基于選權(quán)迭代法的既有鐵路平面線形擬合方法

馬洪磊，劉成龍

(1.中鐵第一勘察設(shè)計(jì)院集團(tuán)有限公司，陜西 西安 710043；2.軌道交通工程信息化國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室(中鐵一院)，陜西 西安 710043；3.西南交通大學(xué) 地球科學(xué)與環(huán)境工程學(xué)院，四川 成都 611756)

基于選權(quán)迭代法的既有鐵路平面線形擬合方法

馬洪磊1,2，劉成龍3

(1.中鐵第一勘察設(shè)計(jì)院集團(tuán)有限公司，陜西 西安 710043；2.軌道交通工程信息化國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室(中鐵一院)，陜西 西安 710043；3.西南交通大學(xué) 地球科學(xué)與環(huán)境工程學(xué)院，四川 成都 611756)

當(dāng)采用最小二乘法進(jìn)行既有鐵路平面線形擬合時(shí)，需首先判斷測點(diǎn)所在位置的平面線形(即線形識別)并將實(shí)測數(shù)據(jù)分組，然后依據(jù)相應(yīng)擬合模型對各組實(shí)測數(shù)據(jù)進(jìn)行線形擬合。然而，既有鐵路平面線形的實(shí)測坐標(biāo)數(shù)據(jù)不可避免地存在偶然誤差或粗差，這將對線形識別產(chǎn)生不利影響，從而導(dǎo)致實(shí)測數(shù)據(jù)分組不準(zhǔn)確，進(jìn)而造成線形擬合的效果較差。鑒于以上原因，提出基于選權(quán)迭代法的既有鐵路平面線形擬合方法。該方法將各分組內(nèi)不屬于待擬合線形內(nèi)的測點(diǎn)視作含粗差的測點(diǎn)，并利用選權(quán)迭代法具備的較強(qiáng)抗差能力對其進(jìn)行檢測和剔除，最終實(shí)現(xiàn)無需精確分組的既有鐵路平面線形擬合，獲得可靠的線形擬合參數(shù)估值。

最小二乘；既有鐵路；擬合；線形識別；粗差；選權(quán)迭代法

受列車重力、離心力以及其他各種因素的影響，鐵路軌道的空間位置及軌道不同位置間的相對位置會發(fā)生變化，從而造成既有鐵路軌道不平順和線形的整體偏移[1-2]。軌道不平順必將對列車運(yùn)行的穩(wěn)定性和舒適度產(chǎn)生不利影響，嚴(yán)重時(shí)甚至危及行車安全[2-4]，因此，需要定期對既有鐵路的幾何狀態(tài)進(jìn)行檢測并對軌道進(jìn)行調(diào)整以保證軌道的高平順性。常規(guī)調(diào)整方法是以設(shè)計(jì)線形為基準(zhǔn)進(jìn)行軌道調(diào)整，但當(dāng)既有鐵路軌道位置發(fā)生較大的整體一致性偏移時(shí)，若仍以設(shè)計(jì)線形為基準(zhǔn)進(jìn)行軌道調(diào)整勢必會增加工作量和維護(hù)成本，嚴(yán)重時(shí)甚至無法進(jìn)行軌道調(diào)整。針對常規(guī)調(diào)整方法存在的問題，文獻(xiàn)[5]在滿足《鐵路線路設(shè)計(jì)規(guī)范》的前提下，通過實(shí)測坐標(biāo)構(gòu)建平面及縱斷面上的優(yōu)化線形，并依據(jù)優(yōu)化線形進(jìn)行軌道調(diào)整，最終使得在軌道調(diào)整量較小的同時(shí)實(shí)現(xiàn)軌道的高平順性，這對降低鐵路維護(hù)成本和提高維護(hù)效率具有重要意義。線形擬合是線形優(yōu)化的前提，鐵路平面線形由直線、圓曲線、緩和曲線3種基本線形單元構(gòu)成。由于不同線形的擬合模型不同，因此，采用最小二乘法進(jìn)行線形擬合時(shí)，需首先進(jìn)行線形識別并將實(shí)測數(shù)據(jù)分組[5]。因抗差能力較差，故用最小二乘法進(jìn)行既有鐵路平面線形擬合對實(shí)測數(shù)據(jù)分組提出了較高的精度要求。針對上述問題，陳海軍[5]提出高精度的分段方法，但該方法是在假設(shè)實(shí)測坐標(biāo)數(shù)據(jù)中不存在粗差的情況下提出來的，一旦數(shù)據(jù)存在較大或較多粗差，該方法便無法得到可靠的分組結(jié)果，進(jìn)而導(dǎo)致所估線形參數(shù)不可靠。鑒于上述原因，本文提出無需對實(shí)測數(shù)據(jù)精確分組并具有較強(qiáng)抵抗粗差能力的既有鐵路平面線形擬合方法，稱之為基于選權(quán)迭代法的既有鐵路平面線形擬合方法。

