多項式的問題特征對合并同類項遷移的影響

張令偉，連四清，王 晨

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多項式的問題特征對合并同類項遷移的影響

張令偉1，連四清1，王 晨2

（1．首都師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，北京 100048；2．北京市第八中學(xué)，北京 100032）

多項式的合并同類項測試結(jié)果表明：正負(fù)號個數(shù)與字母個數(shù)對合并同類項的遷移成績都有極其顯著的影響，同類項間距離影響不顯著；正負(fù)號個數(shù)與字母個數(shù)對合并同類項的交互效應(yīng)極其顯著．對能否完成合并同類項遷移的分析結(jié)果表明：正負(fù)號個數(shù)的變化與字母個數(shù)的多少對是否能在合并同類項中進(jìn)行遷移有影響，而同類項間距離影響較?。?/p>

遷移；工作記憶；認(rèn)知負(fù)荷

1 問題提出

通過比較源問題獲得靶問題解決方法或途徑，是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識和方法的基本心理機(jī)制，甚至被認(rèn)為是解決新問題的唯一方法[1]．已有研究對源問題和靶問題的表面內(nèi)容的相似程度（如，對源問題和靶問題有不同事件情節(jié)、不同事件類型和不同對象對應(yīng)[2~4]的相似）對原理（源問題和靶問題在原理相同情況與原理不同情況[5]下的相似）的理解、領(lǐng)悟和運(yùn)用做了較為深入的實驗研究．然而大部分研究主要關(guān)注樣例（即源問題與靶問題）的相似程度對遷移的影響，而且研究采用的測試材料主要是概率計算和代數(shù)應(yīng)用題．采用的概率計算和代數(shù)應(yīng)用題的表征形式多數(shù)是文字信息．

數(shù)學(xué)信息有文字、符號和圖形3種表征形式，不同的數(shù)學(xué)問題在表征形式上具有較為明顯的差異．如，多數(shù)情況下，概率計算、代數(shù)應(yīng)用題為文字表征，文字信息在抽取數(shù)學(xué)關(guān)系時易受到無關(guān)信息的干擾，因而對其問題信息的認(rèn)知具有較大認(rèn)知負(fù)荷，從而影響源問題解決途徑或方法的遷移．

自從提出樣例設(shè)計要堅持減輕學(xué)生的工作記憶負(fù)擔(dān)或認(rèn)知負(fù)荷，研究者就逐漸開始關(guān)注單個樣例設(shè)計中文字、符號、圖形等多種信息源設(shè)計的合理性．在樣例學(xué)習(xí)過程中，如果多重信息源的教學(xué)材料設(shè)計的不合理，將會分散學(xué)生的注意力從而增加認(rèn)知負(fù)荷，產(chǎn)生“分散注意效應(yīng)”，影響學(xué)生通過樣例獲得表征該領(lǐng)域知識的基本概念和圖式[6]．其中，文本和圖解的信息整合是一種視覺因素的整合，整合材料的視聽表征可能提高問題解決的成績和促進(jìn)問題解決的遷移．Sweller[7]通過一系列實驗說明了這一假設(shè)．結(jié)果發(fā)現(xiàn)：視聽信息的整合促進(jìn)了問題解決遷移的成績[8]．通過Sweller的一系列實驗表明圖形和符號表征的信息對遷移有影響．

從已有的研究可以看出，在數(shù)學(xué)學(xué)科知識領(lǐng)域中，樣例學(xué)習(xí)和呈現(xiàn)方式的研究涉及的知識主要是概率計算、相等關(guān)系理解和代數(shù)應(yīng)用題．這些知識多以文字信息形式呈現(xiàn)，而對于多重信息源的數(shù)學(xué)知識對遷移的影響研究還比較少．?dāng)?shù)學(xué)學(xué)科領(lǐng)域的多重信息源呈現(xiàn)形式的知識對遷移影響與Sweller的實驗結(jié)果是否一致，研究較少．代數(shù)中的多項式的知識呈現(xiàn)包含了文字、圖形和符號等多種信息形式．為了研究多重信息源呈現(xiàn)形式的數(shù)學(xué)學(xué)科知識對遷移的影響，研究者以初中代數(shù)的多項式為實驗材料，擬通過研究，探索多項式的問題特征對合并同類項的遷移的影響，從而為教師在多項式合并同類項教學(xué)中，選擇樣例呈現(xiàn)方式提供實驗依據(jù)．

