高三數(shù)學(xué)教學(xué)需要“接地氣”──《基本不等式》教學(xué)案例

江蘇省南京市六合區(qū)程橋高級中學(xué) 鐘國林

高三數(shù)學(xué)教學(xué)需要“接地氣”──《基本不等式》教學(xué)案例

江蘇省南京市六合區(qū)程橋高級中學(xué) 鐘國林

新課程標(biāo)準(zhǔn)下，南京市?？冀o了眾多高三同仁非常有效的啟示，高三基本不等式的教學(xué)必須“接地氣”，只有明白學(xué)生學(xué)習(xí)的困惑，依據(jù)學(xué)生的實(shí)際掌握情況設(shè)置課堂教學(xué)內(nèi)容，方可達(dá)到“授業(yè)解惑”的效果。教師要從一個(gè)知識的傳授者轉(zhuǎn)變?yōu)閷W(xué)生發(fā)展的促進(jìn)者，要從教室空間支配者的權(quán)威地位向數(shù)學(xué)活動的組織者、引導(dǎo)者和合作者的角色轉(zhuǎn)變。

新課程；接地氣；數(shù)學(xué)教學(xué)

【教學(xué)過程】（課堂實(shí)錄）

【創(chuàng)設(shè)問題，情境引入】

【教師活動】把一個(gè)物體放在天平的一個(gè)盤子上，在另一個(gè)盤子上放砝碼使天平平衡，稱得物體的重量為a,由于天平制造得不精確，天平的二臂長略不同（其他因素不計(jì)），那么a并非實(shí)際質(zhì)量。不過，我們可作第二次測量，把物體調(diào)換到天平的另一個(gè)盤子上，此時(shí)稱得物體的質(zhì)量為b。那么物體的實(shí)際質(zhì)量是多少呢？

【學(xué)生活動】（合作交流、思考）

1.讓學(xué)生猜測結(jié)論，學(xué)生會提出如下猜測：物體的實(shí)際質(zhì)量應(yīng)為。

2.讓學(xué)生分組討論：上述猜測正確嗎？

讓一個(gè)小組代表介紹討論結(jié)果，教師點(diǎn)評，并提出新的問題。實(shí)際結(jié)果應(yīng)為。

生：證明：設(shè)天平的兩臂長分別為L1,L2,物體實(shí)際質(zhì)量為G，根據(jù)力學(xué)原理有：

L1G=L2a①

L2G=L1b②

①,②兩式相乘再除以L1L2，可以得到。

3.對于非負(fù)數(shù)a,b，稱為a,b的算數(shù)平均數(shù)，為a,b的幾何平均數(shù)。

4.問題：兩個(gè)非負(fù)數(shù)a,b的算數(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)之間具有怎樣的大小關(guān)系呢？

【建構(gòu)教學(xué)】

2.呈現(xiàn)課題：基本不等式的證明。

引導(dǎo)學(xué)生分析、思考，給出基本不等式的證明，點(diǎn)評有關(guān)問題。

【教師點(diǎn)評】（贊許、露出愉悅表情）

（1）由證明過程可發(fā)現(xiàn)，當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)，兩個(gè)均值相等，并解釋“當(dāng)且僅當(dāng)”的兩方面的含義。

（2）強(qiáng)調(diào)結(jié)論成立的條件:“a,b都是非負(fù)數(shù)”，并舉反例加以說明。

（3）證法一是比較法，證法二是分析法，它們都是證明不等式的基本方法。

3.通過嚴(yán)格證明，得到下列結(jié)論：

【教師總結(jié)】定理：如果a,b是正數(shù)，那么（當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取“=”）。

讓學(xué)生根據(jù)教材中圖3-4-1，嘗試給出上述基本不等式的幾何解釋，并思考這個(gè)不等式的其他證明方法。

【教師點(diǎn)評】

（1）這個(gè)不等式的基本幾何解釋為“半弦≤半徑”。

（2）這個(gè)基本不等式可否推廣到“n個(gè)（n＞1，n∈N）非負(fù)數(shù)”的情形？有興趣的同學(xué)可以做進(jìn)一步的研究，也可查閱有關(guān)資料。