1 理論基礎(chǔ)

1.1 選權(quán)迭代法

最小二乘估計(jì)是建立在觀測值來源于正態(tài)分布基礎(chǔ)上的。在觀測值服從正態(tài)分布的情況下，最小二乘估計(jì)是最優(yōu)線形無偏估計(jì)，具有最優(yōu)統(tǒng)計(jì)特性[6]。然而正態(tài)分布是一種在假設(shè)或理想情況下的數(shù)據(jù)分布，大量實(shí)驗(yàn)證明，嚴(yán)格地服從正態(tài)分布的觀測數(shù)據(jù)幾乎沒有[7-9]。統(tǒng)計(jì)學(xué)家研究發(fā)現(xiàn)，含有粗差的觀測量約占總觀測量的1%～10%?？共罟烙?jì)正是針對最小二乘法抵抗粗差能力差這一缺陷提出來的，抗差估計(jì)對模型誤差，特別是粗差具有一定的抵抗能力，所估參數(shù)能夠排除或減弱受粗差的干擾[6]?？共罟烙?jì)有很多種方法，但只有Huber提出的M估計(jì)有較強(qiáng)的實(shí)用價(jià)值，且比較容易實(shí)施[6]，選權(quán)迭代法是M估計(jì)的一種[6]。選權(quán)迭代法從第二次迭代開始利用權(quán)函數(shù)計(jì)算各觀測值的權(quán)，如果權(quán)函數(shù)選擇得當(dāng)，且粗差是可定位的[9]，則迭代過程中含粗差的觀測值的權(quán)將越來越小，直到趨近于0。迭代終止時(shí)，相應(yīng)的殘差將直接反映粗差的大小和位置[9]。實(shí)際作業(yè)中，外業(yè)采集的坐標(biāo)數(shù)據(jù)很多，其中難免會存在一些包含粗差的數(shù)據(jù)，這些包含粗差的數(shù)據(jù)會對數(shù)據(jù)分組和線形擬合產(chǎn)生不良影響[10]。選權(quán)迭代法具有抵抗粗差能力強(qiáng)和易于編程實(shí)現(xiàn)的優(yōu)點(diǎn)，可較好地顧及粗差的干擾，從而獲得可靠的線形參數(shù)。

1.2 權(quán)函數(shù)及其選擇

1.2.1 權(quán)函數(shù)

權(quán)函數(shù)是選權(quán)迭代法的關(guān)鍵，下面介紹幾種常用的權(quán)函數(shù)。

1)Huber權(quán)函數(shù)

(1)

式中：pi為初始權(quán)；c為常數(shù)，一般取值為2.0；Vi為觀測值改正數(shù)；σ為單位權(quán)中誤差。

2)丹麥法權(quán)函數(shù)

(2)

式中：pi為初始權(quán)；c為常數(shù)，一般取值為1.5；Vi為觀測值改正數(shù)；σ為單位權(quán)中誤差。

3)IGGⅢ方案權(quán)函數(shù)

(3)

