角動量平方算符的矢量分析計算

周運(yùn)清 黃文濤 周愷元

(浙江海洋大學(xué)物理系；浙江省海洋大數(shù)據(jù)挖掘與應(yīng)用重點(diǎn)實驗室，浙江 舟山 316022)

?

角動量平方算符的矢量分析計算

周運(yùn)清 黃文濤 周愷元

(浙江海洋大學(xué)物理系；浙江省海洋大數(shù)據(jù)挖掘與應(yīng)用重點(diǎn)實驗室，浙江 舟山 316022)

量子物理是從經(jīng)典物理中發(fā)展而來的，在其教學(xué)中有意識地挖掘現(xiàn)有教材以便與經(jīng)典進(jìn)行對比，指出兩者的差異，并說明在什么條件下量子描述退化為經(jīng)典描述，具有十分重要的教學(xué)價值，而角動量的平方算符的推導(dǎo)剛好提供了這樣的契機(jī). 本文利用矢量算符分析的方法來推導(dǎo)出在球坐標(biāo)系下角動量平方算符的表達(dá)式，同時與經(jīng)典的角動量平方進(jìn)行了比較, 得到量子角動量平方算符比其經(jīng)典對應(yīng)量多出含普朗克常數(shù)的項，在經(jīng)典極限下，前者退化為后者.作為拓展, 最后用Bohm規(guī)則計算了角動量平方算符.

經(jīng)典物理；量子物理；角動量平方算符；球坐標(biāo)系； Bohm 規(guī)則

角動量算符和角動量平方算符是量子力學(xué)中很重要的力學(xué)量，往往是學(xué)生從經(jīng)典的力學(xué)量過渡到量子算符旅程中十分重要的經(jīng)歷之一. 對其推導(dǎo)進(jìn)行全面的考察不僅可以得到多種推導(dǎo)方法，還能讓學(xué)生體驗物理殊途同歸的樂趣，同時也能加深其過渡體驗，從而深刻認(rèn)識經(jīng)典和量子的差異.

在經(jīng)典角動量定義的基礎(chǔ)上，現(xiàn)有教材文獻(xiàn)中一般有兩種推導(dǎo)方法得到角動量算符以及角動量平方算符. 一種是經(jīng)過動量算符的代換后，利用矢量叉乘給出直角坐標(biāo)系下角動量算符的分量式，然后利用直角坐標(biāo)至球坐標(biāo)的變換，得到球坐標(biāo)系下各分量式，由平方和得到角動量平方的球坐標(biāo)表達(dá)式. 計算盡管很冗長，但基本上是標(biāo)量運(yùn)算，概念清晰，只要仔細(xì)就行，因此在很多教材中得到采用[1,2]. 另外一種是采用矢量分析的方法來處理，即將物理量都代換成球坐標(biāo)系下的算符矢量，然后經(jīng)過矢量分析運(yùn)算后能很快簡明扼要地得到結(jié)果[3-5]. 當(dāng)然也有人將這兩種方法混合起來用[6]，還有人采用其他方式得到結(jié)果[7,8]. 本文直接采用矢量分析來得到一般表達(dá)式，然后利用哈密頓算符和拉普拉斯算符的球坐標(biāo)表達(dá)式來得到角動量平方算符表達(dá)式. 最后，將量子的表達(dá)式與經(jīng)典的進(jìn)行比較.

1 角動量平方算符矢量推導(dǎo)

根據(jù)算符運(yùn)算規(guī)則，角動量平方算符可以表示成

(1)

將角動量算符代入，可得

(2)

下面利用矢量運(yùn)算規(guī)則(b×c)·a=b·(c×a)，來對式(2)進(jìn)行變形運(yùn)算，為了便于理解，我們將算符作用于一個任意函數(shù)ψ，從而得到

(3)

(4)

(5)

(6)

(7)

(8)

式(7)和式(8)代入式(5)，得到

(9)

式(9)就是角動量平方算符在球坐標(biāo)系下的表達(dá)式.

