duì)自然界探索活動(dòng)的深入，遇到的問(wèn)題也愈來(lái)愈復(fù)雜，往往涉及多尺度、多層次、多材料和多物理的耦合問(wèn)題.雖然有各種各樣的分析方法，但都有其局限性，我們現(xiàn)在的問(wèn)題是，是否有一種普遍方法來(lái)處理這些復(fù)雜的問(wèn)題呢？回答是肯定的，這個(gè)普遍適用的方法就是量綱分析方法，它是探討科學(xué)規(guī)律、解決科學(xué)和工程問(wèn)題的一個(gè)普適方法，是一門(mén)非常值得學(xué)習(xí)和掌握的科學(xué)工具.

解決一個(gè)復(fù)雜問(wèn)題，除了需要理解具體問(wèn)題的物理理論外，還需要掌握與物理概念密切相關(guān)的量綱分析方法和相似論.它們既可以用于數(shù)據(jù)整理，也可以在不求解問(wèn)題前就對(duì)問(wèn)題有個(gè)定量和定性的把握.對(duì)于有些復(fù)雜問(wèn)題，建立其數(shù)學(xué)模型有時(shí)可能非常困難，或者方程非常復(fù)雜難以求解，或者求解的過(guò)程非常復(fù)雜不便于實(shí)際應(yīng)用.有時(shí)需要做試驗(yàn)，而實(shí)際尺寸很難在試驗(yàn)條件中實(shí)現(xiàn)，必須縮小尺寸做模型試驗(yàn)，這時(shí)必須要求滿足一定的相似條件，這種條件必須建立在量綱分析和相似論的基礎(chǔ)上才能建立.一般來(lái)講，對(duì)于復(fù)雜問(wèn)題，特別是研究開(kāi)始時(shí)一般都要先進(jìn)行量綱分析和相似性分析，盡量找出一些一般性規(guī)律，發(fā)現(xiàn)主導(dǎo)參量，細(xì)化演化過(guò)程，以便在建模和分析時(shí)簡(jiǎn)化問(wèn)題.

量綱分析(dimensional analysis)很難說(shuō)從何時(shí)開(kāi)始，基本上它是推廣古希臘幾何中的相似與比例的觀念.很多科學(xué)大師如Newton、Fourier[1]、Maxwell[2]等處理問(wèn)題時(shí)內(nèi)心深處其實(shí)是有量綱的概念, 但不成系統(tǒng).法國(guó)數(shù)學(xué)家J.Fourier的名著Analytical Theory of Heat(熱的解析理論)就有量綱分析的論述，20世紀(jì)初量綱分析才逐漸成形，并且是物理學(xué)、數(shù)學(xué)中建立數(shù)學(xué)模型的重要方法之一.牛頓第二定律F=ma的物理關(guān)系，其方程式應(yīng)該與計(jì)量物理量的單位無(wú)關(guān).這導(dǎo)致一個(gè)重要結(jié)論：任何有意義的定律，對(duì)于其方程式的每一個(gè)計(jì)量單位，都必需是齊次方程式.這個(gè)認(rèn)識(shí)的最終形式成為π定理，即假設(shè)一個(gè)有物理意義的方程式具有n個(gè)變數(shù)與m個(gè)基本量綱，π定理描述怎樣將這方程式等價(jià)地寫(xiě)成具有n-m個(gè)無(wú)量綱參數(shù)的方程式.更重要的是，從給定的變數(shù)，這定理給出了一種能夠計(jì)算這些無(wú)量綱參數(shù)的方法.

通過(guò)量綱分析可以檢查反映物理規(guī)律的方程在計(jì)量方面是否合理，即利用物理定律的量綱平衡(齊次原理)確定各物理量之間的關(guān)系.一個(gè)成熟的物理學(xué)家如果要探究某一個(gè)問(wèn)題，往往是從定性到半定量至定量的分析過(guò)程，從量綱分析入手.

1 從一個(gè)故事開(kāi)始——點(diǎn)源強(qiáng)爆炸

在量綱分析發(fā)展歷史上一個(gè)特別有名的案例，是第二次世界大戰(zhàn)期間英國(guó)力學(xué)大師G.I.Taylor的點(diǎn)源強(qiáng)爆炸研究，他發(fā)現(xiàn)了沖擊波球面半徑與時(shí)間的2/5成正比的規(guī)律，并從照片預(yù)測(cè)了世界第一顆原子彈的當(dāng)量，曾引起很大的國(guó)際社會(huì)反響，害得美國(guó)要調(diào)查是否有泄密事件.這個(gè)問(wèn)題的解決展示了量綱分析解決復(fù)雜問(wèn)題的強(qiáng)大能力.

在二戰(zhàn)的困難時(shí)期，1940年英國(guó)著名科學(xué)家GeorgeThomson邀請(qǐng)G.I.Taylor參加一個(gè)工作午餐，Thomson是剛成立的英國(guó)鈾軍事應(yīng)用委員會(huì)的主席，他告訴Taylor英國(guó)要制造一種利用核反應(yīng)產(chǎn)生巨大能量的炸彈，不過(guò)那時(shí)還沒(méi)有使用原子彈這個(gè)名詞.

傳統(tǒng)炸彈的機(jī)械效能，是通過(guò)在有限的空間里短時(shí)釋放大量高溫高壓氣體獲得的.而對(duì)于這種新型炸彈，當(dāng)時(shí)的問(wèn)題是希望了解這種在極端聚焦的沒(méi)有伴隨氣體的點(diǎn)源強(qiáng)爆炸的機(jī)械效能是否與傳統(tǒng)的炸彈類似[3-5].