式中：pi為初始權(quán)；Vi為標(biāo)準(zhǔn)化殘差[10]；k0通常取值為1.5～2.0；k1通常取值為3.0～8.5。

1.2.2 權(quán)函數(shù)的選擇

現(xiàn)有的權(quán)函數(shù)有許多種，除了上文提及的3種權(quán)函數(shù)外，還有Hampel權(quán)函數(shù)、Fair權(quán)函數(shù)和Tukey權(quán)函數(shù)等。選權(quán)迭代法抗差效果的好壞很大程度上取決于所使用的權(quán)函數(shù)，權(quán)函數(shù)的良好選擇取決于測量數(shù)據(jù)的誤差分布情況，但誤差分布難以準(zhǔn)確獲知，故目前只能在若干種有代表性的類型中去選擇。馬洪磊[10]根據(jù)經(jīng)驗(yàn)和實(shí)際應(yīng)用效果，認(rèn)為丹麥法權(quán)函數(shù)進(jìn)行粗差檢驗(yàn)比較有效。楊元喜[11]則認(rèn)為選用的權(quán)函數(shù)應(yīng)包含3段：1)自然段：當(dāng)觀測誤差很小時(shí)，觀測值應(yīng)該取原始權(quán)；2)可疑段：當(dāng)觀測誤差較大，但并不顯著時(shí)，觀測值應(yīng)降權(quán)；3)淘汰段：當(dāng)觀測值顯著異常時(shí)，應(yīng)將其淘汰，即取零權(quán)；楊元喜[11]對幾種權(quán)函數(shù)進(jìn)行分析，認(rèn)為Huber權(quán)函數(shù)和丹麥法權(quán)函數(shù)均少淘汰段，這不利于提高權(quán)函數(shù)的抗差能力；IGGⅢ方案更適用于測量計(jì)算。由此可見，權(quán)函數(shù)的選取尚未固定，為找出適用于既有鐵路平面線形擬合的權(quán)函數(shù)，對幾種常用的權(quán)函數(shù)的計(jì)算結(jié)果進(jìn)行比對，最終確定適用的權(quán)函數(shù)。

1.3 迭代終止條件

任何迭代計(jì)算都需要對應(yīng)的終止條件，選權(quán)迭代法也不例外。相鄰2次迭代的平差結(jié)果可作為判斷迭代是否終止的基本信息，平差結(jié)果包括：1)待估參數(shù)平差值；2)觀測值殘差；3)單位權(quán)中誤差等。迭代終止與否的判斷可通過分析相鄰兩次迭代所得平差結(jié)果中某一項(xiàng)或某幾項(xiàng)的差異大小來實(shí)現(xiàn)(如當(dāng)相鄰2次迭代所得平差結(jié)果中的待估參數(shù)平差值的差異很小時(shí)，便可終止迭代)。另外，相鄰2次迭代過程中所得權(quán)陣的差異情況也可用來判斷迭代是否終止，即當(dāng)相鄰2次迭代過程中所得權(quán)陣相同或差異很小時(shí)，便可終止迭代。由于迭代終止條件非本文的研究重點(diǎn)，故本文將沿用最常用的迭代終止判斷條件，即由相鄰2次迭代所得待估參數(shù)平差值的差異大小來決定是否繼續(xù)迭代。

2 基于選權(quán)迭代法的既有鐵路平面線形擬合模型

鐵路平面線形由直線、圓曲線和緩和曲線3種基本線形單元組合而成。由于緩和曲線參數(shù)可由直線和圓曲線參數(shù)計(jì)算得到，因此，只需對直線段和圓曲線段進(jìn)行線形擬合。不同線形的擬合模型不同，但選權(quán)迭代法具有較強(qiáng)抵抗粗差的能力，因此，該方法對實(shí)測數(shù)據(jù)分組的精度要求不高，現(xiàn)有實(shí)測數(shù)據(jù)分組方法便可滿足要求，包括：1)基于超高的實(shí)測數(shù)據(jù)分組方法；2)基于斜率的實(shí)測數(shù)據(jù)分組方法；3)基于正矢的實(shí)測數(shù)據(jù)分組方法。為充分利用實(shí)測數(shù)據(jù)信息，建議把模糊測點(diǎn)(即無法確定其是否處于待擬合線形中的測點(diǎn))歸入待擬合線形的實(shí)測數(shù)據(jù)分組中。如圖1，當(dāng)擬合直線AB時(shí)，由于A和B兩端都與緩和曲線相連，通過實(shí)測數(shù)據(jù)很難找到直線AB的端點(diǎn)，此時(shí)，只需將兩端的模糊測點(diǎn)納入該直線段的實(shí)測數(shù)據(jù)分組中即可。

圖1 某鐵路平面線形示意圖Fig.1 Schematic diagram of a railway horizontal alignment

2.1 直線擬合模型

直線是組成鐵路平面線形的基本線形單元之一，設(shè)直線方程為：

yi=kxi+b

(4)

式中：(xi,yi)為測點(diǎn)平面坐標(biāo)；k和b為直線的斜率和截距。

由式(4)可得直線誤差方程：

(5)

(6)

殘差V可由下式計(jì)算：

(7)

驗(yàn)后單位權(quán)方差為：

(8)