2 角動量平方算符在量子與經(jīng)典之間的比較

為了便于比較，下面我們將經(jīng)典的角動量平方表達(dá)式簡單推導(dǎo)出來

(10)

經(jīng)典角動量平方也可由式(10)改寫為以下等價形式：

(11)

由Bohm規(guī)則[9]，也可求出相應(yīng)的量子算符為

(12)

可以看出，由Bohm規(guī)則求出的式(12)與式(9)一致,但是如果把經(jīng)典角動量寫為

(13)

然后利用Bohm規(guī)則得到

(14)

3 結(jié)語

[1] 周世勛,陳灝.量子力學(xué)教程[M].2版.北京：高等教育出版社,2009.

[2] 趙凱華,羅蔚茵.量子物理[M].北京：高等教育出版社,2001.

[3] 馮哲川.用球坐標(biāo)系推求角動量算符的本征方程[J].大學(xué)物理,1984(2):41-43.FengZC.Calculationoftheeigenvalueequationofangularmomentumoperatorbysphericalcoordinates[J].Collegephysics, 1984(2): 41-43.

[4] 王正行.從直觀圖像寫出角動量算符的球坐標(biāo)表示[J].大學(xué)物理,1987(8):7-9.WangZX.Writingouttheangularmomentumoperatorintermsofsphericalcoordinatesfromthevisualimagerepresentation[J].CollegePhysics, 1987(8): 7-9.

[5] 岑天慶.一種角動量算符的簡便推導(dǎo)方法[J].大學(xué)物理,2010(11):26-28.CenTQ.Asimplemethodofderivatingangularmomentumoperator[J].CollegePhysics, 2010(11): 26-28.

[6] 顧樵.量子力學(xué)Ⅰ[M].北京：科學(xué)出版社,2014.

[7] 李光惠.用轉(zhuǎn)動矩陣導(dǎo)出角動量算符的球坐標(biāo)表示式[J].大學(xué)物理,1990(8):26-27.LiGH.Derivationoftherepresentationofangularmomentumoperatorinsphericalcoordinateswithrotationmatrix[J].CollegePhysics, 1990(8): 26-27.

[8] 李培廉.角動量算符的球坐標(biāo)表示式的一個簡易推導(dǎo)[J].大學(xué)物理,1983(4):7-9.LiPL.Asimplederivationofangularmomentumoperatorintermsofsphericalcoordinates[J].CollegePhysics, 1983(4): 7-9.

[9] 喀興林.高等量子力學(xué)[M].2版.北京：高等教育出版社,2001.

■

CALCULATING THE SQUARE OPERATOR OF ANGULAR MOMENTUM BY VECTOR ANALYSIS

Zhou Yunqing Huang Wentao Zhou Kaiyuan

(Department of Physics and Key Laboratory of Oceanographic Big Data Mining & Application of Zhejiang Province,Zhejiang Ocean University, Zhoushan, Zhejiang 316022)

Quantum physics has been developed from classical physics. In the teaching process, we should be aware of digging into the existing teaching materials in order to compare with the classics, point out their difference and show under what conditions quantum description degenerates into classic description, which has very important teaching value. The derivation of the square of the angular momentum of provides the opportunity for this purpose. In this paper, the expression of the square operator of angular momentum in spherical coordinate is derived by the method of vector analysis, and then compares with the square of classical angular momentum. We obtain that in comparison with its classical counterpart, the square operator of quantum angular momentum has an extra term of Planck’s constant’s order, and in the classical limit, the quantum result is reduced to its classical counterpart. Finally, as an extension, the Bohm’s rule is used to calculate the square operator of the angular momentum.

classical physics; quantum physics; the square operator of angular momentum; spherical coordinate; Bohm’s rule

2015-08-05

浙江海洋學(xué)院科研啟動項目(21065013413 ), 中青年資助項目(11062101712), 校級重大項目(X12ZD10), 浙江省自然基金項目(Y6110250, LY14A040001)和國家自然基金(11304281，31201001)資助.

周運(yùn)清，男，副教授，主要從事物理教學(xué)科研工作，研究方向為量子輸運(yùn)和量子光合作用.yqchou@163.com;黃文濤，男，副教授，主要從事物理教學(xué)科研工作，研究方向為腦功能網(wǎng)絡(luò)和量子光合作用.ccnuhwt@aliyun.com;周愷元，男，2013級物理學(xué)專業(yè)本科生.466812432@qq.com

周運(yùn)清，黃文濤，周愷元. 角動量平方算符的矢量分析計算[J]. 物理與工程，2016，26(6)：48-50.