基于MEMsFEM的功能梯度壓電板力電耦合分析*

孟廣偉 李霄琳 周立明? 李鋒 王暉

(1.吉林大學 機械科學與工程學院, 吉林 長春 130022； 2.吉林大學 建設(shè)工程學院, 吉林 長春 130026)

基于MEMsFEM的功能梯度壓電板力電耦合分析*

孟廣偉1李霄琳2周立明1?李鋒1王暉1

(1.吉林大學 機械科學與工程學院, 吉林 長春 130022； 2.吉林大學 建設(shè)工程學院, 吉林 長春 130026)

功能梯度壓電材料(FGPM)是一類材料特性連續(xù)變化的力電耦合材料.由于材料性能的不均勻性,相應(yīng)的力學分析具有很大挑戰(zhàn).基于混合擴展多尺度有限元法(MEMsFEM)建立了FGPM力電耦合問題的分析模型.采用傳統(tǒng)多尺度有限元法構(gòu)造電勢多尺度基函數(shù),用擴展多尺度有限元法在不同坐標方向構(gòu)造位移多尺度基函數(shù),并通過引入耦合附加項考慮各坐標方向位移場間的耦合作用.多尺度基函數(shù)的構(gòu)造可以有效捕捉材料的非均質(zhì)性,由此可以在粗尺度上對問題進行求解,明顯減少了計算量.最后通過數(shù)值算例驗證了MEMsFEM的有效性和高效性.文中模型為功能梯度材料力學行為的數(shù)值模擬提供了有效途徑.

混合擴展多尺度有限元;功能梯度材料;壓電材料;力電耦合

壓電材料是一類典型的力電耦合材料,通過響應(yīng)機械應(yīng)力產(chǎn)生電勢,通過響應(yīng)外加電壓產(chǎn)生應(yīng)力應(yīng)變.壓電元件通常由一層壓電材料制成,存在變形小、承載能力低等問題.為提高性能,常常將其制備為多層結(jié)構(gòu).但由于不同材料結(jié)合處的物性參數(shù)變化不連續(xù)，層間粘結(jié)處會產(chǎn)生很大應(yīng)力,易形成裂紋,導致使用壽命縮短.為了解決此問題,Wu等[1- 3]將功能梯度材料的理念引入到壓電結(jié)構(gòu)中,提出了功能梯度壓電材料(FGPM).

功能梯度材料[4- 6]是一種通過連續(xù)改變各組分含量使材料的宏觀力學特性在空間上呈連續(xù)梯度變化的非均質(zhì)復(fù)合材料.由于功能梯度材料性能的不均勻性,使得針對均勻材料所提出的力學理論和計算方案不再適用于功能梯度材料.比如普遍使用的有限元法,其需要單元內(nèi)部材料屬性必須為均質(zhì)的,因此要求離散的網(wǎng)格尺寸小于非均質(zhì)材料的特征尺寸才可以得到精確的結(jié)果,從而導致自由度過大,求解困難.因此，建立一種針對功能梯度材料的高效可行的數(shù)值算法是十分必要的.

多尺度有限元法[7- 9]是近幾年發(fā)展起來的用于求解非均質(zhì)標量問題的有效方法.該算法通過構(gòu)造數(shù)值多尺度基函數(shù)捕捉材料的微觀非均質(zhì)信息,由此可以在宏觀尺度上對問題進行求解.擴展多尺度有限元法是在多尺度有限元法基礎(chǔ)上提出的求解非均質(zhì)固體力學矢量問題的數(shù)值算法.該算法在構(gòu)造多尺度基函數(shù)時引入耦合附加項,由此考慮固體變形的泊松效應(yīng),提高了計算精度.擴展多尺度有限元法已被成功應(yīng)用于非均質(zhì)材料的彈塑性問題[10]、熱彈性耦合問題[11]、拓撲優(yōu)化[12]以及屈曲分析[13]中,并獲得了良好效果.

文中基于混合擴展多尺度有限元法建立了功能梯度壓電材料力電耦合問題的分析模型,通過構(gòu)造可以有效反映粗網(wǎng)格單元內(nèi)非均質(zhì)特性的位移多尺度基函數(shù)和電勢多尺度基函數(shù)將結(jié)構(gòu)的微觀信息映射到宏觀尺度上,并通過數(shù)值算例對算法的有效性進行了驗證.