就在他們這次討論這個(gè)問(wèn)題之前，英國(guó)收到美國(guó)著名爆炸專家G.Kistiakovsky*G.K.出生于烏克蘭基輔，哈佛大學(xué)教授，曾領(lǐng)導(dǎo)研制第一顆原子彈內(nèi)爆點(diǎn)火的爆炸鏡頭explosive lens.的報(bào)告，他認(rèn)為即便這種炸彈能爆炸，其威力也沒(méi)有期望的那么大.到底情況如何需要盡快研究.R.W.Clark

在《TheBirthoftheBomb》一書(shū)中指出，當(dāng)時(shí)他們認(rèn)為全英國(guó)只有一個(gè)人可以解決這個(gè)問(wèn)題，這個(gè)人就是劍橋大學(xué)的G.I.Taylor教授.

對(duì)于這個(gè)科學(xué)問(wèn)題，Taylor思考和計(jì)算空氣在瞬間爆炸產(chǎn)生的運(yùn)動(dòng)和壓力.他認(rèn)為爆炸會(huì)產(chǎn)生一個(gè)熱沖擊波，即一個(gè)點(diǎn)源強(qiáng)爆炸瞬間釋放巨大但有限的能量E，將對(duì)其周圍的空氣進(jìn)行急劇的壓縮和加溫，并以超過(guò)聲速的球形沖擊波向外急速膨脹.

圖1 原子彈爆炸的球形沖擊波

他列出了問(wèn)題的流體力學(xué)偏微分方程組，發(fā)現(xiàn)這個(gè)方程組是非線性的，當(dāng)時(shí)無(wú)法求解，怎么辦？這時(shí)Taylor想到借助量綱分析這個(gè)有力工具來(lái)研究這個(gè)問(wèn)題.

設(shè)空氣絕熱系數(shù)γ(表征空氣的可壓縮性，無(wú)量綱)，在爆炸時(shí)間t時(shí)球形沖擊波的波陣面半徑是R，波陣面相當(dāng)于一個(gè)球形邊界面，內(nèi)部是超熱的火球，外面是正常大氣，其密度為ρ0，壓強(qiáng)比球內(nèi)壓強(qiáng)小幾個(gè)數(shù)量級(jí)可以忽略不計(jì).這樣，這個(gè)復(fù)雜的問(wèn)題就簡(jiǎn)化成一個(gè)只有5個(gè)參量的問(wèn)題，即希望知道球形沖擊波的波陣面的半徑

(1)

這里的符號(hào)f只代表是一種函數(shù)關(guān)系，不是具體的一個(gè)函數(shù).下面使用量綱分析來(lái)研究一下這些量之間的關(guān)系.

這里有n=5個(gè)參量見(jiàn)表1，基本量綱有質(zhì)量m，長(zhǎng)度L和時(shí)間t,即j=3.

表1 點(diǎn)源強(qiáng)爆炸參量的量綱

根據(jù)π定理，可以構(gòu)造出k=n-3=2個(gè)無(wú)量綱的Π.取E,t,ρ0為重復(fù)變量，有關(guān)系

由于γ是無(wú)量綱量，所以α=β=λ=0，即Π2=γ.

對(duì)于Π1，有

(4)

可得到冪次數(shù)為

(5)

這樣就得到Π1

(6)

根據(jù)量綱分析理論，就有關(guān)系Π1=S(Π2)，即

(7)

其中S(γ)是常數(shù)，所以就得到球形沖擊波的波陣面的半徑

(8)

以上就是Taylor的時(shí)間2/5冪次律，沖擊波的波陣面半徑是時(shí)間的2/5冪次方，后來(lái)計(jì)算確定S(γ)≈1.033.

從上式可得球形沖擊波的波陣面上的速度

(9)

可見(jiàn)球形沖擊波的波陣面上的速度是變化的，并且隨時(shí)間的增大而衰減，當(dāng)時(shí)間很大時(shí)速度趨于零.

球形沖擊波的波陣面上的加速度

(10)

球形沖擊波的波陣面上的加速度是變化的，是加速度沖擊波，而且也隨時(shí)間增大而衰減.

球形沖擊波的波陣面后面的壓強(qiáng)

(11)

球形沖擊波的波陣面上的壓強(qiáng)，在爆炸中心附近非常大，并隨時(shí)間迅速衰減.

到這里量綱分析的介紹本來(lái)可以結(jié)束，但與此有關(guān)的故事在科學(xué)技術(shù)史上也有一定的意義，在此順便介紹.故事是這樣的，1941年6月27日Taylor給英國(guó)有關(guān)機(jī)構(gòu)提交了報(bào)告.當(dāng)時(shí)參加美國(guó)原子彈Manhattan工程的大科學(xué)家John von Neumann也研究同一個(gè)問(wèn)題，在提交報(bào)告前他在周末檢查報(bào)告中的168個(gè)公式，于1941年6月30日(星期一)提交給Los Alamos實(shí)驗(yàn)室[6]，比Taylor晚了3天！

由于保密的原因，當(dāng)時(shí)以上兩個(gè)報(bào)告都沒(méi)有公布.Taylor在1950年才允許發(fā)表其研究成果，John von Neumann的結(jié)果在1947年發(fā)表在Los Alamos的Blast Wave報(bào)告第二章中[7].