2 研究過程

選擇北京市某中學(xué)的初一兩個班的學(xué)生作為被試，兩個班均為普通班，共61名學(xué)生．被試在實驗前均沒有學(xué)習(xí)過多項式合并同類項知識．

采用“4×2×2”三因素被試內(nèi)設(shè)計．這里4表示負(fù)號個數(shù)，賦值為0、1、2、3；第一個2表示同類項間距離，賦值為0、1；第二個2表示字母個數(shù)，即每個單項式中含兩個字母與含3個字母．負(fù)號個數(shù)、同類項間距離和字母個數(shù)均為被試內(nèi)變量．研究變量為遷移成績．

實驗材料包括學(xué)習(xí)材料和測試材料．學(xué)習(xí)材料由3道合并同類項的例題和合并同類項法則組成．學(xué)習(xí)材料中的例題和法則由任課教師講授．測試材料由16道測試題組成，按多項式中負(fù)號個數(shù)分別為0、1、2、3個，同類項間距離為距離等于0或1，字母個數(shù)為每個單項式中含2個字母與含3個字母編寫測試題，每一類有一道測試題．在測試材料試卷上沒有給出所學(xué)合并同類項的法則．為了消除題目的順序影響，測試材料采用拉丁方設(shè)計，共16套測試問卷．

首先讓任課教師講解合并同類項例題和法則，被試在教師指導(dǎo)下學(xué)習(xí)十分鐘學(xué)習(xí)材料，接著給被試發(fā)放測試材料，然后讀指導(dǎo)語：“根據(jù)剛才學(xué)習(xí)的3道例題和法則，解答測試卷上的16道練習(xí)題，練習(xí)題完成的時間是15分鐘．”15分鐘后統(tǒng)一收回測試卷．

按滿分6分的評分標(biāo)準(zhǔn)對被試答卷進(jìn)行評分，答案完全不正確即不能遷移記0分；能找到同類項的記2分，能把同類項前面系數(shù)提出的記4分，能正確算出結(jié)果的記6分．

3 研究結(jié)果

對合并同類項問題解決遷移成績進(jìn)行描述性統(tǒng)計，結(jié)果如表1所示．從表1可以看出：與同類項間距離相比較而言，正負(fù)號個數(shù)和字母個數(shù)對合并同類項問題解決遷移成績有一定的影響．對于字母個數(shù)為兩個，在同類項間距為0與1情況下，正負(fù)號個數(shù)的4個水平的遷移成績平均分從高到低依次是：水平1>水平3>水平2>水平4；對于字母個數(shù)為3個，在同類項間距為0與1的情況下，正負(fù)號個數(shù)的4個水平的遷移成績平均分從高到低依次是：水平1>水平3>水平4>水平2．對合并同類項問題解決遷移成績進(jìn)行4×2×2重復(fù)測量方差分析，結(jié)果如表2所示．

表1 初中一年級合并同類項遷移成績表

注：表中1、2、3、4分別表示正負(fù)號的水平1、水平2、水平3、水平4，也就是對應(yīng)多項式中分別含有負(fù)號個數(shù)為0、1、2、3；1、2分別表示同類項間距為0、1；1、2分別表示多項式中每個單項式含有字母個數(shù)為2、3