1 FGPM力電耦合問題的控制方程

基于FGPM的基本方程得到的力電耦合問題的控制方程如下：

(1)

在邊界上滿足如下條件：

(2)

(3)

(4)

(5)

針對功能梯度壓電材料板,設(shè)其材料參數(shù)沿厚度方向(x3方向)按同一函數(shù)規(guī)律連續(xù)變化:

(6)

(7)

(8)

指數(shù)函數(shù)分布:

f(x3)=eα(x3/h)

(9)

冪函數(shù)分布:

(10)

正弦函數(shù)分布:

(11)

式中，α、β、γ為形狀因子,h為板厚.

2 混合擴展多尺度有限元基本原理

多尺度有限元法同傳統(tǒng)有限元法的本質(zhì)區(qū)別在于傳統(tǒng)有限元法的基函數(shù)是給定的解析表達式,與材料特性無關(guān),而多尺度有限元法的基函數(shù)通過局部求解單元平衡方程構(gòu)造,因此這些基函數(shù)可以反映單元內(nèi)部材料的非均質(zhì)性,使問題在粗尺度上求解就可以得到滿意的結(jié)果.

2.1 電勢多尺度基函數(shù)的構(gòu)造

由于力電耦合問題存在位移和電勢兩個基本變量,需要分別構(gòu)造其多尺度基函數(shù)[11].電勢為標量,基函數(shù)可以采用傳統(tǒng)多尺度有限元法求解.設(shè)研究區(qū)域為長方體a×b×h,將其剖分為一定數(shù)目的粗網(wǎng)格和細網(wǎng)格單元.其中細網(wǎng)格單元要求解析材料的非均質(zhì)性,在細網(wǎng)格上計算的有限元結(jié)果要求達到問題需要的求解精度;對于粗網(wǎng)格單元,其劃分一般沒有特殊的限制,粗網(wǎng)格內(nèi)的材料屬性可以是非均質(zhì)的,如圖1所示.

圖1 粗網(wǎng)格和細網(wǎng)格的剖分

粗網(wǎng)格內(nèi)細網(wǎng)格任意節(jié)點的電勢可表示為

(12)

(13)

(14)

(15)

(16)

(17)

(18)

2.2 位移多尺度基函數(shù)的構(gòu)造

位移場為矢量場,需要在各坐標方向分別構(gòu)造基函數(shù).根據(jù)擴展多尺度有限元基本原理,考慮固體變形時各坐標方向位移場間的耦合作用引入耦合附加項,則粗網(wǎng)格內(nèi)細網(wǎng)格任意節(jié)點的位移可表示為

(19)

(20)

(21)

(22)

(23)

位移多尺度基函數(shù)滿足:

(24)

2.3 宏觀矩陣的組裝

多尺度基函數(shù)構(gòu)造完成后即可以推導粗網(wǎng)格單元的宏觀矩陣,利用式(12)和(19),由Green公式及Galerkin法推得力電耦合問題的多尺度有限元列式為

(25)

(26)

(27)

(28)

(29)

(30)

(31)

(32)

(33)

(34)

(35)

(36)

(37)

(38)

(39)

(40)

(41)

由式(25)可以得到粗網(wǎng)格單元的位移和電勢,由式(39)可以獲得細網(wǎng)格單元的位移和電勢值,進而根據(jù)幾何方程和物理方程獲得單元的應(yīng)力和應(yīng)變.

3 數(shù)值算例

以四邊簡支、接地的功能梯度壓電板(a=b=1 m,h=0.1 m)作為研究對象,設(shè)其材料屬性沿板厚方向按指數(shù)分布,取α=-0.5,板的底部材料取為PZT-4,其材料參數(shù)分別為:

考慮以下兩種加載形式.

工況1:

(42)

工況2:

(43)

式中，上標+表示板的上表面.

依據(jù)問題的對稱性,選取1/4板進行分析,將其劃分為30×30×6的粗網(wǎng)格和150×150×30的細網(wǎng)格.

為了驗證算法的正確性,圖2和圖3列出了兩種加載方式下板(x1=(1/4)h,x2=(1/4)h)處u1、u3和φ的混合擴展多尺度有限元解(MEMsFEM)、常規(guī)有限元粗網(wǎng)格解(FEM-CM)、常規(guī)有限元細網(wǎng)格解(FEM-FM)及精確解[15].