【數(shù)學(xué)運(yùn)用】

1.例題。

例1： 已知a,b為正數(shù)，求證下列不等式：（1）；（2）。

分析：可直接應(yīng)用定理進(jìn)行證明，要注意應(yīng)用定理的條件。

所以原不等式成立。

（2）因?yàn)閍為正數(shù)，所以也為正數(shù)，由基本不等式，得，所以原不等式成立。

【教師點(diǎn)評】

（2）在使用基本不等式時(shí)應(yīng)注意其成立的條件，因此在上述證明中，應(yīng)先說明具備成立條件，然后才能使用基本不等式。

解：因?yàn)閤＞ -2,所以x+2＞0,由基本不等式，得，

因此，當(dāng)x=2時(shí)，函數(shù)有最小值6。

【教師點(diǎn)評】

（1）在使用基本不等式求函數(shù)最值時(shí)，常需要將函數(shù)式進(jìn)行變形，以創(chuàng)造條件使用基本不等式。

（2）在利用基本不等式求函數(shù)最值時(shí)，應(yīng)注意“一正數(shù)、二定值、三相等”，即必須兩個(gè)量都是正數(shù)（也可是負(fù)數(shù)），才能直接使用基本不等式；要把函數(shù)式放縮到常數(shù)；等號要能取到。

【課后反思】

1.“接地氣”，需要講究課堂表現(xiàn)形式

高三數(shù)學(xué)教學(xué)最易出現(xiàn)重結(jié)果輕過程的現(xiàn)象,形成結(jié)果的生動過程往往被單調(diào)機(jī)械的條文所取代,所以數(shù)學(xué)教學(xué)中表現(xiàn)出太多的機(jī)械、沉悶和程式化,缺乏生機(jī)、樂趣和對好奇心的刺激。于是,學(xué)習(xí)可無需智慧，只要認(rèn)真聽講和單純記憶,讀書可不必深入思考,做題可不必詰問創(chuàng)新,排斥了學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中的思考和個(gè)性。本案例運(yùn)用基本不等式來解決問題，并從中尋找規(guī)律,進(jìn)而滲透數(shù)形結(jié)合和等價(jià)化歸等數(shù)學(xué)思想，關(guān)注推理能力的培養(yǎng)，有助于發(fā)展學(xué)生的創(chuàng)新精神。

2.“接地氣”，絕不是反對預(yù)設(shè)教學(xué)目標(biāo)

高三數(shù)學(xué)課不同其他學(xué)科，在教授之前，老師需要做大量的準(zhǔn)備，這叫“備課”，教學(xué)目標(biāo)的設(shè)置是教師“備課”的主要依據(jù)，一堂高三數(shù)學(xué)課，就更需要教師在課前精心準(zhǔn)備。所以，“接地氣”絕不是反對預(yù)設(shè)教學(xué)目標(biāo)，反而是為促進(jìn)教學(xué)目標(biāo)的有效達(dá)成加了“催化劑”，讓學(xué)生從老師機(jī)械呈現(xiàn)教學(xué)目標(biāo)的枯燥和無趣中嘗到自我“發(fā)現(xiàn)”的甜頭，從而激發(fā)學(xué)生主動和積極參與課堂學(xué)習(xí)活動的興趣，提高了聽課和學(xué)習(xí)效率。

3.“接地氣”，就是引導(dǎo)學(xué)生自我建構(gòu)知識

高三數(shù)學(xué)教學(xué)過程是教師引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)活動的過程。首先,數(shù)學(xué)活動就是學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)化過程的活動,數(shù)學(xué)活動就是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué),探索、掌握和應(yīng)用數(shù)學(xué)知識的活動.簡單地說,在數(shù)學(xué)活動中要有數(shù)學(xué)思考的含量,數(shù)學(xué)活動不是一般的活動,而是讓學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)化過程的活動,數(shù)學(xué)化是指學(xué)習(xí)者從自己的數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)出發(fā),經(jīng)過自己的思考,得出有關(guān)數(shù)學(xué)結(jié)論的過程。每位數(shù)學(xué)教師都必須深刻認(rèn)識到,是學(xué)生在學(xué)數(shù)學(xué),學(xué)生應(yīng)當(dāng)成為主動探索知識的“建構(gòu)者”,決不是模仿者，無論教師的教還是學(xué)生的學(xué)都要在學(xué)生那里體現(xiàn),不懂得學(xué)生能建構(gòu)自己的數(shù)學(xué)知識結(jié)構(gòu),不考慮學(xué)生作為主體的教,不會有好的效果。

[1]施剛良，周筆崇.“小題”也可以“大做”[J].中學(xué)數(shù)學(xué)，2013（9）.

[2]季近仁.高中生數(shù)學(xué)反思性學(xué)習(xí)的調(diào)查研究[D].蘇州大學(xué)，2011.

[3]單墫.普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書[M].江蘇教育出版社，2012（3.4）.