表2 初中一年級合并同類項遷移成績方差統(tǒng)計表

表2數(shù)據(jù)表明：正負(fù)號個數(shù)的主效應(yīng)極其顯著（=207.566，=0.000），這說明正負(fù)號個數(shù)因素對遷移成績影響極其顯著；正負(fù)號個數(shù)的4個水平的遷移成績平均分從高到低依次是：水平1（5.520?5）>水平3（4.582?0）>水平2（2.147?5）>水平4（2.114?8）；水平2與水平4對遷移成績影響沒有顯著差異（=0.052，=0.821）．同類項間距離的主效應(yīng)不顯著（=1.267，=0.265>0.05），這說明同類項間距離因素對遷移成績影響不顯著．字母個數(shù)的主效應(yīng)極其顯著（=20.747，=0.000），這說明字母個數(shù)因素對遷移成績影響極其顯著．正負(fù)號個數(shù)×同類項間距離交互效應(yīng)不顯著（=0.013，=0.911>0.05），這說明正負(fù)號個數(shù)主效應(yīng)不存在同類項間距離差異．正負(fù)號個數(shù)×字母個數(shù)交互效應(yīng)極其顯著（=54.055，=0.000），這說明正負(fù)號個數(shù)主效應(yīng)存在字母個數(shù)差異．同類項間距離×字母個數(shù)交互效應(yīng)不顯著（=0.010，=0.919>0.05），這說明同類項間距離主效應(yīng)不存在字母個數(shù)上的差異．正負(fù)號個數(shù)×同類項間距離×字母個數(shù)三因素交互作用不顯著（=0.295，=0.589>0.05），這說明正負(fù)號個數(shù)×同類項間距離交互效應(yīng)不存在字母個數(shù)差異．

進(jìn)一步對正負(fù)號個數(shù)因素在字母個數(shù)的兩個水平上做簡單效應(yīng)檢驗，結(jié)果顯示：在字母個數(shù)為2水平上=301.014，=0.000<0.05；在字母個數(shù)為3水平上=38.718，=0.000<0.05．這說明對于字母個數(shù)為2與字母個數(shù)為3來說，正負(fù)號個數(shù)因素對合并同類項問題解決的遷移成績都有極其顯著的影響．字母個數(shù)為2與字母個數(shù)為3相比較而言，正負(fù)號個數(shù)因素對遷移成績的影響不一致；在字母個數(shù)為2的水平上，正負(fù)號個數(shù)的4個水平的遷移成績平均分從高到低依次是：水平1（5.697?0）>水平3（4.926?9）>水平2（1.2259）>水平4（0.819?7），在字母個數(shù)為3的水平上，正負(fù)號個數(shù)的4個水平的遷移成績平均分從高到低依次是：水平1（5.344?3）>水平3（4.237?7）>水平4（3.409?8）>水平2（3.065?6）．正負(fù)號個數(shù)×字母個數(shù)交互作用如圖1所示．

注：在圖1中C1表示多項式中每個單項式含有字母個數(shù)為2，C2表示多項式中每個單項式含有字母個數(shù)為3

4 分析與討論

實驗的基本設(shè)想是：正負(fù)號個數(shù)對合并同類項遷移成績有影響，正負(fù)號的個數(shù)不同對遷移成績的影響不同；同類項間距離對合并同類項遷移成績有影響，不同的同類項間距離對遷移成績有不同影響；字母個數(shù)對合并同類項遷移成績也有影響，且不同的字母個數(shù)對遷移成績也會有不同的影響．

4.1 正負(fù)號個數(shù)對合并同類項遷移的影響

結(jié)果表明正負(fù)號個數(shù)的主效應(yīng)極其顯著，這說明正負(fù)號個數(shù)因素對合并同類項遷移成績影響極其顯著．這一結(jié)果與預(yù)期基本一致．結(jié)果說明，不同的正負(fù)號個數(shù)影響合并同類項的問題解決．其原因一方面可能是：學(xué)生先前的負(fù)數(shù)概念和正負(fù)數(shù)的加減運(yùn)算法則不熟悉，導(dǎo)致合并同類項的步驟和結(jié)果錯誤，這是由于負(fù)數(shù)參與的運(yùn)算（減法）要比正數(shù)的加法運(yùn)算復(fù)雜的多，相對于減法運(yùn)算來說，個體在計算加法運(yùn)算時更傾向于使用提取策略[8]，而負(fù)數(shù)的負(fù)號具有符號和減法運(yùn)算兩個作用；另一方面可能是：在每個多項式中含有的4個單項式的系數(shù)正負(fù)情況中，除第一項系數(shù)均是正數(shù)外，其余三項系數(shù)的正負(fù)情況復(fù)雜（+++、++-、+-+、+--、-++、-+-、--+、---），在學(xué)生判斷哪些單項式為同類項過程中，正負(fù)號個數(shù)干擾了這種判斷．正負(fù)號個數(shù)的4個水平的遷移成績平均分從高到低依次是：水平1>水平3>水平2>水平4；水平2與水平4對合并同類項的遷移成績影響沒有顯著差異．這與長度效應(yīng)理論基本一致，長度效應(yīng)理論認(rèn)為問題解決的信息越多，問題解決的長度越長，越容易引起錯誤[9]．在正負(fù)號個數(shù)的4個水平下的16道測題中，4個單項式系數(shù)分別為四正、三正一負(fù)、兩正兩負(fù)、一正三負(fù)，4個正數(shù)合并同類項沒有給學(xué)生增加正負(fù)符號的認(rèn)知負(fù)荷，因此4個正數(shù)合并同類項遷移成績最好；相對于系數(shù)為4個正數(shù)而言，系數(shù)為兩正兩負(fù)的多項式增加了學(xué)生的工作記憶負(fù)荷，因此遷移成績低于系數(shù)為4個正數(shù)的遷移成績；而系數(shù)為三正一負(fù)和一正三負(fù)的問題長度幾乎一樣，都比系數(shù)為兩正兩負(fù)的問題的長度長，導(dǎo)致學(xué)生在判斷哪些項是同類項以及合并同類項過程中，工作記憶負(fù)荷增加，因此遷移成績最低．

