Banach格上Dunford-pettis算子的AM緊性研究

西藏大學(xué)理學(xué)院 孫文濤

Banach格上Dunford-pettis算子的AM緊性研究

西藏大學(xué)理學(xué)院 孫文濤

在Banach格上研究Dunford-pettis算子的AM緊性，對(duì)Dunford-pettis算子為AM緊性的一些條件進(jìn)行探究，在現(xiàn)有的基礎(chǔ)上已經(jīng)得到了一些不錯(cuò)的成果。

Banach格；Dunford-Pettis算子；AM-緊性

一、引言

設(shè)定E與F屬于Banach格，T：E→F屬于有界線性算子，如果T把E當(dāng)中的弱收斂于零集映為F中的相對(duì)緊集，那么T叫做Dunford-Pettis算子；如果T將E中序區(qū)間映為F中的相對(duì)緊集，那么T屬于AM-緊算子；有關(guān)Dunford-Pettis算子和 AM-緊算子的性質(zhì)和與其他特殊算子的聯(lián)系，已經(jīng)有了很深的探究。本文主要討論了Banach格上Dunford-pettis算子的AM緊性研究。

二、Dunford-pettis算子的AM緊性

引理1.1 設(shè)定E屬于Archimedean Riesz空間而且。V在E中序稠只有當(dāng)對(duì)于隨意u∈E＋，存在。當(dāng)A輸運(yùn)E的理想時(shí)，A在E中稠只有當(dāng)E屬于A生成的帶。

引理1.2 設(shè)定E，F(xiàn)屬于Riesz空間并且F屬于Dedekind完備。D屬于Lb(e，f)的非空向上指標(biāo)集。那么supD存在只有當(dāng)隨意集合有上界，那么成立：。

通過定理1.3 得知

得證。

下列屬于AM-空間，它的閉單位球是[-|x|，|x|]。

以下是Dunford-Pettis算子屬于AM-緊算子的幾個(gè)充分條件。

定 理1.5 設(shè) 定E、F屬 于Banach格，T：E→F屬 于Dunford-Pettis算子，那么以下條件之一成立時(shí)T屬于AM-緊算子：（1）E擁有序連續(xù)范數(shù)；（2）對(duì)于隨意，Ex離散；（3）E'離散；（4）F屬于有限維空間。

證明：（1）E擁有序連續(xù)范數(shù)，那么E中任意區(qū)間都屬于弱緊的，T是Dunford-Pettis算子，把任意有界集映為相對(duì)范數(shù)緊集，所以T屬于AM-緊算子。

（2）T屬于AM-緊算子只有當(dāng)任意是緊算子。以下證明對(duì)于每個(gè)屬于緊算子。事實(shí)上，對(duì)于屬于AL空間，因此Ex擁有序連續(xù)范數(shù)。但是Ex離散，因此可得屬于緊算子。

（4）由于T屬于緊算子，所以屬于AM-緊算子。

P.G.Dodds、D.H.Fremlin和J.Bourgain證明AL空間上的Dunford-Pettis算子構(gòu)成一個(gè)帶。Aliprantis和Burkinshaw做出以下推廣：

定理1.6E屬于Banach格并且有序連續(xù)范數(shù)，F(xiàn)屬于AL空間，T： E →F屬于正則算子，那么：

（1）T屬于Dunford-Pettis算子只有當(dāng)T屬于AM-緊算子；

（2）Lb(E，F(xiàn))中的Dunford-Pettis算子全體構(gòu)成帶。

以下為該定理成立的另一個(gè)條件：

定理1.7 設(shè)定E'屬于離散的Banach格，F(xiàn)屬于AL-空間。T：E→F為正則算子。那么

（1）T屬于Dunford-Pettis算子只有當(dāng)T屬于AM-緊算子；

（2）Lb(E，F(xiàn))中的Dunford-Pettis算子全體構(gòu)成帶。

證明：（1）必要性：根據(jù)定理1.6可得：

重復(fù)性：設(shè)定T把E中的序區(qū)間映成F中的范緊集，當(dāng)E中弱收斂于零的序列{xn}，那么在弱拓樸σ（F，）下|Txn|→0。設(shè)定屬于的單位元，那么，所以T屬于Dunford-Pettis算子。

如果Banach格E中每個(gè)序列（xn)在弱拓樸σ（E，）下收斂于零可得序列（|xn|）在弱拓樸σ（E，）下收斂于零，那么叫做E中格運(yùn)算弱序列連續(xù)。

定理1.8 設(shè)定E屬于擁有單位元的AM-空間而且不離散，F(xiàn)不具有序連續(xù)范數(shù)，那么有非AM-緊的Dunford-Pettis算子S：E→F。

證明：只要證明S屬于Dunford-Pettis算子。事實(shí)上，通過E是AM-空間，因此有弱序列連續(xù)的格運(yùn)算。由于0≤S≤T且T屬于Dunford-Pettis算子，因此S屬于Dunford-Pettis算子，得證。

定理1.9 設(shè)定E屬于Banach格且格運(yùn)算弱序列連續(xù)，那么以下條件等價(jià)：

（1）對(duì)于每個(gè)Dedekind完備空間F，每個(gè)Dunford-Pettis算子T：E→F都是AM-緊算子；

（3）E'離散。

證明：“（1）→（2）”顯然：

“（3）→（1）”由定理1.4可得。

三、總結(jié)

本文主要討論了Banach格上Dunford-pettis算子的AM緊性研究，得到了一些有趣的結(jié)論，其中幾個(gè)主要結(jié)果如下：

定理1.4：E屬于Banach格而且E'離散。對(duì)于每個(gè)及，那么一定成立。

定理1.5 設(shè)定E、F屬于Banach格，T：E→F屬于Dunford-Pettis算子，那么以下條件之一成立時(shí)T屬于AM-緊算子：

（1）E擁有序連續(xù)范數(shù)；（2）對(duì)于隨意，Ex' 離散；（3）E'離散；（4）F屬于有限維空間；

定理1.6E屬于Banach格并且有序連續(xù)范數(shù)，F(xiàn)屬于AL空間，T：E→F屬于正則算子，那么：

（1）T屬于Dunford-Pettis算子只有當(dāng)T屬于AM-緊算子；

（2）Lb(E，F(xiàn))中的Dunford-Pettis算子全體構(gòu)成帶。

定理1.7 設(shè)定E '屬于離散的Banach格，F(xiàn)屬于AL-空間。T：E→F為正則算子。那么

（1）T屬于Dunford-Pettis算子只有當(dāng)T屬于AM-緊算子；

（2）Lb(E，F(xiàn))中的Dunford-Pettis算子全體構(gòu)成帶。

[1]韓霖，陳滋利，陳金喜. Banach格上O-Dunford-Pettis算子的共軛性質(zhì)[J]. 西南民族大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)，2014（01）：83-86.

【論文受助項(xiàng)目：項(xiàng)目類型：西藏自治區(qū)自然基金項(xiàng)目；項(xiàng)目名稱：序Dunford—Pettis算子的性質(zhì)研究；項(xiàng)目編號(hào)：2015ZR-13-2】