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    加拿大小學(xué)數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)中的數(shù)感與運(yùn)算能力評(píng)析——以安大略省為例

    2017-01-05 09:15:57張文宇
    關(guān)鍵詞:數(shù)感整數(shù)數(shù)學(xué)課程

    張文宇,宋 軍

    ?

    加拿大小學(xué)數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)中的數(shù)感與運(yùn)算能力評(píng)析——以安大略省為例

    張文宇1,宋 軍2

    (1.渤海大學(xué)教育與體育學(xué)院,遼寧錦州 121013;2.盤錦市鶴鄉(xiāng)小學(xué),遼寧盤錦 124000)

    加拿大安大略省于2005年頒布了《安大略數(shù)學(xué)課程(修訂)》.?dāng)?shù)感與運(yùn)算能力作為小學(xué)1~6年級(jí)數(shù)學(xué)課程內(nèi)容的一個(gè)分支,被看作是其它分支的基礎(chǔ).在介紹數(shù)感與運(yùn)算能力核心思想的基礎(chǔ)上,分析了各核心思想具有的特征;提出了對(duì)中國(guó)小學(xué)數(shù)學(xué)課程與教學(xué)研究的借鑒與啟示.

    數(shù)感與運(yùn)算能力;數(shù)量關(guān)系;計(jì)數(shù);運(yùn)算意識(shí);比例關(guān)系

    在近年來(lái)的PISA測(cè)試中,加拿大學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)始終位居前列[1~2].作為教育分權(quán)制的國(guó)家,加拿大各省可以自行制定、實(shí)施課程標(biāo)準(zhǔn).安大略省(以下簡(jiǎn)稱安?。┮涣鞯幕A(chǔ)教育水平和成熟、完善的課程框架已經(jīng)成為加拿大其余各省課程改革的典范.研究者以安省為例,分析加拿大小學(xué)數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)中的數(shù)感與運(yùn)算能力,希望對(duì)中國(guó)的小學(xué)數(shù)學(xué)課程教學(xué)研究提供借鑒和參考.

    1 數(shù)感與運(yùn)算能力的課程期望

    安省小學(xué)階段目前使用的數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)是2005年頒布的《安大略數(shù)學(xué)課程(修訂)》(以下簡(jiǎn)稱《課程標(biāo)準(zhǔn)》),該文件是小學(xué)數(shù)學(xué)教材編寫、教學(xué)、考試評(píng)價(jià)的依據(jù)[3].《課程標(biāo)準(zhǔn)》規(guī)定小學(xué)數(shù)學(xué)內(nèi)容主要包含5個(gè)分支:數(shù)感和運(yùn)算能力、測(cè)量、幾何和空間觀念、模式和代數(shù)、數(shù)據(jù)管理和概率.其中數(shù)感和運(yùn)算能力這一分支是小學(xué)數(shù)學(xué)的基礎(chǔ).因?yàn)閿?shù)感與運(yùn)算能力遍及其它數(shù)學(xué)分支,可以和其它分支的數(shù)學(xué)教學(xué)、數(shù)學(xué)活動(dòng)相聯(lián)系.

    《課程標(biāo)準(zhǔn)》將數(shù)感和運(yùn)算能力界定為:對(duì)數(shù)字和運(yùn)算的總體理解,以靈活的方式應(yīng)用這種理解,做出數(shù)學(xué)判斷,為了解決問(wèn)題發(fā)展有價(jià)值的策略.在這個(gè)分支中,學(xué)生通過(guò)學(xué)習(xí)不同的表征數(shù)字的方式及數(shù)字之間的關(guān)系,發(fā)展對(duì)數(shù)字的理解;他們學(xué)習(xí)以不同的方式計(jì)數(shù),發(fā)展對(duì)“大數(shù)”的認(rèn)識(shí),發(fā)展對(duì)四則運(yùn)算的深刻理解,學(xué)習(xí)使用各種工具和策略流利地計(jì)算.發(fā)展良好的數(shù)字理解包含掌握“多與少的關(guān)系”,“部分與整體的關(guān)系”,特殊數(shù)字(例如5和10)所發(fā)揮的作用,數(shù)字和現(xiàn)實(shí)的量、環(huán)境中的測(cè)量之間的關(guān)系等[4].根據(jù)兒童數(shù)學(xué)思維發(fā)展的特征、規(guī)律以及數(shù)學(xué)課程內(nèi)容的編排,整個(gè)小學(xué)階段的數(shù)感與運(yùn)算能力包含的核心思想也是發(fā)展變化的.1~3年級(jí)的核心思想包含:數(shù)量關(guān)系、計(jì)數(shù)、運(yùn)算意識(shí);從四年級(jí)開(kāi)始,在此基礎(chǔ)上添加了比例關(guān)系;六年級(jí)不再包含計(jì)數(shù).

    《課程標(biāo)準(zhǔn)》對(duì)小學(xué)各個(gè)年級(jí)的課程期望做了詳盡的闡述,為教材的編寫、教師的教學(xué)提供了具體的、有針對(duì)性的指導(dǎo).課程期望分為總體期望和具體期望,總體期望以一般性、概括性的術(shù)語(yǔ)描述了期望學(xué)生在各學(xué)年結(jié)束時(shí)所具備的數(shù)感與運(yùn)算能力方面的知識(shí)與技能;具體期望則對(duì)各年級(jí)的核心思想進(jìn)行具體的闡述,更詳細(xì)地描述了預(yù)期的知識(shí)和技能.由于篇幅所限,表1僅列舉出各年級(jí)的總體期望,各年級(jí)的課程期望(包含總體期望與具體期望)見(jiàn)附錄.

    2 對(duì)數(shù)感與運(yùn)算能力課程期望的評(píng)析

    2.1 數(shù)量關(guān)系

    關(guān)注兒童對(duì)數(shù)字的表征、比較和排序.