式中：n為觀測值數(shù)；t為必要觀測值數(shù)。

至此，第1次最小二乘平差計(jì)算完畢?；谶x權(quán)迭代法的直線參數(shù)計(jì)算還需進(jìn)行以下步驟：1)依照所選取的權(quán)函數(shù)(權(quán)函數(shù)的選擇將在下文討論)計(jì)算新權(quán)陣并平差；2)重復(fù)步驟1，直到滿足迭代終止條件。

2.2 圓曲線擬合模型

(9)

(10)

由式(9)～(10)可得圓曲線誤差方程：

(11)

設(shè)觀測值權(quán)陣為P(常取單位陣)，令

B=

則圓曲線參數(shù)近似值改正數(shù)的最小二乘解為：

(12)

殘差V可由下式計(jì)算：

V=B·δx-l

(13)

驗(yàn)后單位權(quán)方差為：

(14)

式中：n為觀測值數(shù)；t為必要觀測值數(shù)。

至此，第1次最小二乘平差計(jì)算完畢?；谶x權(quán)迭代法圓曲線參數(shù)計(jì)算還需進(jìn)行以下步驟：1)依照所選取的權(quán)函數(shù)(權(quán)函數(shù)的選擇將在下文討論)計(jì)算新權(quán)陣并平差；2)重復(fù)步驟1，直到滿足迭代終止條件。

利用選權(quán)迭代法計(jì)算出各直線段和圓曲線段的線形參數(shù)后，便可進(jìn)行緩和曲線段線形參數(shù)的計(jì)算工作。計(jì)算方法詳見文獻(xiàn)[5]或其他相關(guān)文獻(xiàn)。

3 對比分析

根據(jù)本文提出的方法，筆者用C#語言在.Net平臺上編程實(shí)現(xiàn)了既有鐵路平面線形的擬合計(jì)算。為選擇適用的權(quán)函數(shù)并驗(yàn)證本文方法的正確性和可行性，進(jìn)行一系列對比和分析。由于緩和曲線參數(shù)是由直線和圓曲線參數(shù)計(jì)算得到，故緩和曲線參數(shù)的精度取決于直線和圓曲線參數(shù)的精度，為縮減篇幅，只進(jìn)行前、后夾直線斜率和圓曲線半徑的對比。

為獲得較好的擬合效果需選擇良好的權(quán)函數(shù)，而抵抗粗差能力的大小是權(quán)函數(shù)好壞的直接表現(xiàn)，因此，可通過對比不同權(quán)函數(shù)抵抗粗差能力的大小來選擇權(quán)函數(shù)。為此，在AutoCAD上模擬一段鐵路軌道線形(包括前、后夾直線、緩和曲線和圓曲線)，并每隔約0.65 m讀取一個(gè)軌道中線坐標(biāo)組成坐標(biāo)觀測文件(共獲得7 314個(gè)測點(diǎn)坐標(biāo))。分別用Huber權(quán)函數(shù)、丹麥法權(quán)函數(shù)和IGGⅢ方案權(quán)函數(shù)進(jìn)行擬合計(jì)算，將計(jì)算結(jié)果與真值對比。對比情況見表1。

表1 不同權(quán)函數(shù)計(jì)算結(jié)果對比Table 1 Results of different weight functions

由表1可知：1)Huber權(quán)函數(shù)的計(jì)算結(jié)果與真值差異較大；2)丹麥法權(quán)函數(shù)和IGGⅢ方案權(quán)函數(shù)的計(jì)算結(jié)果均與真值差異較小。

為對比本文方法與最小二乘擬合方法，進(jìn)行以下計(jì)算和對比，見表2～4。

表2 最小二乘擬合法計(jì)算結(jié)果Table 2 Results of least-square fitting method

表3 觀測文件中的特征點(diǎn)附近加入10個(gè)1 cm的粗差后2種擬合法計(jì)算結(jié)果
Table 3 Results of two fitting methods after adding 10 1 cm-gross-errors to feature points randomly in observation file

項(xiàng)目前夾直線斜率圓曲線半徑/m后夾直線斜率最小二乘擬合法-0.08407000.0025-0.5394選權(quán)迭代擬合法-0.08406999.9991-0.5394

表4 觀測文件中的特征點(diǎn)附近加入20個(gè)2 cm的粗差后2種擬合法計(jì)算結(jié)果
Table 4 Results of two fitting methods after adding 20 2 cm-gross-errors to feature points randomly in observation file