同一個(gè)問(wèn)題，蘇聯(lián)參加原子彈研究的L.I.Sedov也進(jìn)行過(guò)獨(dú)立研究，結(jié)果沒(méi)有保密而是于1946年發(fā)表在公開(kāi)的學(xué)報(bào)上[8].

圖2 世界第一顆原子彈Trinity從0.1ms至 1.93ms爆炸火球的照片

在Taylor(1950)的第二篇論文中[5]，他利用1947年美國(guó)公開(kāi)發(fā)表的原子彈爆炸火球照片(見(jiàn)圖2)，從中測(cè)量出時(shí)間和半徑，用公式E=[S(γ)]-5ρ0R5t-2計(jì)算預(yù)測(cè)了美國(guó)第一顆原子彈的爆炸當(dāng)量是

(12)

據(jù)文獻(xiàn)上介紹，預(yù)測(cè)結(jié)果發(fā)布后很讓美國(guó)政府難堪，雖然爆炸照片已經(jīng)公開(kāi)了，但這個(gè)爆炸當(dāng)量當(dāng)時(shí)是高度絕密的參數(shù).提取照片的數(shù)據(jù)利用量綱分析公式預(yù)測(cè)原子彈的當(dāng)量是Taylor的一大貢獻(xiàn)，得到了超出科學(xué)界的巨大社會(huì)效果，所以Taylor的結(jié)果特別有名.

怎么連公式都不用，Taylor就解決了這個(gè)問(wèn)題？太神奇了！那么，量綱分析到底包括哪些內(nèi)容，如何使用它來(lái)解決科學(xué)和工程中的問(wèn)題？下面就系統(tǒng)介紹量綱分析的理論.

2 量綱分析的基本概念和π定理

量綱分析有它的核心概念和定理，理解它們對(duì)于靈活使用量綱分析來(lái)解決問(wèn)題非常重要.量綱分析核心知識(shí)點(diǎn)包括量綱概念、7個(gè)基本量綱單位、量綱冪次定理、量綱一致性定律、π定理、量綱分析6步法、模型實(shí)驗(yàn)與原問(wèn)題的相似模數(shù)都必須相等等概念.

2.1 量綱和基本單位

任何物理量都有量綱或單位，該物理量的大小就是這個(gè)單位的多少倍，即一個(gè)標(biāo)量乘這個(gè)單位.如長(zhǎng)度10米， 其中米是度量這個(gè)長(zhǎng)度的單位，而10是這個(gè)長(zhǎng)度和米所表示的單位長(zhǎng)度的比例.很明顯，用來(lái)度量這個(gè)物理量的單位和這個(gè)物理量本身一定是同一類型的量，或者說(shuō)，這些量的量綱是相同的.長(zhǎng)度的量綱我們用L來(lái)表示，而不特別說(shuō)明具體是用長(zhǎng)度的米、厘米還是毫米，只要是長(zhǎng)度量綱就行.

當(dāng)然也有一些量是沒(méi)有量綱，我們就稱其為“無(wú)量綱”量，如角度和一些導(dǎo)出的量.

物理世界千變?nèi)f化，看起來(lái)非常復(fù)雜，但可以慶幸的是，基本的物理量量綱單位一共只要7個(gè)(見(jiàn)表2)，所以我們有結(jié)論：基本的物理量量綱單位一共只要7個(gè)；所有其他的物理量都是其組合的導(dǎo)出單位.

表2 基本物理量量綱和符號(hào)

從一個(gè)問(wèn)題涉及基本物理單位的個(gè)數(shù)多少基本可以預(yù)測(cè)這個(gè)問(wèn)題的復(fù)雜程度，當(dāng)然越多越復(fù)雜，但最多就是7個(gè)基本的物理單位.近幾年來(lái)，科學(xué)界比較關(guān)注的多物理問(wèn)題從本質(zhì)上看就是這些問(wèn)題涉及多個(gè)基本物理量.

比如，純力學(xué)類系統(tǒng)，只會(huì)涉及3個(gè)基本量(質(zhì)量，長(zhǎng)度和時(shí)間)，如果考慮溫度變化的熱力學(xué)過(guò)程就需要加上基本量溫度.

2.2 量綱的冪次定律

量綱是物理量的種類屬性，物理量的量綱反映該物理量隨基本量的單位變化而變化的倍數(shù).物理量的量綱如何來(lái)表達(dá)，它一般是什么形式？在力學(xué)系統(tǒng)中，基本量綱有3個(gè)，長(zhǎng)度L，質(zhì)量M和時(shí)間T，這個(gè)系統(tǒng)中的任何的物理量Y都可以表示成Y=LaMbTc, 其中a,b,c為實(shí)數(shù).

一個(gè)無(wú)量綱的純數(shù)A也可以這樣表達(dá)，只是其冪次都為零，即A=L0M0T0.其實(shí)這個(gè)結(jié)果是一般性的.一個(gè)問(wèn)題的基本量綱一旦確定，其中的任何物理量都可以表達(dá)成基本量綱的冪次形式，

物理量綱的冪次定律: 任何物理量的量綱公式都是基本量綱的冪次單項(xiàng)式的形式.

2.3 量綱一致性定律

蘋(píng)果(物理量)加雪梨(物理量)等于什么？量綱不同的物理量是不能相加的(見(jiàn)圖3).

量綱一致性定律: 每個(gè)在公式中相加的量其量綱必須一致.