    數(shù)量是對(duì)現(xiàn)實(shí)生活中事物量的抽象,數(shù)量的本質(zhì)是多與少[5].理解數(shù)字所表征的數(shù)量是學(xué)生具有數(shù)感的重要表現(xiàn).兒童在入學(xué)前就已經(jīng)了解現(xiàn)實(shí)生活中的量,他們知道量之間的大小關(guān)系、多少關(guān)系.理解數(shù)量是理解十進(jìn)位值制、運(yùn)算的意義和分?jǐn)?shù)的重要前提條件,是發(fā)展學(xué)生數(shù)感的基礎(chǔ).?dāng)?shù)量關(guān)系課程期望所體現(xiàn)出的最顯著特征是關(guān)注兒童對(duì)數(shù)字的表征、比較和排序,促進(jìn)兒童對(duì)數(shù)量關(guān)系的理解.

    第一,關(guān)注兒童對(duì)數(shù)字的表征.在支持學(xué)生理解數(shù)學(xué)概念和數(shù)學(xué)關(guān)系方面,表征是基本的元素.在小學(xué)低年級(jí)階段,《課程標(biāo)準(zhǔn)》要求學(xué)生表征1?000以內(nèi)的整數(shù),使用四則運(yùn)算的符號(hào),分?jǐn)?shù)符號(hào)也被引入.到了四年級(jí)以后,知識(shí)擴(kuò)展到了1?000?000以內(nèi)的大數(shù),以及新的符號(hào)(小數(shù)點(diǎn)、百分號(hào)、比).同時(shí)要求使用各種工具(操作硬幣、數(shù)軸、互相連接的正方體等)表征整數(shù),使用具體的材料(分?jǐn)?shù)條、分?jǐn)?shù)圓和10×10方格紙)、文字和標(biāo)準(zhǔn)的數(shù)學(xué)符號(hào)表征分?jǐn)?shù)和小數(shù)、百分?jǐn)?shù).

    第二,關(guān)注兒童對(duì)數(shù)字的比較和排序.在小學(xué)低年級(jí)尤其在一年級(jí),學(xué)生對(duì)數(shù)量關(guān)系理解的證據(jù)是能根據(jù)大小及多少,對(duì)數(shù)量比較和排序,認(rèn)識(shí)到數(shù)字如何與其它數(shù)字相聯(lián)系.《課程標(biāo)準(zhǔn)》在一年級(jí)提出將數(shù)字5、10作為“錨”,將0~9的數(shù)字與5和10建立聯(lián)系.這是理解整十?dāng)?shù)、整百數(shù)的重要基礎(chǔ);也能夠幫助學(xué)生更好地理解數(shù)字的組合與分解.當(dāng)兒童能夠分解和組合數(shù)字進(jìn)行運(yùn)算,他們能夠看到數(shù)字間的聯(lián)系,兒童認(rèn)識(shí)和使用數(shù)字模式的技能得到提高[6].而對(duì)數(shù)字模式的意識(shí)是兒童早期數(shù)感發(fā)展的關(guān)鍵因素[7].具備數(shù)字模式直觀把握的學(xué)生很容易從已知的組合中得出未知數(shù)字的答案,這種能力反過(guò)來(lái)幫助學(xué)生掌握數(shù)字的組合與分解.對(duì)四~六年級(jí)的學(xué)生而言,將數(shù)字與基準(zhǔn)數(shù)字相聯(lián)系是對(duì)數(shù)字比較和排序有價(jià)值的策略.《課程標(biāo)準(zhǔn)》四年級(jí)要求將0、、1作為基準(zhǔn)數(shù)字,比較分?jǐn)?shù)的大小.六年級(jí)要求將10%,25%,50%,75%,100%作為基準(zhǔn)數(shù)字,估計(jì)數(shù)量.

    表1 數(shù)感與運(yùn)算能力的總體期望

    2.2 計(jì) 數(shù)

    重視培養(yǎng)兒童靈活的計(jì)數(shù)策略.

    計(jì)數(shù)是發(fā)展低年級(jí)學(xué)生數(shù)感的重要途徑和策略.學(xué)生在小學(xué)低年級(jí)階段學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)概念與計(jì)數(shù)有密切聯(lián)系.通過(guò)真實(shí)的計(jì)數(shù)經(jīng)驗(yàn),學(xué)生發(fā)展基本的概念和策略,幫助他們理解和描述數(shù)字,發(fā)現(xiàn)數(shù)字之間的關(guān)系和模式(例如數(shù)字0~9之間的關(guān)系,10~19之間的關(guān)系).計(jì)數(shù)技能是學(xué)習(xí)十進(jìn)制概念的基礎(chǔ).當(dāng)兒童開(kāi)始計(jì)數(shù)比9大的數(shù)字時(shí),他們的十進(jìn)位值制的概念得到發(fā)展.當(dāng)?shù)湍昙?jí)兒童確定運(yùn)算問(wèn)題的答案時(shí),計(jì)數(shù)是他們最先采用的策略.兒童計(jì)數(shù)策略的多樣性和精確性是衡量低年級(jí)階段兒童數(shù)感發(fā)展水平的重要指標(biāo)[8].低年級(jí)學(xué)生在計(jì)數(shù)上存在的缺陷與他們的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)困難密切相關(guān),也是影響后續(xù)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)成就的重要因素[9].

    《課程標(biāo)準(zhǔn)》強(qiáng)調(diào)培養(yǎng)學(xué)生靈活的計(jì)數(shù)策略:一一對(duì)應(yīng)是低年級(jí)兒童計(jì)數(shù)的一個(gè)重要原則[10].《課程標(biāo)準(zhǔn)》在一年級(jí)要求學(xué)生使用具體材料說(shuō)明數(shù)字和計(jì)數(shù)對(duì)象之間的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系;將向前數(shù)和向后數(shù)相結(jié)合,滲透加法和減法的意識(shí);同時(shí)擴(kuò)展學(xué)生的計(jì)數(shù)模式:除了從1開(kāi)始,一個(gè)一個(gè)地計(jì)數(shù)外,要求學(xué)生借助各種工具和策略逐漸掌握每2個(gè)、5個(gè)、10個(gè)一組,以任一數(shù)字作為起點(diǎn)進(jìn)行計(jì)數(shù).隨著兒童逐漸獲得更加復(fù)雜的計(jì)數(shù)技能,計(jì)數(shù)的對(duì)象也從整數(shù)擴(kuò)展到了小數(shù)、分?jǐn)?shù)和百分?jǐn)?shù).《課程標(biāo)準(zhǔn)》要求一~三年級(jí)涉及到整數(shù)的計(jì)數(shù);四、五年級(jí)涉及到分?jǐn)?shù)、小數(shù)的計(jì)數(shù);六年級(jí)對(duì)計(jì)數(shù)不做要求.