項(xiàng)目前夾直線斜率圓曲線半徑/m后夾直線斜率最小二乘擬合法-0.08407000.0103-0.5394選權(quán)迭代擬合法-0.08407000.0009-0.5394

注：1)以上各表中選權(quán)迭代擬合法的權(quán)函數(shù)采用丹麥法權(quán)函數(shù)；2)以上各表中計(jì)算結(jié)果是在迭代終止條件為相鄰2次迭代所得線形參數(shù)差值均小于0.02 mm的情況下得到的；3)斜率為無量綱

由表2和表1可知：無粗差情況下，最小二乘擬合法的計(jì)算結(jié)果較本文方法的計(jì)算結(jié)果更接近于真值。由表3和表1可知：在觀測文件中的特征點(diǎn)附近加入10個(gè)1 cm的粗差后，本文方法的計(jì)算結(jié)果較最小二乘擬合法的計(jì)算結(jié)果更接近于真值。由表4、表3和表1可知：在觀測文件中的特征點(diǎn)附近加入20個(gè)2 cm的粗差后，最小二乘擬合法的擬合結(jié)果與真值的偏離更加明顯，本文方法的計(jì)算結(jié)果基本保持不變。

由以上對比分析可知：1)IGGⅢ方案權(quán)函數(shù)和丹麥法權(quán)函數(shù)均具有較強(qiáng)抵抗粗差的能力，可作為選權(quán)迭代法的權(quán)函數(shù)；2)最小二乘擬合法的擬合結(jié)果易受粗差干擾偏離真值，且粗差越多、越大，擬合結(jié)果偏離真值越明顯。在粗差越多、越大情況下，本文方法的計(jì)算結(jié)果更接近于真值。

4 結(jié)論

1)基于選權(quán)迭代法的既有鐵路平面線形擬合方法降低了對實(shí)測數(shù)據(jù)分組的精度要求，使用現(xiàn)有實(shí)測數(shù)據(jù)分組方法便可滿足要求；

2)Huber權(quán)函數(shù)識別和剔除粗差的能力較弱，IGGⅢ方案權(quán)函數(shù)和丹麥法權(quán)函數(shù)具有較強(qiáng)的識別和剔除粗差的能力。IGGⅢ方案權(quán)函數(shù)和丹麥法權(quán)函數(shù)均可作為選權(quán)迭代法的權(quán)函數(shù)來進(jìn)行既有鐵路平面線形擬合；

3)基于選權(quán)迭代法的既有鐵路平面線形擬合方法彌補(bǔ)了最小二乘擬合法抵抗粗差能力差的缺點(diǎn)，使得實(shí)測數(shù)據(jù)存在少量粗差的情況下仍然能夠得到可靠的線形參數(shù)估值，是一種更適于實(shí)際應(yīng)用的既有鐵路平面線形擬合方法。

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The linear fitting method of existing railway horizontalalignment based on iteration method with variable weights

MA Honglei1,2, LIU Chenglong3

(1.China Railway First Survey & Design Institute Group Co., Ltd, Xi’an 710043, China；2.State Key Laboratory of Rail Transit Engineering Informatization(FSDI), Xi’an 710043, China；3.Faculty of Geosciences and Environmental Engineering, Southwest Jiaotong University, Chengdu 611756, China)

When existing railway plane is fitted least square multiplication, the first step is to determine horizontal alignment of measuring points’ locations( i.e., linear identification), and cluster the measured data. Then according to the corresponding fitting model, the measured data groups are fitted linearly. However, there are unavoidable errors and gross errors in the measured coordinate data of existing railway horizontal alignment, which have adverse effects on linear identification. It will lead to inaccurate measured data grouping and cause poor quality of linear fitting. For these reasons, we propose the linear fitting method of existing railway horizontal alignment in this paper based on iteration method with variable weights. In this method, it regards the measured points beyond being fitted linearly in different groups as measured points with gross errors. It detects and eliminates points by using the robust correction ability of iteration method with variable weights. Ultimately, it can realize existing railway horizontal alignment without accurate grouping, and obtain the reliable parameters valuation of linear fitting.Key words: least square method; existing railway; fitting; linear identification; gross error; iteration method with variable weights

2015-10-10

劉成龍(1962-)，男，福建莆田人，教授，從事精密工程測量與變形監(jiān)測；E-mail: lclzwy@vip.sina.com

P207

A

1672-7029(2016)12-2375-06