圖3 不同性質(zhì)的物理量不能相加

例如，Einstein公式，E=mc2， 量綱關(guān)系是ML2T-2=M(L/T)2.如果在推導(dǎo)公式時(shí)發(fā)現(xiàn)某些項(xiàng)的量綱之間不同，那么一定是推導(dǎo)有誤，必須修改以保證公式中的每一項(xiàng)的量綱都一致.

與量綱一致性原理相關(guān)的一個(gè)原理是說(shuō)描寫(xiě)真實(shí)世界的物理定律中的物理量與測(cè)量這些物理量的單位無(wú)關(guān).比如力學(xué)的Newton定律F=ma中的質(zhì)量可以使用kg，也可以使用g，不管用什么單位，公式都應(yīng)該成立.這種與物理量單位無(wú)關(guān)反映了物理定律一個(gè)非常重要的不變性原理.

2.4 π定理

1914年Buckingham[9,10]發(fā)表一篇有關(guān)量綱分析的重要定理，由于在論文中使用希臘字母π表示無(wú)量綱量, 1922年被美國(guó)學(xué)者P.W.Bridgman在其專著《Dimensional Analysis》[11]中命名為Buckinghamπ定理.Bridgman的這部書(shū)是他在哈佛大學(xué)給研究生的5次講座基礎(chǔ)上整理而成，是世界上第一部量綱分析專著.由于量綱分析理論之后沒(méi)有什么變化，從現(xiàn)代的角度看這部書(shū)完全一點(diǎn)都不過(guò)時(shí)，多次再版發(fā)行，不愧為是一部名著.1946年，Bridgman由于高壓物理的研究獲得諾貝爾物理學(xué)獎(jiǎng).有關(guān)π定理，據(jù)說(shuō)俄羅斯學(xué)者于1911年曾獨(dú)立發(fā)現(xiàn)[12].

π定理: 設(shè)有一個(gè)物理關(guān)系，f(x1,x2,x3,…,xn)=0，由一組量綱不同的物理量x1,x2,x3,…,xn所組成.設(shè)在這組物理量中有j個(gè)量綱是相互獨(dú)立的，并且選作為基本單位量綱，這個(gè)物理關(guān)系一定可以用k=n-j個(gè)無(wú)量綱量Π1,Π2,…,Πk完全表示出來(lái)，即

(13)

這里的j不能是任意多，基本量綱單位只要7個(gè)，所以j的最大值是7，一般情況下j≤7.但在定向量綱分析中，可以通過(guò)引入長(zhǎng)度的方向性，增加基本量綱，但本質(zhì)上也沒(méi)有增加物理基本單位，仍然是7個(gè).從以上的π定理的表述看，可能給人的感覺(jué)是量綱分析很困難.其實(shí)只要對(duì)問(wèn)題有比較好的物理了解，使用下面的6步法，就可以較快地得到問(wèn)題的標(biāo)度律或相似關(guān)系.

2.5 量綱分析的6步法

π定理給出了構(gòu)造無(wú)量綱量Π的一般方法，在此基礎(chǔ)上人們總結(jié)出一個(gè)簡(jiǎn)單的6步方法[13]列于表3.

表3 量綱分析的6步法

續(xù)表

應(yīng)當(dāng)指出，在第3步中有“猜測(cè)j值”，這就給人一種不確定的感覺(jué)，從而使量綱分析有些隨意性，由于這個(gè)原因，量綱分析也的確有些技巧或“藝術(shù)”成分.一個(gè)復(fù)雜問(wèn)題通過(guò)量綱分析解決后往往會(huì)給人一種智慧的沖擊和享受，所以好的量綱分析結(jié)果一般都是科學(xué)大作.

2.6 量綱分析的難點(diǎn)

雖然π定理給出了構(gòu)造無(wú)量綱量Π的一般方法，但人們?cè)谑褂弥袝?huì)感到一定的困難[14].

(1) 如何確定問(wèn)題的物理量，就是參量n的問(wèn)題.在一個(gè)物理問(wèn)題中究竟哪些是必要的物理量，有時(shí)很難決定，特別是新的科學(xué)問(wèn)題，問(wèn)題本身可能還沒(méi)有確定.多余地加進(jìn)一些關(guān)系不大的物理量，常常給我們?cè)黾雍芏喾治龅膹?fù)雜性，但過(guò)少的物理量顯然不能解決問(wèn)題.這里就需要有高深的科學(xué)修養(yǎng)，具體問(wèn)題具體分析，這個(gè)地方就有“技巧”和“藝術(shù)”的成分.量綱分析需要非常豐富的物理知識(shí)和對(duì)問(wèn)題的深刻理解.

(2) 如何決定作為基本量綱的物理量，就是j值的問(wèn)題.在n個(gè)參量中，選j個(gè)量作為基本量，這時(shí)到底選哪個(gè)量作為基本量，就是一個(gè)很關(guān)鍵的問(wèn)題，顯然不同的選擇，會(huì)構(gòu)造出不同的一組無(wú)量綱量Π.這個(gè)重要的問(wèn)題可惜沒(méi)有一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)和規(guī)律可循，從而不同人會(huì)得到不同的結(jié)果.這就有結(jié)果好壞的問(wèn)題，是量綱分析中難度系數(shù)最大的問(wèn)題.

(3) 無(wú)量綱量Π不是唯一的，其相互的乘除和冪次都是無(wú)量綱量！這時(shí)需要把導(dǎo)出的無(wú)量綱量與歷史上科學(xué)界已經(jīng)命名的參量比較，并改寫(xiě)成該量的傳統(tǒng)表示.