    2.3 運(yùn)算意識(shí)

    注重理解加減乘除運(yùn)算的性質(zhì)以及運(yùn)算間的關(guān)系.

    運(yùn)算意識(shí)幫助學(xué)生理解加減乘除運(yùn)算的意義,在問(wèn)題解決情境中有意義地運(yùn)用這些運(yùn)算.《課程標(biāo)準(zhǔn)》強(qiáng)調(diào)在理解加減乘除運(yùn)算的性質(zhì)以及運(yùn)算間的關(guān)系的基礎(chǔ)上發(fā)展兒童的運(yùn)算意識(shí).與加、減法相關(guān)的運(yùn)算意識(shí)發(fā)展是一~三年級(jí)關(guān)注的焦點(diǎn),低年級(jí)學(xué)生通過(guò)計(jì)數(shù)、對(duì)數(shù)字的組合與分解的策略理解加、減法的含義.《課程標(biāo)準(zhǔn)》也在二年級(jí)要求學(xué)生探索乘法和除法的概念:乘法被看作是重復(fù)的加法;除法被看作是對(duì)數(shù)量的等分.與乘、除法相關(guān)的運(yùn)算意識(shí)發(fā)展是四~六年級(jí)關(guān)注的焦點(diǎn).理解運(yùn)算的性質(zhì)會(huì)幫助學(xué)生發(fā)展靈活的、有效的心算策略.而學(xué)生能夠靈活地使用各種運(yùn)算策略,表明他們具備較強(qiáng)的運(yùn)算意識(shí).《課程標(biāo)準(zhǔn)》在各年級(jí)均要求學(xué)生使用各種心算策略解決運(yùn)算問(wèn)題;鼓勵(lì)學(xué)生使用學(xué)生設(shè)計(jì)、生成的算法和標(biāo)準(zhǔn)的算法,這有助于學(xué)生獲得對(duì)運(yùn)算的概念性理解.學(xué)生理解運(yùn)算間的關(guān)系能提高他們的運(yùn)算技能.學(xué)生在最初學(xué)習(xí)減法時(shí),經(jīng)常使用加、減法互為逆運(yùn)算解決問(wèn)題.在除法運(yùn)算中也經(jīng)常運(yùn)用乘除法之間的逆運(yùn)算關(guān)系解題.此外,《課程標(biāo)準(zhǔn)》將估算作為運(yùn)算策略的一種,重視估算在發(fā)展各年級(jí)學(xué)生數(shù)感中所發(fā)揮的重要作用,強(qiáng)調(diào)學(xué)生在解決運(yùn)算問(wèn)題時(shí),使用估算獲得問(wèn)題的近似解,判斷答案的合理性.

    2.4 比例關(guān)系

    強(qiáng)調(diào)使用整數(shù)、小數(shù)和分?jǐn)?shù)表征數(shù)量之間的乘法關(guān)系.

    《課程標(biāo)準(zhǔn)》從四年級(jí)開(kāi)始,增加比例關(guān)系為數(shù)感的組成元素.比例涉及到兩個(gè)或更多相等的比.能理解比例關(guān)系,并根據(jù)比例關(guān)系進(jìn)行推理是兒童數(shù)學(xué)思維的重大進(jìn)展.比例關(guān)系是小學(xué)數(shù)學(xué)課程的頂點(diǎn),為理解其它重要數(shù)學(xué)概念提供必要的基礎(chǔ)和前提.例如:等值分?jǐn)?shù)是分?jǐn)?shù)學(xué)習(xí)中的重點(diǎn)和難點(diǎn).“等值分?jǐn)?shù)建立在兩個(gè)量具有確定比例關(guān)系的基礎(chǔ)上.”[11]理解比例關(guān)系會(huì)幫助學(xué)生實(shí)現(xiàn)分?jǐn)?shù)、小數(shù)、百分?jǐn)?shù)之間的轉(zhuǎn)換.另一方面,比例推理是中學(xué)數(shù)學(xué)課程內(nèi)容的基礎(chǔ)[12].也是科學(xué)、地理等其它學(xué)科的基礎(chǔ),在日常生活中有廣泛的應(yīng)用.

    比例關(guān)系涉及到認(rèn)識(shí)兩個(gè)比之間的乘法關(guān)系.思考兩個(gè)比之間的乘法關(guān)系是比例關(guān)系的基礎(chǔ).兒童在低年級(jí)就學(xué)習(xí)了兩個(gè)量之間加法關(guān)系的比較(我有5個(gè)桔子,你有7個(gè)桔子,你比我多2個(gè)桔子).兒童在最初接觸比例關(guān)系時(shí),可能進(jìn)行兩個(gè)量間的加法關(guān)系的比較.(例如認(rèn)為1∶3=3∶5,因?yàn)槊總€(gè)比的兩個(gè)數(shù)字的差都是2)因此,在乘法的情境中能區(qū)分乘法與加法被看作是比例推理的重要元素[13].《課程標(biāo)準(zhǔn)》四年級(jí)要求使用整數(shù)描述兩個(gè)量間的乘法關(guān)系,即用整數(shù)表示兩個(gè)數(shù)量的比.五年級(jí)要求使用分?jǐn)?shù)和小數(shù)描述兩個(gè)量間的乘法關(guān)系,即用分?jǐn)?shù)、小數(shù)表示兩個(gè)數(shù)量的比.