4.2 同類項間距離對合并同類項遷移的影響

與預(yù)期有些不同的是，對于先前沒有學(xué)習(xí)合并同類型的學(xué)生來說，同類項間距離的主效應(yīng)不顯著，也就是說同類項間距離因素對遷移成績影響不顯著．這說明同類項相鄰或者有間距對判斷哪些單項式是同類項以及合并同類項都沒有顯著影響．這與Sweller的注意分散效應(yīng)和Mayer的空間臨近效應(yīng)不太一致．注意分散效應(yīng)認(rèn)為學(xué)習(xí)者在學(xué)習(xí)過程中必須參照多元表征的信息并加以整合才能理解，所以多元表征的信息最好在空間上臨近，否則分散學(xué)生的注意而浪費(fèi)整合信息需要的認(rèn)知資源，從而無形中增加學(xué)生的外在負(fù)荷；空間臨近效應(yīng)是指意義相近的言語和圖象在空間上臨近呈現(xiàn)要比分離呈現(xiàn)效果好．與預(yù)期結(jié)果不一樣的原因可能是：在測試題的3個變量中，相對于正負(fù)號個數(shù)和字母個數(shù)而言，同類項間的距離變量只有相鄰和距離為1兩種水平，變量水平的變化的判斷需要的工作記憶負(fù)荷較少，產(chǎn)生的錯誤也相對較少．

4.3 字母個數(shù)對合并同類項遷移的影響

正如假設(shè)的那樣，對于沒有經(jīng)驗的被試來說，字母個數(shù)的主效應(yīng)極其顯著，也就是說字母個數(shù)因素對遷移成績影響極其顯著．這說明字母個數(shù)因素對判斷哪些單項式是同類項以及合并同類項問題解決步驟和過程有影響．這與Sweller的實驗結(jié)果基本一致．這是因為字母是一種代數(shù)符號，代數(shù)符號具有因素特性，它的儲存和保持需要依賴語音環(huán)記憶；而且代數(shù)符號具有更多的視覺空間特性[10~12]，更多的依賴視空間記憶[13]．這就是說每個單項式都承載著視聽信息，單項式中字母越多，單項式承載的信息量越大；在判斷哪些項是同類項時，需要的視聽認(rèn)知資源也越多；而且代數(shù)符號的代數(shù)運(yùn)算需要利用更多的工作記憶資源[14]．

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Effect of the Problem Characteristics of Polynomial on the Transfer of Combining Similar Items

ZHANG Ling-wei1, LIAN Si-qing1,WANG Chen2

(1. Mathematics Science Institute of Capital Normal University, Beijing 100037, China;2. Beijing No.8 High School, Beijing 100032, China)

Experimental results show that: the main effect of the number of positive and negative is extremely significant; the main effect of the number of letters is extremely significant; the main effect of the distance of similar items is not significant. In addition, the interaction between the number of positive and negative sign x number of letters is extremely significant.

transfer; working memory; cognitive load

[責(zé)任編校：陳雋]

G420

A

1004–9894（2016）03–0093–03

2016–01–06

張令偉（1976—），女，河北邢臺人，博士生，中學(xué)一級教師，主要從事數(shù)學(xué)教育與心理測量研究．