以上是量綱分析學(xué)習(xí)和使用時(shí)的難點(diǎn)，必須通過(guò)實(shí)踐訓(xùn)練才能掌握好這個(gè)工具.學(xué)術(shù)上講，其中的一些問(wèn)題只有通過(guò)相似論來(lái)解決.但是，應(yīng)用相似論，就要求使用物理問(wèn)題的基本方程.在很多實(shí)際問(wèn)題中，問(wèn)題的基本方程常常還不很明白.在這些沒(méi)有基本方程的復(fù)雜問(wèn)題中，量綱分析就比較有用.所以，如果你研究的問(wèn)題非常復(fù)雜，還沒(méi)有搞得太明白，最好不要貿(mào)然開(kāi)始，建議先用量綱分析試試問(wèn)題的深淺.

確定重復(fù)變量是量綱分析的難點(diǎn)，一般情況要從物理上思考才會(huì)比較準(zhǔn)確.比如管道中流體流動(dòng)摩擦阻力的問(wèn)題，其中有管道、液體和流動(dòng)3個(gè)因素，它們的相互作用導(dǎo)致摩擦阻力，重復(fù)變量就必須包括管道和流動(dòng)液體兩個(gè)方面，所以可以取管道的直徑D、液體的密度ρ和流動(dòng)速度v作為重復(fù)變量.

3 管內(nèi)液體流動(dòng)的摩擦阻力

設(shè)一個(gè)圓管(見(jiàn)圖4)的直徑為D， 不完全光滑有粗糙度ε(長(zhǎng)度量綱)，流體的密度是ρ，流動(dòng)速度v，動(dòng)力粘度μ，摩擦切應(yīng)力τw(是摩擦阻力的來(lái)源)，問(wèn)題是需要確定τw與其他量的關(guān)系.

圖4 管流的摩擦阻力

第1步： 列出問(wèn)題所有的參量(有量綱的變量，無(wú)量綱變量和常數(shù))并計(jì)算其個(gè)數(shù)，設(shè)一共有n個(gè)參量.

對(duì)于這個(gè)問(wèn)題，我們有6個(gè)參量，即n=6.這個(gè)問(wèn)題的目的就是要確定關(guān)系

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第2步： 列出所有n個(gè)參量的量綱(見(jiàn)表4).

表4 管流參量的量綱

第3步： 這個(gè)問(wèn)題的基本量綱有L,M,T共3 個(gè).作為第一次猜測(cè)，取j值等于問(wèn)題中基本量綱的個(gè)數(shù)，即j=3.這樣我們就有k=n-j=6-3=3，這樣就會(huì)有k=3個(gè)無(wú)量綱量Π.

第4步：j值是3，我們要從6個(gè)參量中選擇3 個(gè)作為問(wèn)題的重復(fù)變量，無(wú)量綱的攻角不選，因變量τw不選，動(dòng)力粘度μ已經(jīng)包含了所有的基本量綱L,M,T，我們?nèi),v,ρ作為重復(fù)變量.

第5步： 把所有的k個(gè)無(wú)量綱量Π列出，必要時(shí)適當(dāng)整理無(wú)量綱量Π轉(zhuǎn)化成科學(xué)界已經(jīng)命名的無(wú)量綱量.

我們把τw與重復(fù)變量做一個(gè)乘積，重復(fù)變量的冪次為待定.

(15)

把表中的參量基本量綱代入到上式，并注意Π是無(wú)量綱量，得到合并同類項(xiàng)，兩邊同一量的冪次必須相等，得到待定常數(shù)a=-2,b=0,c=-1.

把確定的a和b代入到Π，得到這個(gè)問(wèn)題Π

(16)

其中的Π1改寫(xiě)成傳統(tǒng)的Darcy摩擦阻力因子fD

(17)

類似，我們用空氣粘度μ代替τw， 重復(fù)計(jì)算就可以得到Π2

(18)

可以得到另一組a=-1,b=-1,c=-1，所以

(19)

這個(gè)Π2就是Reynolds常數(shù)Re的倒數(shù)，可以修改成傳統(tǒng)表示

(20)

同樣可以得到第3個(gè)Π3， 就是粗糙度δ與管直徑的比值，傳統(tǒng)稱為粗糙度系數(shù)

(21)

第6步： 驗(yàn)證所有的無(wú)量綱量Π，并寫(xiě)出問(wèn)題的最終量綱關(guān)系.

(22)

得到摩擦阻力系數(shù)為

(23)

對(duì)于這個(gè)問(wèn)題，我們沒(méi)有建立問(wèn)題的方程更沒(méi)有求解，得到了摩擦阻力因子與粗糙度系數(shù)的關(guān)系公式，很神奇！當(dāng)然，量綱分析不能完全確定一切，待定常數(shù)F(Re,ε/D)，它必須通過(guò)其他方法(如試驗(yàn))確定.

對(duì)于粗糙度系數(shù)ε/D為零的管流，在層流情況下fD=64/Re;對(duì)于湍流是不同的結(jié)果fD=0.316Re-1/4.

對(duì)于速度v很大的極限情況，可認(rèn)為Re→∞，對(duì)于這個(gè)問(wèn)題F(Re,ε/D)就只是粗糙度系數(shù)ε/D函數(shù).