    3 對(duì)中國(guó)小學(xué)數(shù)學(xué)教育的啟示

    3.1 重視低年級(jí)兒童數(shù)感的發(fā)展

    “數(shù)感發(fā)展的關(guān)鍵期是小學(xué)低年級(jí).?dāng)?shù)感教學(xué)的重點(diǎn)應(yīng)在第一學(xué)段.”[14]計(jì)數(shù)是兒童學(xué)習(xí)用數(shù)表示多少的第一步.計(jì)數(shù)降低了算術(shù)問(wèn)題的難度,使它們能被兒童所接受.縱觀中國(guó)的小學(xué)低年級(jí)數(shù)學(xué)教材,對(duì)計(jì)數(shù)的關(guān)注不多.“人教版”和“蘇教版”一年級(jí)教材中的“數(shù)一數(shù)”并沒(méi)有呈現(xiàn)多種計(jì)數(shù)模式和策略.只有“北師版”一年級(jí)教材中呈現(xiàn)靈活多樣的計(jì)數(shù)策略:一個(gè)一個(gè)計(jì)數(shù)、兩個(gè)兩個(gè)計(jì)數(shù)、五個(gè)五個(gè)計(jì)數(shù)、十個(gè)十個(gè)計(jì)數(shù),正向計(jì)數(shù)和反向計(jì)數(shù)相結(jié)合.因此建議在小學(xué)數(shù)學(xué)教材中適當(dāng)增加計(jì)數(shù)的內(nèi)容,擴(kuò)展學(xué)生的計(jì)數(shù)模式,呈現(xiàn)靈活多樣的計(jì)數(shù)策略,滲透加法和減法的意識(shí),幫助學(xué)生理解數(shù)的本質(zhì)和運(yùn)算的意義.另一方面,教育工作者目前關(guān)注的重點(diǎn)是在學(xué)校數(shù)學(xué)或課堂教學(xué)中對(duì)學(xué)生數(shù)感的培養(yǎng),而較少關(guān)注利用學(xué)生日常生活中的非正式經(jīng)驗(yàn)發(fā)展兒童的數(shù)感.有研究表明:“兒童的數(shù)感很大程度上是在日常生活中的數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)交流中獲得的.”[15]因此需要將低年級(jí)的數(shù)學(xué)教學(xué)與日常生活的經(jīng)驗(yàn)相聯(lián)系,為學(xué)生提供計(jì)數(shù)的經(jīng)驗(yàn)和機(jī)會(huì).“讓學(xué)生學(xué)會(huì)用自己的語(yǔ)言解釋教學(xué),用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言去解釋現(xiàn)實(shí)問(wèn)題.”[16]例如:借助兒歌,故事,強(qiáng)調(diào)計(jì)數(shù)數(shù)字的順序,既包含向前數(shù)又包含向后數(shù).在爬樓梯的同時(shí)計(jì)數(shù),建立計(jì)數(shù)的數(shù)字和步伐之間的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系;為學(xué)生創(chuàng)造參加游戲的機(jī)會(huì),滲透計(jì)數(shù)策略,等等.

    3.2 重視學(xué)生對(duì)運(yùn)算的理解

    “數(shù)感也是一種運(yùn)用數(shù)字和運(yùn)算法則進(jìn)行靈活運(yùn)算的能力,數(shù)字與計(jì)算之間的聯(lián)系對(duì)學(xué)生形成數(shù)感具有重大的影響.”[17]對(duì)運(yùn)算的理解,對(duì)運(yùn)算知識(shí)、運(yùn)算性質(zhì)的把握與熟悉不僅是數(shù)感的重要組成部分,也是形成數(shù)感的基礎(chǔ)[18].而數(shù)感的發(fā)展又會(huì)促進(jìn)運(yùn)算能力的提升[19].《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2011年版)》對(duì)數(shù)感的表述側(cè)重于對(duì)數(shù)與數(shù)量、數(shù)量關(guān)系的意識(shí)、理解、領(lǐng)悟,對(duì)運(yùn)算則僅僅強(qiáng)調(diào)感悟?qū)\(yùn)算結(jié)果的估計(jì)[20].另一個(gè)核心概念運(yùn)算能力關(guān)注的是根據(jù)法則和運(yùn)算律正確地進(jìn)行運(yùn)算的能力[20].綜上可見(jiàn)對(duì)運(yùn)算的理解關(guān)注不足.

    在實(shí)際教學(xué)中,發(fā)展兒童對(duì)運(yùn)算的概念性理解并沒(méi)有受到普遍的關(guān)注.教材將運(yùn)算的算法作為一系列的步驟、程序呈現(xiàn)給學(xué)生,而很少關(guān)注運(yùn)算間的關(guān)系,很少關(guān)注兒童對(duì)運(yùn)算基礎(chǔ)概念的理解.例如,人教版小學(xué)數(shù)學(xué)教材在三年級(jí)上冊(cè)講授“有余數(shù)的除法”,教材首先關(guān)注的是標(biāo)準(zhǔn)的除法算式,整章的內(nèi)容并沒(méi)有將除法與乘法及減法相聯(lián)系[21].僅僅依靠記憶運(yùn)算步驟的學(xué)生很少能使用數(shù)學(xué)推理解決問(wèn)題.事實(shí)上,花費(fèi)在促進(jìn)運(yùn)算的概念性理解上的時(shí)間并不會(huì)妨礙,甚至?xí)岣哌\(yùn)算的有效性.可以從如下方面提高學(xué)生對(duì)運(yùn)算的理解:第一,理解運(yùn)算間的關(guān)系.認(rèn)識(shí)到加減乘除運(yùn)算之間的相互聯(lián)系能夠幫助學(xué)生提高運(yùn)算意識(shí),促進(jìn)對(duì)運(yùn)算的深入理解,發(fā)展靈活的解題策略.在學(xué)生學(xué)習(xí)標(biāo)準(zhǔn)算法之前,他們應(yīng)該有機(jī)會(huì)探索和發(fā)展各種策略和算法.當(dāng)學(xué)生使用自己的策略解決問(wèn)題時(shí),他們發(fā)展對(duì)運(yùn)算情境性的、概念性、程序性的理解.這幫助學(xué)生理解標(biāo)準(zhǔn)算法中程序、步驟的意義.第二,理解運(yùn)算的性質(zhì).這會(huì)幫助學(xué)生發(fā)展靈活的、有效的心算策略.運(yùn)算性質(zhì)應(yīng)該在問(wèn)題解決的情境中引入和強(qiáng)調(diào),不應(yīng)該作為記憶的規(guī)則而被孤立地講授.教師可以使用模型(具體的材料或圖表、數(shù)軸)幫助學(xué)生將運(yùn)算的性質(zhì)可視化.例如可以將乘法分配率例如用圖1所示的方格表征.