圖2 板x1=x2=(1/4)h處u1、u3和φ沿板厚方向變化趨勢(工況1)

Fig.2 Variation ofu1、u3andφwith coordinatex3at locationx1=x2=(1/4)h(Case1)

圖3 板x1=x2=(1/4)h處u1、u3和φ沿板厚方向變化趨勢(工況2)

Fig.3 Variation ofu1、u3andφwith coordinatex3at locationx1=x2=(1/4)h(Case2)

從圖2和圖3可以看出:文中提出的混合擴展多尺度有限元解和常規(guī)有限元細網(wǎng)格解同問題的精確解吻合得非常好,而常規(guī)有限元粗網(wǎng)格解由于粗網(wǎng)格無法解析材料的非均質(zhì)性所以結(jié)果精度較低.由此可見:文中構(gòu)造的多尺度基函數(shù)可以有效捕捉材料的微觀非均質(zhì)信息,在相同網(wǎng)格密度下混合擴展多尺度有限元法能得到比傳統(tǒng)有限元法更好的計算精度.

圖4和圖5為工況1和工況2兩種加載條件下混合擴展多尺度有限元法和在細網(wǎng)格上計算的傳統(tǒng)有限元法(參照解)結(jié)果的比較圖.在工況1下:

u1、u3和φ的極值誤差分別為0.068%、0.26%和0.44%;在工況2下:u1、u3和φ的極值誤差分別為3.75%、0.52%和0.00%.此外，在整個研究區(qū)域內(nèi)兩種算法u1、u3和φ的結(jié)果云圖非常接近,由此進一步驗證了混合擴展多尺度有限元法的正確性.

為了驗證混合擴展多尺度有限元法的高效性,將該算法和在細網(wǎng)格上計算的傳統(tǒng)有限元法的計算耗時進行對比,其運行時間分別為:1 222.87 s和6 242.08 s,文中所提算法的耗時僅為傳統(tǒng)有限元法的19.6%,因此混合擴展多尺度有限元法明顯提高了計算的效率.

4 結(jié)論

文中采用混合擴展多尺度有限元法對功能梯度壓電板力電耦合問題進行了求解.算例分析結(jié)果表明：混合擴展多尺度有限元法通過構(gòu)造多尺度基函數(shù)有效地捕捉了材料各物理參數(shù)在空間上的梯度變化性,利用粗網(wǎng)格宏觀矩陣的組裝將兩場的微觀信息及場間的耦合作用同時映射到宏觀尺度上,使問題可以在粗尺度網(wǎng)格上求解并得到同精確解一致的結(jié)果,由此驗證了算法的正確性；在保證計算精度的前提下,混合擴展多尺度有限元法明顯比在細網(wǎng)格上計算的傳統(tǒng)有限元法節(jié)省計算時間.

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Electromechanical Coupling Analysis of Functionally Graded Piezoelectric Plate Based on MEMsFEM

MENGGuang-wei1LIXiao-lin2ZHOULi-ming1LIFeng1WANGHui1

(1.School of Mechanical Science and Engineering, Jilin University, Changchun 130022, Jilin, China; 2.College of Construction Engineering, Jilin University, Changchun 130026, Jilin, China)

Functionally graded piezoelectric material(FGPM) is an electromechanical coupling material of conti-nuous property variation.Due to the heterogeneity of the FGPM property, investigating the mechanics of this material has posed a great challenge.In this paper, an analytical model describing the electromechanical coupling of the FGPM is constructed based on the mixed extended multi-scale finite element method(MEMsFEM).In the model, the multi-scale base functions of electrical fields are set up by using the traditional multi-scale finite element method, and the multi-scale base functions of displacement fields in different directions are set up by using the extended multi-scale finite element method.Moreover, the coupling terms are introduced to model the coupling among the displacement fields in different directions.Since constructing multi-scale base functions helps capture the material heterogeneity effectively, it is feasible to solve the problem in a coarse grid scale, which can significantly reduce the computation amount.Finally, the proposed method is proved to be effective and efficient by numerical examples.It is thus concluded that the proposed method provides an effective approach to simulating the mechanical behaviors of functionally graded materials.

mixed extended multi-scale finite element method; functionally graded materials; piezoelectric material; electromechanical coupling

2014- 10- 28

國家重大科學儀器設(shè)備開發(fā)專項(2012YQ030075)；國家自然科學基金資助項目(51305157)；吉林省科技廳基金資助項目(20160520064JH) Foundation items: Supported by the National Key Scientific Instrument and Equipment Development Projects of China(2012YQ030075),the National Natural Science Foundation of China(51305157) and Jilin Provincial Department of Science and Technology Fund Project(20160520064JH)

孟廣偉(1959-)，男，教授，博士生導師，主要從事疲勞與斷裂研究.E-mail：mgw@jlu.edu.cn

? 通信作者: 周立明(1982-)，男，博士，副教授，主要從事計算固體力學研究.E-mail：lmzhou@jlu.edu.cn

1000- 565X(2016)10- 0081- 06

TB 115

10.3969/j.issn.1000-565X.2016.10.012