如果管道完全光滑即粗糙度系數(shù)為零，即

(24)

這時(shí)摩擦阻力因子fD是常數(shù)！即有切應(yīng)力τw=Cρv2，其中C是常數(shù).

4 定向量綱分析

以上介紹的通常量綱分析除了本文2.6節(jié)的難點(diǎn)外，還有些先天不足，比如說(shuō)長(zhǎng)度和速度的方向無(wú)法表示，這就使運(yùn)用量綱分析處理一些固體力學(xué)問(wèn)題時(shí)有一定的限制，在固體力學(xué)中量綱分析不很成功，量綱分析需要改進(jìn)，需要引進(jìn)定向量綱的概念[14-17].量綱分析的一些不合理的地方是：

(1) 角度由于是無(wú)量綱量，它只能隱含在待定函數(shù)中，它本身無(wú)法進(jìn)行量綱分析，比如研究機(jī)翼升力的攻角α，只能隱含地表現(xiàn)在函數(shù)f(α)中，但無(wú)法從中提取出來(lái).

(2) 所有的應(yīng)變都是無(wú)量綱量，與角度類似其本身無(wú)法進(jìn)行量綱分析，只能隱含在待定函數(shù)中，彈性應(yīng)變與塑性應(yīng)變量綱也一樣，無(wú)法區(qū)分開(kāi)來(lái).而固體力學(xué)中應(yīng)變無(wú)處不在，這可能是通常量綱分析在固體力學(xué)中應(yīng)用不理想的一個(gè)原因.

(3) 有些物理量本身之間沒(méi)有什么聯(lián)系，但其量綱卻相同，在量綱分析中無(wú)法把它們分開(kāi).例如物質(zhì)質(zhì)量和慣性質(zhì)量的量綱都是M，無(wú)法區(qū)分它們；頻率，應(yīng)變率，角速度的量綱都是T-1；所有Young彈性模量、剪切模量、應(yīng)力的量綱都是LMT-2；角動(dòng)量的變化率、能量和梁板殼彎矩的量綱都是L2MT-2.

(4) 基本單位最多只有j=7個(gè)，力學(xué)系統(tǒng)的基本單位才有j=3個(gè)(長(zhǎng)度，質(zhì)量和時(shí)間)，對(duì)于力學(xué)系統(tǒng)來(lái)講，如果問(wèn)題有n=4個(gè)參量，就可以得到一個(gè)Π，這種情況是最好的，因?yàn)橹挥幸粋€(gè)Π，它就只能是一個(gè)常數(shù)，所有的量就不再隱含在函數(shù)里了，比如肥皂泡的例子中Π就是一個(gè)常數(shù).

這里就出現(xiàn)一個(gè)問(wèn)題，是不是可以在量綱分析的框架下，通過(guò)合理增加一些基本量綱，從而減少問(wèn)題的Π個(gè)數(shù)，達(dá)到簡(jiǎn)化問(wèn)題的目的？

Huntley提出定向量綱(Directed Dimension)概念[15]，Siano提出(orientational analysis)取向分析[16,17].

具體講，Huntley的定向量綱基本思想有兩點(diǎn)：

(1) 考慮矢量的大小和方向，原來(lái)只考慮大小.如沿x方向上的長(zhǎng)度記成Lx，x坐標(biāo)方向的速度記成vx=Lx/t，

(2) 區(qū)分物質(zhì)質(zhì)量(mi)和慣性質(zhì)量(ms)的量綱.

Siano的取向分析，特別引進(jìn)方向符號(hào)lx、ly、lz代表3個(gè)方向，沒(méi)有方向的標(biāo)量使用符號(hào)l0.這樣Huntley的Lx就可以表達(dá)成Lx=Llx.也可以表示角度和三角函數(shù)等.

4.1 炮彈的水平距離

問(wèn)題： 炮彈在高度為H處用初始速度v平射，求拋到地面的水平距離R.炮彈在以v拋出后，在地球引力(重力)的作用下靠慣性飛行，這個(gè)問(wèn)題的參量有H,v,R和重力加速度g，即有n=4個(gè)參量(見(jiàn)表5).

表5 炮彈平射參量的量綱

從中可以看出，這個(gè)問(wèn)題的基本量綱是長(zhǎng)度L和時(shí)間t，即j=2，所以本問(wèn)題有k=n-j=2個(gè)無(wú)量綱Π:

(25)

(26)

所以有關(guān)系

R/H=f(gH/v2)

(27)

這就是使用通常量綱分析獲得的結(jié)果.關(guān)系式(27)只能告訴我們水平距離R與初始高度H成正比，無(wú)法給出與初始速度的明確關(guān)系信息，我們不滿足這個(gè)結(jié)果，希望獲得更多的信息.

讓我們區(qū)分速度的方向，以及水平距離和高度方向.問(wèn)題的參量有H、v、R和重力加速度g，即有n=4個(gè)參量(見(jiàn)表6).

表6 炮彈平射擴(kuò)充參量的量綱

同一個(gè)問(wèn)題，仍然有4個(gè)參量，但基本量綱多了，現(xiàn)在是3個(gè)(Lx,Ly,t),這時(shí)就只有一個(gè)無(wú)量綱Π:

(28)

由于式(28)只有一個(gè)Π，所以這個(gè)Π必須是常數(shù)C，問(wèn)題的解答是

(29)

討論： 式(29)只有一個(gè)待定常數(shù)，物理關(guān)系非常簡(jiǎn)單，R與H的關(guān)系是拋物線關(guān)系，理論推導(dǎo)知道其中的常數(shù)C=2.