    圖1 乘法分配率的表征

    3.3 進(jìn)一步完善中國(guó)義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)中的數(shù)感

    數(shù)感在《全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(實(shí)驗(yàn)稿)》以及《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2011年版)》中均作為核心概念被提出,由此可見(jiàn)數(shù)感是義務(wù)教育階段數(shù)學(xué)課程內(nèi)容的核心和聚焦點(diǎn),是最應(yīng)培養(yǎng)的數(shù)學(xué)素養(yǎng)之一,是促進(jìn)學(xué)生發(fā)展的重要方面.為了幫助教師將學(xué)生數(shù)感的培養(yǎng)落實(shí)在數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程中,那么對(duì)學(xué)生數(shù)感的發(fā)展與特征進(jìn)行深入的研究,有清晰明確的認(rèn)識(shí)是必要的前提條件.《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2011年版)》并沒(méi)有界定數(shù)感的內(nèi)涵,而是采用外延描述的方式,認(rèn)為數(shù)感主要是指關(guān)于數(shù)與數(shù)量、數(shù)量關(guān)系、運(yùn)算結(jié)果估計(jì)方面的感悟[20].《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2011年版)解讀》也從這3方面對(duì)數(shù)感進(jìn)行了比較詳盡的闡述.但是并沒(méi)有分學(xué)段和年級(jí),只是較為籠統(tǒng)地闡述了小學(xué)階段這3方面的發(fā)展的特征、規(guī)律[22].?dāng)?shù)感有一個(gè)后天的發(fā)展過(guò)程[23].?dāng)?shù)感作為一種特殊的數(shù)學(xué)能力和數(shù)學(xué)素養(yǎng),必然具有其自身發(fā)展的年齡特點(diǎn),規(guī)律.有必要對(duì)數(shù)感進(jìn)行進(jìn)一步的深入的研究,尤其是進(jìn)行量化的實(shí)證性的研究,分析探討小學(xué)各年級(jí)或各學(xué)段的學(xué)生在數(shù)與數(shù)量、數(shù)量關(guān)系、運(yùn)算結(jié)果估計(jì)3個(gè)方面發(fā)展的規(guī)律、特征,各年級(jí)或?qū)W段間在這3個(gè)方面是否存在顯著性差異,是否存在發(fā)展的階段性,是否存在性別差異等.根據(jù)各年級(jí)或各學(xué)段學(xué)生數(shù)感學(xué)習(xí)的特點(diǎn),提出有針對(duì)性的教學(xué)策略,為教師的教學(xué)提供有價(jià)值的借鑒和參考.

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    附錄:數(shù)感與運(yùn)算能力的課程期望

    年級(jí)數(shù)感與運(yùn)算能力的課程期望 總體期望具體期望 一1、能夠閱讀、表征、比較和排序50以內(nèi)的整數(shù),使用具體的材料調(diào)查、探究分?jǐn)?shù)和貨幣的總和;2、演示、說(shuō)明對(duì)“大數(shù)”的理解,通過(guò)向前數(shù)到100和從20向后數(shù);3、使用各種策略解決涉及一位數(shù)加減法的問(wèn)題.?dāng)?shù)量關(guān)系:1、使用各種工具(互相連接的正方體、數(shù)軸、百數(shù)正方形等等)和情境表征、比較和排序50以內(nèi)的整數(shù);2、使用豐富的情境(故事書和動(dòng)畫)閱讀和打印10以內(nèi)整數(shù)的文字表示形式;3、使用具體的材料演示和說(shuō)明數(shù)量守恒的概念(5個(gè)蘋果表征數(shù)字5,不管它們之間距離的遠(yuǎn)近);4、將數(shù)字與“錨”5和10聯(lián)系起來(lái)(7比5多2,比10少3);5、識(shí)別和描述各種硬幣(一分、五分、十分、二十五分、一元、二元)使用硬幣操作和圖畫,說(shuō)明它們的面值;6、通過(guò)使用硬幣操作的調(diào)查、探究,表征總額20分以內(nèi)的貨幣;7、估計(jì)集合中物體的總數(shù),通過(guò)計(jì)數(shù)檢查;8、使用各種材料,以多種方式對(duì)20以內(nèi)的整數(shù)分解和組合;9、將整個(gè)物體分成部分,識(shí)別和描述大小相等的部分,使用分?jǐn)?shù)的名稱(二分之一、四分之一). 計(jì)數(shù):1、在計(jì)數(shù)時(shí),使用具體材料演示說(shuō)明數(shù)字和物體之間的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系;2、每1個(gè)、2個(gè)、5個(gè)、10個(gè)一組地向前計(jì)數(shù)到100,使用各種工具和策略;3、從20及20以內(nèi)的任何數(shù)字開(kāi)始,以1為間隔向后計(jì)數(shù),使用或者不使用具體的材料和數(shù)軸;4、使用各種工具,從20開(kāi)始,每2個(gè)、5個(gè)一組向后計(jì)數(shù);5、在豐富情境中使用序數(shù)詞31. 運(yùn)算意識(shí):1、解決涉及到20以內(nèi)的整數(shù)加減法的多種問(wèn)題,使用具體的材料和圖畫;2、使用各種心算策略解決涉及到一位數(shù)加減法的問(wèn)題;3、使用硬幣操作和圖畫,加減總額10分以內(nèi)的貨幣. 二1、能夠閱讀、表征、比較和排序100以內(nèi)的整數(shù),使用具體的材料表征分?jǐn)?shù)和總額在100分以內(nèi)的貨幣;2、演示、說(shuō)明對(duì)“大數(shù)”的理解,通過(guò)向前數(shù)到200和從50向后數(shù),以各種數(shù)字作為起點(diǎn);3、解決涉及到一位數(shù)、兩位數(shù)加減法的問(wèn)題,使用各種策略調(diào)查、探究乘法和除法.?dāng)?shù)量關(guān)系:1、使用各種工具表征、比較和排序100以內(nèi)的整數(shù),包含總額在100分以內(nèi)的貨幣;2、使用豐富的情境(故事書和動(dòng)畫)閱讀和打印20以內(nèi)整數(shù)的文字表示形式;3、使用具體的材料、以各種方式分解和組合兩位數(shù);4、對(duì)給定的兩位數(shù),確定(可以使用具體的材料)與其最接近的整十?dāng)?shù)(例如47距離50比距離40更近);5、使用具體的材料探究整體的分?jǐn)?shù)部分的數(shù)量與分?jǐn)?shù)部分大小的關(guān)系(一張紙被平均分為4份,每份面積要大于將這張紙平均分為八份的每份的面積.)5、使用具體的材料將分?jǐn)?shù)重新分組為整數(shù)和分?jǐn)?shù)(將9/4分解為2和1/4);6、不使用標(biāo)準(zhǔn)的分?jǐn)?shù)符號(hào),使用具體的材料比較分?jǐn)?shù)的大?。ㄍㄟ^(guò)折紙闡述3/4大于一半,但是小于整體);7、估計(jì)、計(jì)數(shù)、表征(使用“¢”符號(hào))一堆硬幣的總額,硬幣的最大面值是一元. 計(jì)數(shù):1、使用數(shù)軸和百數(shù)正方形,每1個(gè)、2個(gè)、5個(gè)、10個(gè)、25一組地向前計(jì)數(shù)到200,計(jì)數(shù)的起點(diǎn)是所間隔數(shù)字的整數(shù)倍(以15為起點(diǎn),每5個(gè)一組地計(jì)數(shù));2、使用數(shù)軸和百數(shù)正方形,從50或小于50的任一數(shù)字開(kāi)始,以 1為間隔向后計(jì)數(shù),從100和小于100的任一數(shù)字開(kāi)始,每10個(gè)一組向后計(jì)數(shù);3、對(duì)100以內(nèi)的整數(shù),能在數(shù)軸上確定其位置,或者在部分?jǐn)?shù)軸上確定其位置.(在34為起點(diǎn),41為終點(diǎn)的數(shù)軸上確定37的位置). 運(yùn)算意識(shí):1、使用各種心算策略,解決涉及到18以內(nèi)整數(shù)加減法的問(wèn)題;2、通過(guò)使用整數(shù)加減法,描述數(shù)量之間的關(guān)系;3、通過(guò)使用具體的材料和圖畫探究,表征和解釋乘法作為相同數(shù)量的組的結(jié)合;4、通過(guò)使用具體的材料和圖畫探究,表征和解釋除法作為對(duì)數(shù)量的等分;5、解決涉及兩位數(shù)加減法的問(wèn)題,使用或不使用如下的策略:重新分組,具體的材料,學(xué)生生成的算法,標(biāo)準(zhǔn)的算法;6、使用各種策略和工具,對(duì)總額在100分以內(nèi)的硬幣進(jìn)行加減. 三1、能夠閱讀、表征、比較和排序1?000以內(nèi)的整數(shù),使用具體的材料表征分?jǐn)?shù)和總額在10元以內(nèi)的貨幣;2、演示、說(shuō)明對(duì)“大數(shù)”的理解,通過(guò)以多種數(shù)字為間隔地向前數(shù)和向后數(shù),以各種數(shù)字作為起點(diǎn);3、解決涉及到一位數(shù)、多位數(shù)之間的加減法問(wèn)題,使用各種策略闡述對(duì)乘法和除法的理解.?dāng)?shù)量關(guān)系:1、使用各種工具表征、比較和排序1?000以內(nèi)的整數(shù).2、使用豐富的情境(故事書和動(dòng)畫)閱讀和打印100以內(nèi)整數(shù)的文字表示形式;3、識(shí)別和表征數(shù)中得到一個(gè)數(shù)字的值,根據(jù)其所在的位置(324中的數(shù)字3表征300);4、用各種方式,將三位數(shù)分解和組合為百、十、個(gè);5、將兩位數(shù)四舍五入到與其最接近的整十?dāng)?shù),在來(lái)源于現(xiàn)實(shí)生活情境的問(wèn)題中;6、使用具體的材料表征和解釋數(shù)字1,10,100,1?000之間的關(guān)系;7、將整個(gè)物體或集合中的物體分成相等的部分,使用分?jǐn)?shù)的名稱;不使用標(biāo)準(zhǔn)的標(biāo)準(zhǔn)分?jǐn)?shù)符號(hào)中的數(shù)字;8、表征和描述10元以內(nèi)的硬幣和紙幣之間的關(guān)系(在兩元硬幣中包含八個(gè)二十五分);9、估計(jì)、計(jì)數(shù)和表征(使用“$”的符號(hào))最大面值在10元以內(nèi)的、一堆硬幣和紙幣的面值的和;10、解決來(lái)源于現(xiàn)實(shí)生活情境中的、與1?000以內(nèi)的整數(shù)相關(guān)的問(wèn)題. 計(jì)數(shù):1、從各種起點(diǎn),每1個(gè)、2個(gè)、5個(gè)、10個(gè)、100一組地向前計(jì)數(shù)到1000,每25個(gè)一組計(jì)數(shù)到1?000時(shí),起點(diǎn)為25的整數(shù)倍,使用各種工具和策略;2、從100開(kāi)始,將2、5、10的整數(shù)倍作為計(jì)數(shù)的起點(diǎn),每2個(gè)、5個(gè)、10個(gè)一組地向后數(shù),從1?000或小于1?000的數(shù)字開(kāi)始,每100個(gè)一組地向后數(shù),使用各種工具. 運(yùn)算意識(shí):1、使用各種心算策略,解決涉及到兩位數(shù)加減法的問(wèn)題;2、使用具體的材料、學(xué)生生成的算法、標(biāo)準(zhǔn)的算法進(jìn)行三位數(shù)加減法的運(yùn)算;3、當(dāng)解決涉及到加減法問(wèn)題時(shí),使用估算,幫助判斷解法的合理性;4、對(duì)于十元以內(nèi)的貨幣,使用各種工具加減金額,做出模仿的購(gòu)買和找零;5、將一位數(shù)的乘法、整數(shù)被一位數(shù)除與現(xiàn)實(shí)生活的情境聯(lián)系起來(lái),使用各種策略和工具;6、使用各種心理策略,掌握7×7以內(nèi)的乘法和49?7的除法. 