5 量綱分析的不完全相似問(wèn)題

還有一些問(wèn)題，其中有的Π非常大而同時(shí)有些Π又非常小，出現(xiàn)所謂的奇性問(wèn)題.比如在以上的例子中曾看到雷諾數(shù)Re很大的情況.這需要引進(jìn)量綱分析的不完全相似概念.

以上討論的量綱分析屬于完全相似的情況，如果其中的無(wú)量綱Π趨于無(wú)限大或零，這時(shí)的量綱分析屬于非完整相似情況，這種情況的相似性一般將被破壞.為了也可以近似處理這類問(wèn)題的相似性，G.Bareblatt在1979年提出一種處理這類相似性的漸進(jìn)方法[18].

其基本思想是，比如，不失一般性這里只舉有3個(gè)Π的情況.如一個(gè)問(wèn)題按正常操作得到無(wú)量綱關(guān)系

(30)

假如在Π2→0的情況下Π1的極限存在，現(xiàn)在的問(wèn)題是Π1可以是什么形式？類似使用函數(shù)的Taylor級(jí)數(shù)展開(kāi)，Barenblatt建議式(30)改成如下形式

(31)

其中式(31)的冪次α是待定常數(shù).

如果Π3→∞的極限也存在，式(31)可以改寫(xiě)成

(32)

顯然，如果極限f(∞)存在，α必須是一個(gè)常數(shù)，在最簡(jiǎn)單的情況可以取冪指數(shù)α=1.

6 小球在黏性液體中運(yùn)動(dòng)的速度

假如有一個(gè)小球(Reynolds數(shù)非常小)在黏性液體中自由下落或上升(見(jiàn)圖5)，它的速度起初被加速，但是，由于液體的黏性阻力隨速度的增加而增加，小球的速度越來(lái)越低最后達(dá)到一個(gè)速度v，現(xiàn)在的問(wèn)題是如何確定這個(gè)速度？這個(gè)問(wèn)題如果利用流體力學(xué)的方程來(lái)精確求解，其實(shí)是非常困難的，這里使用量綱分析來(lái)分析這個(gè)問(wèn)題.

圖5 小球在黏性液體中運(yùn)動(dòng)

從物理直覺(jué)上，小球運(yùn)動(dòng)受到浮力和液體阻力的聯(lián)合作用，顯然這個(gè)速度問(wèn)題與以下幾個(gè)物理量有關(guān)系，具體是什么關(guān)系目前不知道.這些相關(guān)物理量是，小球的特征尺度為R(小球不一定必須是圓球！如果是圓球，特征尺度R就是圓球的半徑)，ρs、ρf分別是小球和液體介質(zhì)的密度，μ是液體的動(dòng)力黏性系數(shù)，由于是自由落體顯然與重力加速度g有關(guān). 這些參量的量綱列于表7.

表7 小球在黏性液體中運(yùn)動(dòng)問(wèn)題的各參量的量綱

這個(gè)問(wèn)題可以表示成

(33)

從物理上看，下落的速度應(yīng)當(dāng)與小球和液體的密度差Δρ=ρs-ρf成比例，這樣上式可以改寫(xiě)成

(34)

不使用以上方法，直接設(shè)速度v可以表達(dá)成以下冪指數(shù)的形式

v=CRa(ρs-ρf)bμcgd

(35)

其中C是一個(gè)常數(shù).把這些參量的量綱代入這個(gè)關(guān)系，根據(jù)量綱一致性原理，得到用a表示的其他冪指數(shù)b=(2a-1)/3,c=(1-2a)/3,d=(1+a)/3，所以有關(guān)系

(36)

現(xiàn)在的問(wèn)題是如何確定其中的a?再?gòu)奈锢砩峡紤]，引起小球運(yùn)動(dòng)的單位體積浮力是(ρs-ρf)g，所以上式中的(ρs-ρf)必須與g具有相同的冪指數(shù)，即

(37)

可以得到a=2.至此，就得到了小球下落或上升的速度

(38)

對(duì)于圓球情況，理論上可以確定C=2/9，這就是著名的Stokes公式.不過(guò)與理論推導(dǎo)相比，這里推導(dǎo)的簡(jiǎn)單程度簡(jiǎn)直難以置信.從這個(gè)表達(dá)式可以看出，小球下落或上升的速度與小球的面積即R2尺度成正比，與密度差Δρ成正比，特別是小球密度大于液體時(shí)小球下落，反過(guò)來(lái)，小球上升.

物理上，在這個(gè)速度，小球運(yùn)動(dòng)處于浮力Fg與液體阻力Fd相互平衡即相等的狀態(tài)Fd=Fg(見(jiàn)圖5).

對(duì)于小球是完全的球形，這時(shí)其浮力Fg根據(jù)阿基米德定律得到

(39)

利用式(38)，浮力的表達(dá)式可以改寫(xiě)成速度的函數(shù)如下

(40)

所以，可以得到小球在黏性液體中運(yùn)動(dòng)的阻力為

Fd=6πμRv

(41)

這就是著名的Stokes阻力公式，它是由G.G.Stokes于1851年推導(dǎo)出來(lái).不要看這個(gè)公式簡(jiǎn)單，但它對(duì)許多研究至關(guān)重要，據(jù)Dusenbery介紹，這個(gè)公式已至少產(chǎn)生3項(xiàng)諾貝爾獎(jiǎng)[19].