四1、能夠閱讀、表征、比較和排序10?000以內(nèi)的整數(shù)、十分位的小數(shù)、簡(jiǎn)單的分?jǐn)?shù)、總額在100元以內(nèi)的貨幣;2、闡述對(duì)“大數(shù)”的理解,通過(guò)向前數(shù)和向后數(shù),以0.1和分?jǐn)?shù)為單位;3、解決涉及一位整數(shù)和多位整數(shù)的四則運(yùn)算問(wèn)題,涉及到十分位小數(shù)的加減法問(wèn)題,使用各種策略;4、說(shuō)明和演示對(duì)于比例推理的理解,通過(guò)探究整數(shù)的單位比例.?dāng)?shù)量關(guān)系:1、表征、標(biāo)記和排序10?000以內(nèi)的整數(shù),使用各種工具;2、對(duì)于從0.1到10?000的小數(shù)和整數(shù),闡述對(duì)位置值的理解,使用各種工具和策略;3、使用豐富的情境(故事書和動(dòng)畫)閱讀和打印1?000以內(nèi)整數(shù)的文字表示形式;4、將四位數(shù)四舍五入到與其最接近的十位、百位、千位,在來(lái)源于現(xiàn)實(shí)生活情境的問(wèn)題中;5、表征、比較、排序十分位的小數(shù),使用各種工具;6、使用具體的材料、文字和標(biāo)準(zhǔn)的分?jǐn)?shù)符號(hào)表征分?jǐn)?shù),解釋分母與分子的含義;7、對(duì)分子相同或分母相同的分?jǐn)?shù)比較和排序;8、將分?jǐn)?shù)與基準(zhǔn)數(shù)字0、1/2、1比較大?。?、闡述和解釋等值分?jǐn)?shù)之間的關(guān)系,使用具體的材料;9、閱讀和表征100元以內(nèi)的加拿大貨幣;10、解決來(lái)源于現(xiàn)實(shí)生活情境中的、與10?000以內(nèi)的整數(shù)相關(guān)的問(wèn)題. 計(jì)數(shù):1、使用具體的材料和數(shù)軸,以1/2、1/3、1/4、1/10為單位向前數(shù),超過(guò)1;2、使用具體的材料和數(shù)軸,以十分位的任一小數(shù)為起點(diǎn),以1/10為單位向后數(shù). 運(yùn)算意識(shí):1、使用各種心算策略,解決兩位數(shù)的加減法;2、解決涉及四位數(shù)加減法問(wèn)題,使用學(xué)生生成的算法和標(biāo)準(zhǔn)的算法;3、十分位小數(shù)的加減法,使用具體的材料、學(xué)生生成的算法;4、對(duì)于一百元以內(nèi)的貨幣,使用各種工具加減金額,做出模仿的購(gòu)買和找零;5、使用各種心算策略,計(jì)算9×9以內(nèi)的乘法和81?9的除法;6、使用各種心算策略,解決涉及到的一位數(shù)的乘法問(wèn)題;7、使用心算策略,計(jì)算整數(shù)乘以10、100、1?000,整數(shù)被10、100除;8、計(jì)算兩位數(shù)乘以一位數(shù),使用各種工具、學(xué)生生成的算法、標(biāo)準(zhǔn)的算法;9、計(jì)算兩位數(shù)除以一位數(shù);10、當(dāng)解決涉及到整數(shù)的加減乘法運(yùn)算時(shí),使用估算,判斷答案的合理性. 比例關(guān)系:1、描述涉及到的簡(jiǎn)單的整數(shù)乘法關(guān)系;2、通過(guò)探究、確定和解釋分?jǐn)?shù)與十分位小數(shù)之間的關(guān)系,使用各種工具和策略;3、闡述對(duì)涉及到的單位比例的、簡(jiǎn)單乘法關(guān)系的理解,使用具體的材料和圖畫. 五1、能夠閱讀、表征、比較和排序100?000以內(nèi)的整數(shù)、百分位的小數(shù)、真分?jǐn)?shù)、假分?jǐn)?shù)、帶分?jǐn)?shù);2、闡述對(duì)“大數(shù)”的理解,通過(guò)向前數(shù)和向后數(shù),以0.01為單位;3、解決涉及多位整數(shù)的乘法和除法問(wèn)題,百分位小數(shù)的加減法問(wèn)題,使用一系列的策略;4、闡述對(duì)比例推理的理解,通過(guò)探究整數(shù)的比率.?dāng)?shù)量關(guān)系:1、表征、比較和排序從0.01到100?000的小數(shù)和整數(shù);2、對(duì)于從0.01到100?000的小數(shù)和整數(shù),闡述對(duì)位置值的理解,使用各種工具和策略;3、使用豐富的情境(故事書和動(dòng)畫)閱讀和打印10?000以內(nèi)整數(shù)的文字表示形式;4、將小數(shù)四舍五入到十分位,在來(lái)源于現(xiàn)實(shí)生活情境的問(wèn)題中;5、對(duì)于同分母分?jǐn)?shù)表征、比較和排序、使用一系列工具、使用標(biāo)準(zhǔn)的分?jǐn)?shù)符號(hào);6、闡述和解釋等值分?jǐn)?shù)的概念,使用具體的材料;7、闡述和解釋小數(shù)的等價(jià)表示,使用具體的材料和圖畫;8、、閱讀和表征1?000元以內(nèi)的加拿大貨幣;9、解決來(lái)源于現(xiàn)實(shí)生活情境中的、與100?000以內(nèi)的整數(shù)相關(guān)的問(wèn)題. 計(jì)數(shù):以任一小數(shù)為起點(diǎn),以0.01為單位向前數(shù),使用具體的材料和數(shù)軸. 運(yùn)算意識(shí):1、使用心算策略,解決涉及的整數(shù)的加減乘除問(wèn)題;2、百分位小數(shù)的加減法,包含金錢總數(shù),使用具體的材料,估算,和算法;3、兩位數(shù)乘以兩位數(shù),使用估算,學(xué)生生成的算法和標(biāo)準(zhǔn)算法;4、三位數(shù)除以一位數(shù),使用估算,學(xué)生生成的算法和標(biāo)準(zhǔn)算法;5、小數(shù)乘以10、100、1?000,小數(shù)除以10、100,使用心算策略;6、使用估算,當(dāng)解決設(shè)計(jì)整數(shù)的加減乘除運(yùn)算時(shí),幫助判斷答案的合理性. 比例關(guān)系:1、描述數(shù)量之間的乘法關(guān)系,通過(guò)使用簡(jiǎn)單的分?jǐn)?shù)和小數(shù);2、通過(guò)使用具體材料、圖畫、計(jì)算器探究,確定和解釋分?jǐn)?shù)與它的等值小數(shù)形式;3、闡述對(duì)簡(jiǎn)單乘法關(guān)系的理解,涉及到整數(shù)比率,通過(guò)使用具體材料和圖畫進(jìn)行探究. 六1、能夠閱讀、表征、比較和排序1?000?000以內(nèi)的整數(shù)、千分位的小數(shù)、真分?jǐn)?shù)、假分?jǐn)?shù)、帶分?jǐn)?shù);2、解決涉及整數(shù)乘除法的問(wèn)題,千分位小數(shù)的加減法問(wèn)題,使用一系列的策略;3、闡述對(duì)百分比,比和單位比率關(guān)系的理解.?dāng)?shù)量關(guān)系:1、表征、比較和排序從0.001到1?000?000的小數(shù)和整數(shù);2、對(duì)于從0.001到1?000?000的小數(shù)和整數(shù),闡述對(duì)位置值的理解,使用各種工具和策略;3、使用豐富的情境(故事書和動(dòng)畫)閱讀和打印100000以內(nèi)整數(shù)的文字表示形式;4、對(duì)于分母不同的分?jǐn)?shù)(包含真分?jǐn)?shù)假分?jǐn)?shù)和帶分?jǐn)?shù))能夠表征、比較和排序,使用一系列的策略,使用標(biāo)準(zhǔn)的分?jǐn)?shù)符號(hào);5、以10%,25%,50%,75%,100%為基準(zhǔn)數(shù)字,估計(jì)數(shù)量的大?。?、解決來(lái)源于現(xiàn)實(shí)生活情境中的、與1?000?000以內(nèi)的整數(shù)相關(guān)的問(wèn)題;7、確定合數(shù)和質(zhì)數(shù),解釋他們之間的關(guān)系. 運(yùn)算意識(shí):1、使用各種心算策略解決整數(shù)的加減乘除問(wèn)題;2、解決涉及四位數(shù)與兩位數(shù)之間的乘除法,使用一系列的工具和策略;3、解決千分位小數(shù)的加減法,使用具體的材料、估算、算法和計(jì)算器;4、整數(shù)與十分位小數(shù)間的乘除法,使用具體的材料、估算、算法和計(jì)算器;5、整數(shù)乘以0.1、0.01、0.01,使用心算策略;6、小數(shù)乘以或除以10,100,1?000和10?000,使用心算策略;7、當(dāng)解決涉及整數(shù)、小數(shù)的加減法問(wèn)題時(shí),使用估算,幫助判斷答案的合理性;8、解釋實(shí)施運(yùn)算標(biāo)準(zhǔn)順序的需要,探究進(jìn)行一系列運(yùn)算時(shí),改變順序?qū)Y(jié)果的影響. 比例關(guān)系:1、表征現(xiàn)實(shí)生活中發(fā)現(xiàn)的比,使用具體的材料,圖畫和標(biāo)準(zhǔn)的分?jǐn)?shù)符號(hào);2、通過(guò)使用具體的材料、圖畫、計(jì)算器去探究,確定和解釋分?jǐn)?shù)、小數(shù)和百分?jǐn)?shù)之間的關(guān)系;3、通過(guò)使用單位價(jià)格表征關(guān)系.