可能你已經(jīng)注意到，如果我們使用6步法，對(duì)于v,Δρ,μ,R,g這5個(gè)參量，我們可以得到2個(gè)無(wú)量綱的Π，即

(42)

根據(jù)π定律，我們可以得到關(guān)系Π1=f(Π2)，也可以寫(xiě)成1/Π1=f(1/Π2)，即

(43)

(44)

這里的關(guān)系也可以從物理上進(jìn)一步理解，浮力Fg是正比于尺度R3，F(xiàn)d阻力是正比于尺度R，所以小球運(yùn)動(dòng)速度正比于尺度R2.

7 結(jié)語(yǔ)

本文系統(tǒng)介紹了量綱分析方法的基本概念和理論，通過(guò)實(shí)例展示了量綱分析的強(qiáng)大功能和獲得結(jié)果的普適性.從以上的幾個(gè)例子可以看到，不用公式就可以得到有關(guān)的結(jié)果，這往往也會(huì)給人產(chǎn)生一個(gè)錯(cuò)誤的感覺(jué)，就是量綱分析和應(yīng)用好像非常容易，但實(shí)際應(yīng)用的時(shí)候又覺(jué)得無(wú)從下手，好像是一門(mén)“藝術(shù)”.

為了可以更好地使用量綱分析方法，特別提醒讀者注意以下幾點(diǎn)：

(1) 不用公式但需要對(duì)問(wèn)題有深刻的理解：使用量綱分析方法的核心是取決于你對(duì)于所研究問(wèn)題的物理過(guò)程的理解深度，理解越深參量選擇越準(zhǔn)確，越能得到有價(jià)值的結(jié)果；

(2) 需要與其他方法結(jié)合：量綱分析只能給出問(wèn)題的普適結(jié)果，不能完全確定其中的全部關(guān)系，需要結(jié)合其他方法(實(shí)驗(yàn)、理論分析或數(shù)值計(jì)算)進(jìn)一步確定其中的系數(shù)；

(3) 對(duì)結(jié)果要進(jìn)行物理分析：對(duì)于量綱分析得出的結(jié)果，一定要從物理上進(jìn)行分析，以期可以進(jìn)一步簡(jiǎn)化.

應(yīng)當(dāng)指出，量綱分析方法可以應(yīng)用到各種各樣的科學(xué)問(wèn)題，有關(guān)在其他方面的應(yīng)用，請(qǐng)參考文獻(xiàn)[20-23].

致謝： 感謝清華大學(xué)教授陳難先院士把我推薦給《物理與工程》，感謝王青主編的約稿邀請(qǐng)，以及編輯部主任錢颯颯對(duì)我準(zhǔn)備論文時(shí)的協(xié)助.

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■

DIMENSIONAL ANALYSIS AND APPLICATIONS

Sun Bohua

(Department of Mechanical Engineering, Cape Peninsula University of Technology, Bellville 7535, Cape Town, South Africa)

The paper gives a systematical introduction on dimensional analysis(DA), and proposes a six-steps on how to use the dimensional analysis, the universality of the DA will be shown by some typical examples, such as, point blast, pipe flow and a small sphere moving through a viscous fluid.

dimension;πtheorem; similarity

2016-09-15

孫博華. 量綱分析以及應(yīng)用[J]. 物理與工程，2016，26(6)：11-20.

孫博華，1963年出生于徐州銅山，現(xiàn)任南非開(kāi)普半島技術(shù)大學(xué)教授，南非科學(xué)院院士. 1983年獲長(zhǎng)安大學(xué)(前西安公路學(xué)院)工程力學(xué)學(xué)士學(xué)位，1986年獲西安建筑科技大學(xué)(前西安冶金建筑學(xué)院)結(jié)構(gòu)力學(xué)碩士學(xué)位，1989年獲蘭州大學(xué)力學(xué)理學(xué)博士學(xué)位，曾于1989-1993年在清華大學(xué)、荷蘭Delft(代爾夫特)大學(xué)、德國(guó)Ruhr(魯爾)大學(xué)(洪堡AvH學(xué)者)和南非開(kāi)普敦大學(xué)做博士后研究工作.1986年在西安冶金建筑學(xué)院任助教，1995年至今在南非開(kāi)普半島科技大學(xué)工作并曾擔(dān)任研究員、講師、教授、Senate(校務(wù)委員)，2002年12月至2008年1月協(xié)助暨南大學(xué)校長(zhǎng)劉人懷院士創(chuàng)辦中國(guó)第一家全英授課國(guó)際學(xué)院并擔(dān)任首任院長(zhǎng).孫博華教授長(zhǎng)期從事力學(xué)和力學(xué)技術(shù)及其應(yīng)用數(shù)學(xué)方面的研究，在殼體理論、智能結(jié)構(gòu)、MEMS光導(dǎo)和波導(dǎo)陀螺、湍流和非協(xié)調(diào)變形場(chǎng)等方面做出過(guò)系統(tǒng)研究，曾編寫(xiě)《Toroidal Shells(英文)》和《量綱分析與Lie群》等6部專著，目前的主要研究興趣是連續(xù)介質(zhì)力學(xué)、張量與微分形，并關(guān)注量子引力問(wèn)題. 2010年入選年度海外華人十大新聞人物. 2016年9月起擔(dān)任西安建筑科技大學(xué)第三屆校董會(huì)副主席.E-mail:sunb@cput.ac.za