    Review on Number Sense and Numeration in Canada Primary Mathematics Curriculum Standards——Taking Province of Ontario as an Example

    ZHANG Wen-yu1, SONG Jun2

    (1. College of Education and Physical Education, Bohai University, Liaoning Jinzhou 121013, China; 2. Crane Township Primary School, Liaoning Panjin 124000, China)

    . In 2005, Ontario ministry of education publishedNumber sense and numeration are viewed as the foundation of other Strands. First, the big ideas of Number sense and numeration are introduced; then analyzes characteristics. These features Provide some references for research on curriculum and construction in primary mathematics

    number sense and numeration; quantity relationships; counting; operational sense; proportional relationships

    [責(zé)任編校:周學(xué)智]

    G40-059.3

    A

    1004–9894(2016)03–0038–06

    2016–02–10

    遼寧省教育科學(xué)“十二五”規(guī)劃項(xiàng)目——基于CBAM模式的初中數(shù)學(xué)課程改革實(shí)施研究(JG14CB010);遼寧省社會(huì)科學(xué)規(guī)劃基金項(xiàng)目——遼寧省少數(shù)民族基礎(chǔ)教育現(xiàn)狀調(diào)查與對(duì)策研究(L12DMZ012);遼寧省教育廳一般項(xiàng)目——基礎(chǔ)教育課程改革背景下的小學(xué)數(shù)學(xué)教材國(guó)際比較研究(W2013161)

    張文宇(1980—),男,遼寧朝陽(yáng)人,副教授,教育學(xué)博士,主要從事數(shù)學(xué)課程與教學(xué)論研究.

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